Het Vreemde Treintje
We gaan natuurlijk het hele mogelijke rijgedrag van zo'n treintje niet analyseren.
Ben je gek!

Laten we het treintraject per stukje van 50 km bekijken.
Stel dat het treintje over het eerste stuk van 50 km (noem het AB) MINDER dan 60 minuten doet.

Dan schuiven dat stuk AB een héééééél klein beetje (infinitesimaal?) op. Dat geeft CD.

Heeft het treintje over CD MEER dan 60 minuten gedaan, dan waren we te ver en schuiven we terug naar EF ertussenin. Daarover deed het treintje MEER of MINDER dan 12 minuten. We gaan nu net zolang heen en weer schuiven tussen AB en CD tot we een lijnstuk (YZ?) vinden waarover het treintje exact 60 minuten deed. Dat is altijd te vinden want van MINDER naar MEER kan alleen maar via PRECIES 60.

Heeft het treintje over CD wéér minder dan 60 minuten gedaan, dan schuiven we verder naar EF.
Enzovoorts totdat we een lijnstuk vinden waarover meer dan 60 minuten werd gedaan en dan gaat meteen het systeem hierboven weer in werking.

En dat MOET wel gebeuren want als je alleen maar lijnstukken blijft vinden met MINDER dan 60 minuten, dan wordt de totale gemiddelde snelheid óók minder dan  50 km/uur.

Hetzelfde verhaal geldt uiteraard als het eerste lijnstuk MEER dan 60 minuten duurt.

En als het PRECIES 60 minuten duurt zijn we al direct klaar!

Wiskundig gezien komt het eigenlijk hier op neer:
Beschouw de functie G(x) met G = gemiddelde snelheid over het stuk van x tot x + 50
Dan is G(x) een continue functie. Er kunnen geen sprongen in de gemiddelde snelheden zitten, want dan zou het treintje een stuk hebben overgeslagen.
Teken nu de grafiek van G en ook de lijn y = 50.
De grafiek van G kan niet helemaal boven die van y = 50 liggen, want dan zou de gemiddelde snelheid over het totale stuk meer dan 50 zijn. Maar helemaal eronder kan ook niet; dan zou de gemiddelde snelheid minder dan 50 zijn. De grafiek van G ligt dus deels boven en deels onder de lijn y = 50 (of precies erop, maar dat is een triviale oplossing; dan reed het treintje de hele weg exact 50 km/uur). Maar omdat G continu is, moet de grafiek van G de lijn  y = 50 dan ergens snijden. Dat snijpunt geeft een stuk van 50 km aan waarover precies een uur is gedaan.