© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De Explosie van 2026

Een voorspelling door mijn TI-83  -
Bladerend in een boek over toegepaste wiskunde kwam ik de volgende tabel tegen:
jaar wereldbevolking
in miljarden
1650 0,510
1700 0,625
1750 0,710
1800 0,910
1850 1,130
1900 1,600
1950 2,565
1960 3,050
1970 3,721
1980 4,476
1990 5,320

Bij zo'n tabel begint het gelijk te kriebelen en grijp je automatisch naar je TI-83.
Ik noemde 1650  voor het gemak t = 0, en zette vervolgens het aantal jaar (dus vanaf 1650 gerekend) in Lijst1 en de bevolking in Lijst2 (met STAT - EDIT) en plotte deze gegevens  (met STATPLOT - Plot1 - ON, Type nr2, Xlist L1, Ylist L2, WINDOW Xmin=0, Xmax=340, Ymin=0, Ymax=6):


Nou, als wiskundige ben je natuurlijk direct razend nieuwsgierig naar een vergelijking voor deze "wereldse"  kromme. Een eerste ingeving was: het zal wel een benadering van een machtsfunctie (y = A • tB) zijn of een exponentiële kromme (y = B • gt). Nou is dat trouwens bij elke onbekende kromme mijn eerste ingeving moet ik eerlijk zeggen. Ik héb ook eigenlijk niet zoveel meer ingevingen.
OK. Proberen met de TI-83 dan maar:

Als het een exponentiële kromme is, moet het een rechte lijn worden als ik op de y-as log y uitzet. Immers  y = B • gt  Þ  log y = log B + t • log en dat is lineair
Als het een machtsfunctie is, dan moet het een rechte lijn worden als ik op de y-as log y uitzet en op de x-as log x.  Immers  y = A• tB  Þ  log y = log A + B • log t
Beide proberen maar: 

Exponentieel
STAT - EDIT - L3 = log (L2) en opnieuw plotten met Xlist = L1 en Ylist = L3 en WINDOW Xmin = 0 , Xmax = 340 , Ymin = -0.5 , Ymax = 0.5

Machtsfunctie
STAT - EDIT - L4 = log(L1)  (en dan moet je eerst het eerste punt  t = 0 verwijderen uit de lijsten omdat log 0 niet bestaat) en opnieuw plotten met STATPLOT -  Xlist = L4  en Ylist = L3 en WINDOW   Xmin = 2, Xmax = 2.5 , Ymin = -0.5 , Ymax = 0.5


Dat gaf de volgende twee plots: 


Nou ja zeg! Is dit nog serieuze wiskunde?
Dat lijkt in de verste verte niet op een rechte lijn! Beide niet!
Beide grafieken zijn "HOL". Dat betekent dat de helling op het eind sneller toeneemt dan die van de gehoopte rechte lijn. Kennelijk gaat deze groei tegen het eind sneller dan de twee die we probeerden.

Nou weet ik dat exponentiële groei op den duur altijd sneller gaat dan groei via een machtsfunctie. Maar deze groei gaat nóg sneller....
Van exponentiële groei is bekend dat die ontstaat uit de differentiaalvergelijking:  y' = c y   (met als oplossing  y = y0 ect )
Ofwel: hoe snel iets groeit is evenredig met hoeveel er van zijn.

Laten we ons evolueren naar de volgende soort groei:  kan het misschien zo zijn dat de constante a  in de differentiaalvergelijking geen constante is, maar afhangt van y?
Het simpelste verband zou lineair zijn:  c(y) cy/ ywaarbij we door y0 gedeeld hebben om de dimensies van de vergelijking zo eenvoudig mogelijk te houden.
Dat geeft de vergelijking    y ' = (c/y0) • y2
De  oplossing van deze vergelijking is verrassend eenvoudig:  yy0/(1 - ct)
Deze nieuwe soort groei heet hyperbolische groei.

Laten we opnieuw kijken of de formule een beetje "past".


L5 = 1/L2  moet dan uitgezet tegen L1 een rechte lijn geven. Proberen:

BINGO!  Een prachtige rechte lijn.
De formule?

STAT - CALC - Linreg (L1,L5) levert  y = ax + b  met  a = -0,0049609173  en  b = 1,867332424
Daaruit volgt  y0 = 1/b = 0,5355232883  en  vervolgens  c = -y0a = 0,0026566867
Het gezochte verband is daarmee geworden:

De figuur rechts laat nog eens zien hoe griezelig goed deze vergelijking bij de gegevens past.

Maar wacht eens even.... de functie y(t) heeft een verticale asymptoot!
Oeioeioeioei!!!!!
Onze TI-83 berekent dat op t = 376,36  de wereldbevolking oneindig zal zijn!
Ofwel: 

Kijk uit voor de grote explosie van 10 mei 2026 !
Zegt het voort!!!!