Perspectief...

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
In de parallelprojectie die we tot nu toe gebruikten waren evenwijdige lijnen in werkelijkheid ook in onze tekening evenwijdig. Maar in het werkelijke leven is dat niet zo!  Kijk maar:
   

   
Op werkelijke foto's lopen lijnen die evenwijdig zijn naar één punt toe!
Dat punt heet het verdwijnpunt  (of ook wel  vluchtpunt). Het ligt, zo te zien aan de foto's, op de horizon.

Verder was het bij parallelprojectie zo, dat lijnen die niet van je af of naar je toe liepen allemaal op ware grootte waren getekend. Dus even lange lijnen bleven even lang, ook al waren ze verder van je af.
Bij centraal perspectief is dat niet meer zo, zoals je duidelijk aan de bielzen van een spoorlijn kunt zien: die zijn evenwijdig, maar hoe verder ze van je af liggen, des te kleiner worden ze. Lijkt ook veel logischer toch? Wat verder van je af is zie je kleiner.

Hieronder zie je de verschillen nog eens met drie kubussen gedemonstreerd.
   

   
Links staat de kubus in parallelprojectie. De lijnen met dezelfde kleur zijn in werkelijkheid evenwijdig en in de tekening ook. Bovendien zijn ze even lang.
In het midden zie je dat dat niet meer zo is. De rode en groenen zijn nog wel evenwijdig omdat die evenwijdig aan het vlak van de tekening (het tafereel; zie onder) lopen, maar de blauwen niet: die hebben één verdwijnpunt. In de tekening rechts hebben de roden en blauwen elk hun eigen verdwijnpunt.
Het even lang zijn is in de laatste twee gevallen voor geen enkele kleur meer waar. Verder van je af betekent nu kleiner.
   
Het Tafereel.

Het tafereel is het vlak van de tekening. 't Is eigenlijk alsof je door een raam naar iets kijkt, en op het glas de snijpunten van de kijklijnen vanaf jouw oog naar de punten van dat voorwerp tekent. Dat raam is dan je tekening.
De schilder René Magritte heeft dat in het schilderij hiernaast (La condition humaine) wel erg letterlijk genomen!

De kunstenaar Albrecht Dürer gebruikte zelfs werkelijk een soort raster om bij zijn tekeningen het juiste perspectief te krijgen, zoals je hieronder ziet.

 

   
Het verdwijnpunt.

De plaats van het verdwijnpunt zegt iets over het oog van de fotograaf.
Hieronder zie je een serie kubussen met een verdwijnpunt dat langzaam steeds lager komt te liggen.
 

   
Bij de figuren 1 en 2 kun je nog boven op het "dak" van de kubus kijken, vanaf figuur 3 kan dat niet meer. Hoe komt dat?  Nou omdat jouw oog in die tekeningen lager dan dat dak ligt natuurlijk! In tekeningen 4 en 5 kijk je als het ware echt tegen de kubus op omhoog (je zou bij een doorzichtige kubus de onderkant van het dak zien).
Conclusies tot nu toe:
 
Voor perspectieftekeningen geldt:
•  Lijnen evenwijdig aan het tafereel worden evenwijdig aan zichzelf afgebeeld, en behouden hun grootte.
•  Evenwijdige lijnen niet evenwijdig aan het tafereel hebben een gezamenlijk verdwijnpunt.
•  Het verdwijnpunt ligt op de horizon en geeft de hoogte van de camera aan.
   
Eénpunts-  Tweepunts-  en Driepunts- perspectief
   
Zoals je waarschijnlijk al wel had verwacht heeft deze naamgeving te maken met het aantal verdwijnpunten.
Ik zal elk uitleggen met behulp van een kubus/balk.
   
éénpuntsperspectief.
Nu is er één verdwijnpunt, dus dat betekent dat twee van de drie richtingen van de kubus evenwijdig aan het tafereel lopen. Ofwel we kijken recht tegen het voorvlak aan, zoals ook in de vijf kubussen hierboven.
Als dat verdwijnpunt in het midden van de tekening ligt, dan spreken we van centraal perspectief.

   
tweepuntsperspectief.
Er zijn twee verdwijnpunten (beiden uiteraard op de horizon) en alleen de verticale lijnen zijn evenwijdig aan het tafereel.

   
driepuntsperspectief.
Je raadt het al:  nu zijn er drie verdwijnpunten. Zelfs de verticale lijnen zijn niet meer evenwijdig maar hebben een gemeenschappelijk verdwijnpunt.
Dat driepuntsperspectief krijg je trouwens automatisch als je gebruik maakt van een hellend tafereel, dat wil zeggen dat het vlak van je foto/schilderij/tekening niet verticaal is, dus dan zijn verticale lijnen niet evenwijdig aan het tafereel, dus hebben ze een verdwijnpunt.

Dat gebeurt bijvoorbeeld elke keer als je je camera schuin omhoog houdt om een foto van een hoge toren te maken.
 
Hieronder zie je van de drie soorten perspectief een voorbeeld.
 

   
 
1. Maak de volgende drie  perspectieftekeningen van een balk af.
       
 

       
 

       
 

       
2. Leg uit welke vorm van perspectief bij onderstaande foto's is gebruikt en teken de plaats van de horizon.
       
 

       
3. examenopgave 1990.
       
  Hieronder zie je een schematische tekening van de ingang van een station. Naar de deur loopt een betonnen pad met aan weerszijden drie rijen vierkante tegels.
Om het pad wat op te fleuren heeft een kunstenaar een zuil ontworpen in de vorm van een vierzijdig prisma (ABCDA'B'Ç'D') met als grondvlak het parallellogram ABCD dat linksonder is getekend.
       
 

       
  In de tekening van het station zijn de plaatsen van de punten A, B, S, D en S' aangegeven.
Maak de perspectieftekening van de zuil af.
       
4. Examenvraagstuk 1992

Een oude molen is verbouwd tot woonruimte. De romp van de molen heeft een regelmatige achthoek als grondvlak.
Dat grondvlak heeft zijden van allemaal 3 meter.

Hieronder is een begin gemaakt van een tekening van het grondvlak in perspectief. Hierin zijn GF en BC evenwijdig.

Maak die perspectieftekening af. 

       
 

       

 

  
   
5. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2017-I
       
 

Op de foto zie je een kunstwerk van Jan van Munster in de vorm van de letters I en K.Het kunstwerk is 50 cm hoog.
Je ziet hieronder enkele maten in cm staan van het kunstwerk. Die maten mag je gebruiken bij de volgende
vragen.

 

 

       
 

       
  Hieronder is de letter K in perspectief getekend.
       
 
       
  Teken de letter I op de juiste plaats erbij in deze tekening.
 
6. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2021-I
       
  Op de foto zie je een bijzonder huis: foto als basis voor het grondvlak zijn twee even grote overlappende vierkanten gebruikt. Het dak bestaat uit twee piramidevormige delen die aan elkaar vastzitten. In de linker figuur hieronder zie je een model van het dak van dit huis. In het vervolg van deze opgave kijken we naar dit model, waarbij de verbinding tussen de toppen van beide dakdelen buiten beschouwing is gelaten.
       
 

       
  De rechter figuur laat zien hoe de linker figuur is ontstaan: ABCD.T en EFGH.S zijn twee even grote symmetrische vierzijdige piramiden. De top T ligt precies boven punt F. Verder is ∠APE = 90° . Hieronder is het begin van een bovenaanzicht van de linker figuur getekend.
       
 
  a. Maak dit bovenaanzicht af.
       
  Hieronder is een perspectieftekening van grondvlak ABCD van de voorste piramide te zien.
       
 

       
  b. Teken het grondvlak EFGH van de achterste piramide in deze perspectieftekening
       
7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2021-II

De kunstenares Lisa Greenfield heeft het kunstwerk House of Cards II ontworpen. Zie onderstaande foto.

       
 

       
  Hieronder is een begin gemaakt van een perspectieftekening van dit kunstwerk. De twee meest linker staande kaarten onderaan zijn getekend. Bovendien is de onderrand van een van de twee staande kaarten direct ernaast getekend.
       
 
       
  Teken in de tekening de twee staande kaarten direct naast de staande kaarten die al getekend zijn.
       
8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2021-II

De in 2020 overleden Bulgaarse kunstenaar Christo werkte sinds 1977 aan een – nooit afgerond – project genaamd The Mastaba. Met dit project wilde hij uiteindelijk in Abu Dhabi de grootste sculptuur ter wereld realiseren. De naam Mastaba verwijst naar de zogeheten mastabagraven van de Egyptenaren, nog voor de tijd dat ze piramides gebruikten.  Hieronder zie je een werkschets.
       
 

       
  Het voor- en achtervlak van The Mastaba zijn verticaal en zijn symmetrisch. Zie de rechterfiguur.
In de figuur hieronder is een begin gemaakt van een perspectieftekening zoals geschetst in deze figuur. Een deel van de schuin opstaande ribbe rechts is al getekend. De horizon is scheef en deze is ook getekend.
       
 

       
  Maak de perspectieftekening af.
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde C, 2022-I
       
  Het wereldrecord kratten stapelen stond in 2005 op naam van het dorpje Limmen in Noord Holland.
De inwoners van Limmen stapelden een piramide van 63 365 kratten.

De piramide was als volgt opgebouwd: de bovenste laag noemen we de eerste laag en bevat één krat. De laag daaronder is de tweede laag en bevat twee bij twee, dus vier kratten. De hoekpunten van de bovenste krat liggen steeds op de middens van de kratten eronder. De derde laag heeft drie bij drie, dus negen kratten, enzovoort.

Zie de foto en de schematische figuur.

In de figuur hier onder  zie je een perspectieftekening van de tweede laag van de piramide.
       
 
       
  Teken boven op deze tweede laag de krat van de eerste laag.
       
10. Gerrit Rietveld (1888-1964) was een belangrijke kunstenaar van de kunststroming De Stijl.
In 1923 ontwierp hij de Berlijnse stoel. De Berlijnse stoel bestaat uit acht houten planken.
Hieronder staat een foto van een Berlijnse stoel. Deze stoel heeft een hoogte van 106 cm. De horizon loopt op deze foto horizontaal. 
       
 

       
  a. Onderzoek met behulp van de foto op welke hoogte de foto genomen is. Geef je antwoord in hele cm.
       
  Hieronder staat een perspectieftekening van de Berlijnse stoel. In deze tekening zijn er meerdere dingen die niet juist getekend zijn.
       
 
       
  b. Noem twee dingen in de tekening die volgens de regels van het perspectief niet juist getekend zijn. Licht je antwoord toe met behulp van de figuur.
       
   
     
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)