© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Bernouilli-differentiaalvergelijkingen.
       
Die differentiaalvergelijkingen uit de vorige les van eerste orde en tweede graad, met die "wonderbaarlijke" substitutie-oplossing  y = 1/u waren eigenlijk niets meer dan een speciaal geval van de vergelijkingen die we deze les zullen bespreken.
Het gaat vandaag om Bernouilli-differentiaalvergelijkingen, en die zien er in het algemeen zó uit:
       
dy/dx =  P(x) • y +  Q(x) • yn
       
De vorige les gold dat n = 2 en dat  P(x) en Q(x) constant waren (A en B).  Nu niet meer....
De oplossing gaat in twee stappen:
       

stap 1: deel alles door yn
stap 2: substitueer u = y1 - n   

       
Kijk maar waar dat toe leidt:
stap 1:  dy/dx • y -n = P(x) • y1 - n + Q(x)
stap 2: 
  u = y1 - n   ⇒   u'  =  (1 - n) • y'    ⇒  y' •  y = 1/(1 - n) • u'
  Dan wordt de differentiaalvergelijking uit stap 1:   1/(1-n) • u' = P(x) • u + Q(x)
       
En dat is weer een lineaire eerste orde differentiaalvergelijking. Die kunnen we al lang oplossen. Makkie!
       
Voorbeeld.    Los op:   2y' - 1/x • y = x2y3   met  y(1) = 1
stap 1:  delen door y3  geeft  2y' y -3 - 1/x • y -2 = x2
stap 2:  u = y1-3 = y -2   dus  u'  = -2y -3 • y'  en dat geeft dan bij stap 1:   -2u' - 1/x • u = x2  ofwel  u'  + 1/2x • u = -1/2x2
 
De integrerende factor is h = ò(1/2x)dx = 1/2lnx

De algemene oplossing is dan:

       
         
  OPGAVEN
         
1. Los de volgende differentiaalvergelijkingen op:
         
  a. y'  = y + e-x • y -2   met  y(0) = 2
         
  b. y'  - 3y = xy3  met  y(0) = 6
         
  c. y' + xy  = xy2  met  y(0) = 3
         

d. y' +  xy = x3y3   met  y(0) = 1
         
  e. y' -  y = xy5    (algemene oplossing).
         
  f. y' + 2xy + xy4 = 0    (algemene oplossing).
         
  g. yy' - xy2 + x = 0    (algemene oplossing).
         
2.
Van een touw van l m lang ligt 80 cm opgerold aan de rand van een muur, de overige 20 cm hangt over de muur naar beneden.
Vanaf het tijdstip  t  = 0 zakt het touw geleidelijk naar beneden onder invloed van de zwaartekracht op het vrij hangende deel. Verwaarloos alle wrijving.

Dan geldt   dv/dx   + 1/x • v =  g/v

(v is de snelheid, x de lengte van het loshangende stuk touw, g de zwaartekrachtsversnelling))
         
  a. Toon dat aan.
         
  b. Wat is de valsnelheid van het touw op het moment dat het nét helemaal los is van de muur?
       

2,55 m/s
         
3. Geef de algemene oplossing van    (x/y - x3cosy) • y' = 2
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)