Nieuwe pagina 1

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

∠ BCD is 180 - 75 - 45 = 60º dus driehoek BCA is een 30-60-90 driehoek, en heeft dus zijdenverhouding 1- 2 - √3
BC = 8, dus is AB = 8√3

AEB is een 45-45-90 driehoek, en geeft dus zijdenverhouding 1-1-√2
AB = 8√3, dus AE = BE = ^8√3/_√2

De oppervlakte van ABE is dan
¹/₂ • (^8√3/_√2)² = 48

Stel BF = x, dan is ook DF = x (vierkant)

ABF is een 30-60-90 driehoek
BF = x geeft dan AF = x√3

AD = AF + FD = x√3 + x = 12
x(1 + √3) = 12
x = ¹²/_{(1 + √3)}
AB = 2x = ²⁴/_{(1 + √3)} ( = 12√3 - 12)

De hoeken van DEC zijn 60º
Dus ∠ADE = 30º
DEA is een gelijkbenige driehoek met tophoek 30º dus zijn de basishoeken 75º
Dan is ∠CEF = 180 - 75 - 60 = 45º
Dus CEF is een 45-45-90 driehoek.

CF = 6, dus EC = 6√2
Het vierkant heeft oppervlakte (6√2)² = 72

Stel de bissectrice is BD
Teken vanuit D een lijn loodrecht op BC.
De driehoeken ADB en EDB zijn gelijk,
dus DE is 1
Dan is CDE een 30-60-90 driehoek (1 - 2 - √3)

Maar dan is ABD ook een 30-60-90 driehoek
AC = 3, dus AB = √3

BD² = 1² + (√3)² = 4
BD = 2

De gele driehoek is 1-1-√2 met schuine zijde 2
De zijden zijn dan ¹/_√2 = ¹/₂√2

Het vierkant is dan 2 + √2

De diagonaal van het vierkant heeft lengte √2
(1-1-√2)
Het kleine rode driehoekje heeft dus een zijde van √2 - 1
Maar dat is ook een 1-1-√2 driehoekje (de hoeken zijn 45º) dus de oppervlakte ervan is ¹/₂ • (√2 - 1)(√2 - 1)
= ¹/₂(2 - 2√2 + 1) = 1¹/₂ - √2

Het gele deel heeft dan oppervlakte ¹/₂ - 1¹/₂ + √2 = √2 - 1

ADB is 45-45-90 dus als AD = 1 dan is
AB = √2
Dan is AP = 0,5√2

ACP is 30-60-90 dus als AP = 0,5√2 dan is
AC = √2

De stralen van de cirkels verhouden zich als 1 : √2
De oppervlaktes verhouden zich dan als 1 : 2

De drie rode hoeken zijn gelijk, dus allemaal 60º
Dus de driehoeken in d eruit zijn 30-60-90 driehoeken.

Dat betekent dat y = 2 en x = 1

De oppervlakte van de ruit is dan 4 • 0,5 • x • √3
= 2√3

Noem de straal x
Dan zie je hiernaast een 30-60-90 driehoek, dus de afstand van P naar het middelpunt is 2x
PQ = 3x = 12
x = 4