Door de middens te verbinden ontstaat een gelijkzijdige driehoek met zijden 2R

Voor de hoogtelijn van die driehoek geldt dan (met Pythagoras)  h2 + R2 = (2R)2    h = R3
De oppervlakte van de driehoek is dan 1/2 2R R3
Dat is R23

De driehoek heeft hoeken van 60, dus de drie gekleurde cirkelsegmenten hebben elk een middelpuntshoek van 60.
Samen zijn ze dan 3/6 is de helft van een cirkel.
De oppervlakte van een cirkel is pR2, dus de drie cirkelsegmenten hebben oppervlakte  1/2pR2
De gevraagde oppervlakte is dan R23 - 1/2pR2 =   R2(3 -  1/2p)