|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Een bolsegment is een deel van
een bol dat zich tussen twee evenwijdige vlakken bevindt. De inhoud daarvan kun je vrij makkelijk berekenen door een cirkel om te wentelen en met een integraal de inhoud van het omwentelingslichaam te bepalen. Maar dat is natuurlijk geen uitdaging...... Deze les gaan we een meetkundige manier vinden om die inhoud óók te bepalen. In het voetspoor van Archimedes..... Om de inhoud daarvan te berekenen gaan we eerst een formule afleiden voor de inhoud van een bolkapje (je ziet vast al wel dat je dan daarna zo'n bolsegment kunt krijgen door twee van die bolkapjes van elkaar af te trekken., net zoals je de inhoud van een afgeknotte kegel kreeg door twee kegels van elkaar af te trekken) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Maar als je de tekeningen in het
midden en rechts met elkaar vergelijkt, dan zie je dat zo'n bolkapje op
zijn beurt weer bestaat uit een bolsector waar een kegel vanaf is
gehaald. Laten we de drie bovenstaande figuren van rechts naar links gaan berekenen: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1. Bolsector. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Als je een bol opgebouwd denkt
uit allemaal superkleine piramidetjes met de top in het middelpunt van
de bol, dan krijg je een tekening ongeveer zoals hiernaast (alleen dan
eigenlijk met nog veel meer zulke piramidetjes). Een bolsector krijg je dan door een deel van de oppervlakte van de bol te nemen met een cirkelvormige rand, en de punten van die rand allemaal naar het middelpunt van de bol te trekken. Zo'n bolsector bestaat uit een heleboel van die kleine piramidetjes. Maar omdat al die piramidetjes gelijkvormig zijn, geldt dat de inhoud van die bolsector evenredig is met het aantal piramidetjes erin, dus ook met de grootte van het oppervlakte deel van de bol. Daarom geldt: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| De inhoud van de hele
bol kennen we al; die is 4/3πR3
en de oppervlakte ook; 4πR2 Als we nou de oppervlakte van het deel van de bol kunnen vinden, dan weten we dus ook de inhoud daarvan. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
En die oppervlakte kennen we al! In deze verdieping over de oppervlakte van een bol zagen we al dat de oppervlakte van zo'n rood strookje op de bol hiernaast gelijk is aan de oppervlakte van datzelfde rode strookje op de cilinder die om de bol heen past. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat betekent dat de
oppervlakte van het deel van de bol hiernaast gelijk is aan 2πRh,
want dat is de oppervlakte van die cilindermantel eromheen. Invullen in de verhoudingen hierboven geeft: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Bolkapje. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Dat bolkapje is
gelijk aan de bolsector min een kegel met grondvlak
πr2 en hoogte R - h
(zie hiernaast), Die kegel heeft inhoud 1/3πr2(R - h). In de figuur hiernaast geeft Pythagoras dat R2 = r2 + (R - h)2 Daaruit volgt r2 = 2Rh - h2 Invullen geeft dan voor de kegelinhoud: I = 1/3π(2Rh - h2)(R - h) Voor het bolkapje trekken we die kegel van de bolsector af: inhoud kapje = 2/3πR2h - 1/3π(2Rh - h2)(R - h) uitwerken: 1/3π(2R2h - 2R2h + 2Rh2 + Rh2 - h3) = 1/3πh2(3R - h) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. Bolsegment. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Wil je nu de inhoud
van een bolsegment tussen twee evenwijdige vlakken op afstanden h1
en h2 vanaf de oppervlakte van de bol berekenen dan
trek je twee zulke bolkapjes van elkaar af. Ik denk trouwens dat jou dat wel zal lukken.....daar heb je mijn hulp niet voor nodig. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.