Convergeren en Divergeren.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Bij veel rijen getallen zie je één van de twee onderstaande effecten optreden.
   

   
In het linkergeval loopt de weggrafiek "naar het snijpunt toe", dat wil zeggen dat in de tijdgrafiek de waarden van un steeds dichter en dichter bij elkaar en bij de waarde van E komen te liggen. Dat heet convergeren (naar elkaar toelopen)
In het rechtergeval lopen in de webgrafiek de punten weg van het punt E, en in de tijdgrafiek zie je dat  de punten steeds verder uit elkaar en verder weg van E komen te liggen. Dat heet divergeren (van elkaar weglopen)
Hieronder zie je dat nogmaals op een iets andere manier.
E  noemen we de evenwichtswaarde of ook wel de limiet van de rij.
   

   
Hetzelfde principe:  bij convergeren lopen de un waarden naar een evenwichtswaarde toe, bij divergeren lopen ze er vanaf.

Hoe vind je die evenwichtswaarde  E?

Nou, dat zie je eigenlijk al aan de figuren hierboven: het is het snijpunt van de lijn y = x met de
recursievergelijking  un = f(un - 1).  Zo' n punt heet een dekpunt.

En ik hoop nou eigenlijk dat je de volgende redenering logisch vindt:

•  Als er evenwicht is, dan veranderen de getallen van de rij niet meer.
•  Dat betekent dat  un  gelijk is aan un - 1
•  Dat is dan ook meteen de evenwichtswaarde E.  

   

evenwicht:     un =  un - 1 = E

dus vervang in de recursievergelijking un en un-1 beiden door E.
   
Bedenk goed dat deze voorwaarde mogelijke waarden voor een evenwicht oplevert. Het hoeft niet zo te zijn dat dat evenwicht ook werkelijk bereikt wordt, dat heb je in bovenstaande voorbeelden over convergentie en divergentie al wel gezien.
 
Het feit of het evenwicht wel of niet bereikt gaat worden kan erg afhankelijk zijn van de beginwaarde u0.

Hiernaast zie je bijvoorbeeld de recursievergelijking  un = 3un-1 - un-12
Je ziet bijvoorbeeld dat voor de blauwe beginwaarde u0 de rij divergeert, maar voor de groene beginwaarde v0 is er zo te zien convergentie.

Voor niet alle beginwaarden is het even duidelijk wat er precies gebeurt...... We hebben het hier over een relatief nieuw onderdeel van de wiskunde:  de chaostheorie, die eigenlijk pas de vorige eeuw is ontwikkeld.

   
Hiernaast is nóg een leuke variant te zien.
Daar staat de recursievergelijking  un = 4un - 1 - un-12
Je ziet dat er een waarde voor  u0 te kiezen is, waarvoor de rij  "heen en weer blijft flippen". 
Als un ongeveer gelijk is aan 1,4 of aan 3,6 dan ziet de rij eruit als 
3,6 - 1,4 - 3,6 - 1,4 - .....

Dat heet een alternerende rij.

Zo'n u0 kun je algebraïsch bepalen door te stellen u2 = u0
In dit geval is  u1 = 4u0 - u02  
dus  u2 = 4u1 - u12 = 4(4u0 - u02) - (4u0 - u02)2
De rij alterneert als  u2 = u0  dus als  u0 = 4(4u0 - u02) - (4u0 - u02)2
Y1 = x  en Y2 = 4(4x - x2 ) - (4- x2)2  en dan intersect geeft de waarden
x ≈ 1,381966  en   x ≈ 3,618034

   
  OPGAVEN
   
1. Geef van de volgende recursievergelijkingen eerst de mogelijke dekpunten.
Geef vervolgens aan of de rij bij de gegeven waarde van u0 convergeert naar een dekpunt of divergeert.
       
  a. un = 0,8un - 1 + 2  met  u0 = 1

conv. naar 10
       
  b. un = un- 12 - 2  met  u0 = 0

2 en -1
conv. naar 2
       
  c. un = un - 13  met  u0 = -1,5

-1, 0, 1
divergent
       
  d. un =  2,5√(un - 1- 1)  met  u0 = 1

1,25 en 5
conv. naar 5
       
2. Gegeven is de rij  un = 0,8 + 0,2un - 12
       
  a. Bereken de dekpunten van deze rij.  
     

1 en 4

  b. Voor welke startwaarden convergeert de rij naar het kleinste dekpunt?
     

 〈-4,4〉
  c. Voor welke startwaarden convergeert de rij naar het grootste dekpunt?
     

u0 = 4 en u0 = -4

3.
       
  a. Geef een recursievergelijking voor de rij die zij krijgt.
     

un = √un - 1
  b. Bereken de evenwichtwaarden en geef aan of de rij in de buurt van die waarden convergeert  of divergeert.
     

0: divergent
1: convergent
       
4.
       
  a. Onderzoek met een figuur zo goed mogelijk voor welke waarden van u0 de rij alterneert.
       
  b. Bereken met je GR voor welke waarden van u0 de rij alterneert.
     

1,309 en 0,191
       
5. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2009.

De rij u0, u1, u2, u3,… is voor n ≥ 1 vastgelegd door de recursievergelijking:
 
       
  a. Bereken exact de limiet van deze rij.

E = 1
       
  De eerste termen van de rij u0, u1, u2, u3,… zijn  1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...
Op grond hiervan wordt vermoed dat voor elke n ≥ 0 de volgende formule geldt:  un = (n + 1)/(n + 2)
       
  b. Toon aan dat  un = (n + 1)/(n + 2)  voor elke n ≥ 1 voldoet aan de gegeven recursievergelijking.
       
6. examenvraagstuk VWO Wiskunde B,  2008.
       
 
  met a > 1.
In onderstaande figuur zijn voor een zekere waarde van a in een rechthoekig assenstelsel Oxy de grafiek
van y = ax en de lijn y = x getekend.
       
 

       
  a. Teken in deze  figuur de plaats van u1 en u2 op de x-as.
       
  In de situatie hierboven convergeert de rij u0 , u1, u2 , …. In onderstaande figuur zijn voor een andere waarde van a de grafiek van y = ax en de lijn  y = x getekend. In deze situatie convergeert de rij u0 , u1, u2 , … niet.
       
 

       
  b. Bereken exact de grootste waarde van a waarvoor de rij u0 , u1, u2 , … convergeert.
     

a = e1/e
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006.

In de figuur hieronder staat de grafiek van de functie f(x) = 2 - x2 .
Na keuze van een startwaarde u0 is de rij  u0, u1, u2, u3, ... vastgelegd door  un = f(un - 1)  (n = 1, 2, 3,...)
       
 

       
  In de figuur is een mogelijke startwaarde u0 op de x-as weergegeven.
       
  a. Teken op de x-as met behulp van een webgrafiek in de figuur de plaatsen van u1, u2, en u3 die bij deze u0 horen.
       
  Er zijn twee startwaarden waarbij de rij   u0, u1, u2, u3, ...  constant is
       
  b. Bereken deze startwaarden exact.

1 en -2
       
  Neem u0 = a.
Er zijn twee startwaarden a zodat de rij bestaat uit twee verschillende getallen a en b die elkaar afwisselen; de rij wordt dan a, b, a, b, a, ...  met  b ¹ a.
       
  c. Bereken beide waarden van a in drie decimalen nauwkeurig.
     

0,618 en 1,618
       
8. De rij un is gegeven door  un + 1 = f(un)  met  f(x) = 1,6 + 0,1x2
       
  a. Bereken de dekpunten van un
       
  b. Ga na of deze rij convergeert als u1 = 3.
Beantwoord deze vraag ook voor u1 = 10
       
  c. Voor welke startwaarden convergeert de rij naar het kleinste dekpunt?
       
  d. Leg uit waarom de rij un voor geen enkele beginwaarde (behalve voor 8 en -8) naar het grootste dekpunt kan convergeren.
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2001

Gegeven is de functie f(x) = 3 - 3/(x + 1) 

  Voor de rij v0, v1, v2, ... geldt  vn = f (vn - 1) 
met v0 ≥ 0 en n ≥ 1
In de figuur hiernaast is een gedeelte van de grafiek van f getekend.
     
  a. Onderzoek voor welke waarden van v0 de rij convergeert. Licht je antwoord toe met behulp van een webgrafiek.
     
  Voor bepaalde startwaarden  v0 < 0 breekt de rij  v0, v1, v2, ... met vn = f (vn -1)  en n ≥ 1 af, omdat termen niet meer gedefinieerd zijn.
     
  b. Geef twee van dergelijke startwaarden. Licht je antwoord toe.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)