© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Afhankelijk en Onafhankelijk.
Bekijk de tabel hiernaast eens.
Er staat in of een leerling van de bovenbouw blond was of niet blond, en ook of die leerling een voldoende voor natuurkunde had of niet.

Uit deze tabel kunnen we de volgende kansen aflezen:
  voldoende onvoldoende totaal
blond 520 80 600
niet-blond 780 120 900
totaal 1300 200 1500
P(blond) = 600/1500 = 0,4
P(blond\onvoldoende) = 80/200 = 0,4
Daar komt hetzelfde uit!
Dat betekent dat het feit dat gegeven wordt dat een leerling een onvoldoende heeft op natuurkunde niets aan de kans verandert of hij blond is of niet. Die kans is nog steeds 0,4, net zoals oorspronkelijk toen nog niets extra bekend was.

Kennelijk heeft het hebben van een voldoende of onvoldoende geen invloed op de kans of iemand blond is of niet.

De gebeurtenissen  "blond" en "onvoldoende" heten daarom onafhankelijk van elkaar.

Andersom geldt het ook;
P(onvoldoende) = 200/1500 = 2/15
P(onvoldoende\blond) = 80/600 = 2/15

twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als geldt:
P(A \ B) = P(A)
als dat niet zo is zijn ze afhankelijk.
   
  OPGAVEN
1. Hiernaast zie je een kruistabel voor de eigenschappen A en B, met 4 willekeurige aantallen a, b, c en d.

Toon aan dat de voorwaarde  P(A\B) = P(A) precies dezelfde is als de voorwaarde  P(B\A) = P(B).
  B niet-B totaal
A a b  
niet-A c d  
totaal      
       
2. Bij een onderzoek onder 3500 jongens en meisjes is gevraagd of ze wel eens hebben gespiekt.
Van de 1680 meisjes zeiden er 1280 wel eens te hebben gespiekt. Verder waren er  420 jongens die zeiden nog nooit te hebben gespiekt.
Onderzoek of "spieken of niet"  afhankelijk is van het geslacht van een leerling.
     

wel afhankelijk
 
3. MacDonalds heeft als paasactie dat elke bezoeker bij een happy- meal een plastic paasei cadeau krijgt. Ze zijn er in drie kleuren; geel en blauw en oranje, maar die komen niet even vaak voor. In sommige eieren zit een prijs, in sommige eieren zit niets.
  prijs niet-prijs totaal
geel     5000
blauw   750 3000
oranje 1250    
totaal 3500   10000
     
a. Vul de kruistabel hiernaast verder in.
     
b. Zijn de gebeurtenissen "blauw" en "prijs" afhankelijk of onafhankelijk?
   

afhankelijk
c. Zijn de gebeurtenissen  "oranje" en "niet-prijs"  afhankelijk of onafhankelijk?
     

afhankelijk
4. Bij een lottospel bevinden zich 40 genummerde ballen (1 t.m. 40) in een bolvormige machine. Als de machine in werking wordt gezet komt er willekeurig een bal uitrollen.

Gebeurtenis A is het trekken van een bal met een even nummer.
Gebeurtenis B is het trekken van een bal waarvan het nummer een vijfvoud is. 

Onderzoek of de gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn.
     

NEE
5. Van 2800 volwassenen heeft men gekeken of het jaarinkomen hoger was dan €40000, en ook of men wel eens drugs gebruikt. Die twee eigenschappen bleken onafhankelijk van elkaar. 480 volwassenen bleken een inkomen hoger dan  €40000 te hebben, en  315 volwassenen gebruikten wel eens drugs.
     
a. Hoe groot is de kans dat een willekeurige volwassene een inkomen lager dan €40000 heeft, en bovendien geen drugs gebruikt?
   

0,7354
b. Hoe groot is de kans dat een volwassenen met een inkomen hoger dan €40000 drugs gebruikt?
     

0,1125
       
6. Van een gemeente is 40% voor de PvdA, 35% voor de VVD en 25% voor een andere partij.
Van de PvdA voorstanders komt echter bij verkiezingen 5% niet opdagen. Van de VVD voorstanders is dat 8% en van de andere partijen is dat 3%.
       
  a. Hoe groot zal de totale verkiezingsopkomst zijn?  
     

94,45%
  b. Bereken de kans dat iemand die niet komt opdagen bij de verkiezingen een  VVD-stemmer is.
     

0,5045
  c. Leg uit of de gebeurtenissen "komt opdagen" en  "is een PvdA aanhanger" afhankelijk of onafhankelijk zijn.
     

afhankelijk
  d. Hoeveel procent van de andere partijen zou moeten komen opdagen als de gebeurtenissen "komt opdagen" en "is voor een andere partij"  onafhankelijk zouden zijn?
     

93,6%
       
7. Voor de gebeurtenissen A, B, C en D geldt:
•  A en D zijn onafhankelijk.
•  B en D zijn onafhankelijk.
•  P(A) = 0,1
•  P(B) = 0,4
•  P(D) = 0,7
•  Van A, B en C vindt er altijd precies één gebeurtenis plaats.
•  Van D en E vindt er altijd precies één gebeurtenis plaats.
   
  Onderzoek of C en E onafhankelijk zijn
     

JA
       
8. Drie jongens werken bij de plaatselijke Albert Heijn als vakkenvuller.
Gert werkt 3 van de zes dagen in de week,  Kees werkt 2 dagen en Henk werkt één dag.
Gert komt echter 5% van de dagen dat hij moet werken te laat.
Kees komt 2% van zijn werkdagen te laat, en  Henk 4%.
       
  a. Onderzoek of de gebeurtenissen "de vakkenvuller is te laat"  en  "Henk moet werken"  afhankelijk of onafhankelijk zijn.
     

afhankelijk
  b. Bereken de kans dat op een willekeurige dag de vakkenvuller op tijd is.
     

0,9617
  c. Op een dag is de vakkenvuller te laat. Bereken de kans dat het Gert is.
     

0,6522
       
9. mixopgave.

Een goede manier om jezelf van een mooi wiskundecijfer te voorzien is spieken bij iemand die goed is in wiskunde. Een leraar wil graag weten hoeveel er gespiekt wordt, en besluit aan het eind van de toets iedereen te vragen of hij of zij wel of niet gespiekt heeft. Natuurlijk zal niemand “JA” zeggen als hij het zo direct vraagt. Daarom doet hij het volgende: iedereen moet met een muntstuk gooien. Degenen die “kop” gooiden moeten de vraag eerlijk beantwoorden. Degenen die “munt” gooiden moeten verplicht “JA” antwoorden. Zo weet hij na afloop van niemand of hij nou wel of niet gespiekt heeft.
       
  a. Stel dat in de klas 12% spiekt. Hoe groot is dan de kans dat een willekeurige leerling uit deze klas “JA” zal antwoorden?
     
0,56
  b. Stel dat van een groep van 88 leerlingen er 52 “JA” antwoorden. Hoeveel leerlingen zullen er dan naar verwachting werkelijk gespiekt hebben?
     
16
  Bij multiple choice vragen is spieken makkelijker maar ook minder hard nodig: je kunt immers ook gokken?
       
  c. Stel dat iemand 40 vierkeuzevragen moet beantwoorden, maar bij 20 van die vragen geen flauw idee heeft. Hoe groot is dan de kans dat hij door puur te gokken van deze 20 er precies 8 goed zal hebben?
     
0,0609
  Een test onder 48 leerlingen leverde de volgende tabel:
       
 
  spiekt nooit spiekt wel eens spiekt vaak
jongen 14 10 4
meisje 10 5 5
       
  d. Als je uit deze 20 meisjes er willekeurig 3 kiest, hoe groot is dan de kans dat er precies 2 nooit spieken?
     
0,3947
  e. Leg uit of de gebeurtenissen “MEISJE” en “SPIEKT NOOIT” afhankelijk of onafhankelijk zijn.
     
afhankelijk
  f. Heb je bij deze opgave gespiekt?
   

       
10. examenvraagstuk 1981.
       
  Vijf balletjes worden verdeeld over drie genummerde dozen D1, D2 en D3. Daarbij mogen ten hoogste twee dozen leeg blijven.
       
  a. Eén van de mogelijke verdelingen is: 2 balletjes in D1, 0 balletjes in D2 en 3 balletjes in D3.
Toon aan dat er nog 20 andere verdelingen zijn.
       
  Bovendien is gegeven dat elke mogelijke verdeling van de vijf balletjes over de drie dozen een even grote kans van optreden heeft.
       
  b. Het aantal balletjes Dk is een stochast Xk.
Geef een kansverdeling van X1.
Onderzoek of de gebeurtenis X1 = 2 Ú X1 = 3 en de gebeurtenis X2 = 0 onafhankelijk zijn.
       
  c. Het aantal dozen dat precies n balletjes bevat is een stochast Yn.
Geef de kansverdeling van Y2.
Bereken P(Y2 = 0 \ Y1 = 1).
       
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)