Convergeren of Divergeren?

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Soms wil je van oneigenlijke integralen niet eens zozeer weten wat er nou uitkomt, maar gaat het je er vooral om f er een getal uitkomt of dat de integraal divergeert (= oneindig groot wordt).

Nou, daar is een testje voor.....

Dat maakt gebruik van de volgende stelling:
       
Als op interval  [p ,  ∞〉  geldt dat  f  g 0,  dan geldt:
 
       
Ok, normaal Nederlands dan maar weer?
 
1. Als f  boven g ligt en de oppervlakte van f  gaat naar een constant getal dan kan de oppervlakte van g niet oneindig worden.
2. Als g onder f  ligt en g wordt oneindig groot, dan moet f ook wel oneindig groot worden.
       
Zo klinkt het toch een stuk gemakkelijker, vind je niet?

Voorbeelden en Toepassingen.
       
Het is van tevoren wel handig om in te schatten welk van beiden je nou wilt bewijzen.
Als je denkt dat de integraal divergeert moet je een functie vinden die kleiner is dan f(x) en die ook divergeert
Als je denkt dat de integraal convergeert moet je een functie vinden die groter is dan f(x) en die ook convergeert.

Kortom:  ......wat denk je....???

Nou lijkt het me hier dat die cosx nooit zo heel groot kan worden, en die x wl, dus ik zou gaan voor convergeren.
Als jij dat ook vindt, dan moeten we nu een functie vinden die groter is dan deze en die ook convergeert (geval 1).
Dat is gelukkig niet zo moeilijk, want cosx zit altijd tussen 1 en -1.
Dus cos2x is altijd kleiner dan 1.
Dan is  cosx/x altijd kleiner dan 1/xen omdat die laatste convergeert doet die eerste dat ook.
       
Eerst maar weer gokken welk van de twee je wilt bewijzen.
Gezien het feit dat zo'n ex wel erg snel erg groot wordt zet ik mijn geld op convergeren.

Dus zoeken we weer een grotere functie die k convergeert.
Als je een breuk groter wilt maken, dan kun je dat doen door de noemer kleiner te maken.
Dan zie ik twee mogelijkheden om de noemer van die  breuk onder de integraal kleiner te maken:
       
(dat zie je doordat de primitieve van e-x gelijk is aan  -e-x en als je nu ∞ invult gaat dat naar nul.  De primitieve van 1/x daarentegen is lnx en dat gaat nog steeds naar oneindig als x naar oneindig gaat).
       
           
1. Onderzoek of de volgende integralen convergeren of divergeren.
           
  a.    

divergent

           
  b.    

convergent

           
  c.    

convergent

           
  d.    

divergent

           
         

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)