Een stok in drieën breken

Een stok in drieën breken.

Het prachtige van dit probleem (eigenlijk de enige reden dat ik het heb opgenomen) is dat er meerdere totaal verschillende oplossingen zijn die (gelukkig maar) wonderbaarlijk genoeg hetzelfde resultaat opleveren.

Voor het meest elegante bewijs (anderen bewijzen staan verderop) maken we gebruik van een stelling uit de vlakke meetkunde:

Trek vanuit een punt binnen een gelijkzijdige driehoek loodlijnen naar de drie zijden.
Dan is de totale lengte van die drie loodlijnen gelijk aan de hoogtelijn van de driehoek.

Voor de figuur hieronder betekent dat, dat de drie rode lijnstukken samen even lang zijn als het blauwe.

Het bewijs:

Neem een gelijkzijdige driehoek met zijde a
Dan heeft de hoogtelijn CI lengte ½Ö3´a
Omdat DPEG een 30-60-90 driehoek is, is PG = ½Ö3´PE
Omdat DPDF een 30-60-90 driehoek is, is PF = ½Ö3´PD

Omdat CED en CAB gelijkvormig zijn is CJ : ED = CI : AB
Daaruit volgt CJ = (½Ö3´a´ED)/a = ½Ö3´ED
En PH = JI = CI - CJ = ½Ö3´a - ½Ö3´ED

PG + PF + PH = ½Ö3´PE + ½Ö3´PD + ½Ö3´a - ½Ö3´ED
PG + PF + PH = ½Ö3(PE + PD + a - ED)
maar PE + PD = ED, dus:
PG + PF + PH= ½Ö3´a

En dat is inderdaad de lengte van de blauwe lijn.

Wat schieten we daarmee op voor ons probleem?
Als we een gelijkzijdige driehoek tekenen waarvan de hoogtelijn gelijk is aan de lengte van onze stok, dan komt het breken van de stok neer op het kiezen van een willekeurig punt P binnen deze driehoek.
De keuze van punt P breekt de blauwe hoogtelijn immers in drie rode stukken.

Je kunt van de drie rode lijnstukken een driehoek maken als er niet eentje langer is dan de andere twee samen. Dus er moet niet eentje meer dan de helft van de hoogtelijn zijn.

Dat is zo als punt P maar binnen het rode gebied valt.
(M₁, M₂ en M₃ zijn middens)

De kans dat een willekeurig gekozen punt P binnen het rode gebied valt is 25%.
Dus de kans dat je van een willekeurig in drieën gebroken stok een driehoek kunt maken is ook 25%.

oplossing: 25%

Probleem 2

Een probleem dat hier erg op lijkt maar nét even anders is, is het volgende:

Breek een stok willekeurig in twee stukken.
Breek daarna het langste stuk van die twee weer willekeurig in tweeën.
Hoer groot is de kans dat je met de drie stukken die je dan hebt een driehoek kunt maken?

Stel dat we de stok in tweeën hebben gebroken en de twee stukken weer aan elkaar leggen met de langste links.
Dan ligt het eindpunt van de linkerstok tussen ¹/₂ en 1 (want het was de langste).
Waar mag het tweede breekpunt nu komen?
Dat moet tussen twee punten A en B komen.

Als het links van A komt dan zijn na breken de buitenste twee delen samen kleiner dan het middelste stuk. Dat is zo als A ligt op L - ¹/₂Als het rechts van B komt, dan is na breken het linkerstuk groter dan de andere twee samen. Dat is zo als B ligt op ¹/₂Conclusie: er ontstaat een driehoek als het tweede breekpunt bij keuze over alle punten tussen 0 en L komt te liggen tussen L - ¹/₂ en ¹/₂ En dat is een kans:

Om nu de totale kans op een driehoek te vinden moeten we deze uitdrukking middelen over alle L's tussen ¹/₂ en 1:

Daar blijkt dus zo'n 39% uit te komen.

Probleem3

Onze stokbreek-ervaringen kunnen we nu handig gebruiken bij het volgende probleem:

Kies twee random getallen tussen 0 en 1.
Hoe groot zal het absolute verschil van die twee getallen gemiddeld zijn?

Ervaren stokbrekers zeggen natuurlijk meteen:

"Oh simpel, , het is hetzelfde als een stok in drieën breken en dan vragen hoe lang het middelste deel gemiddeld zal zijn. Omdat alle breukplaatsen even waarschijnlijk zijn zullen alle drie de uiteindelijke stukken een even grote kans op een bepaalde grootte hebben. Daarom zal de gemiddelde grootte van alle drie de stukken ¹/₃ zijn, dus ook van het middelste stuk"

Maar voor wat voorzichtigere wiskundigen is zo'n redenering misschien te gevaarlijk. Zij zoeken andere oplossingen:

Creatievelingen kunnen misschien een grafische oplossing vinden. Stel het eerste getal x, het tweede y, en het absolute verschil V. Als ik een driedimensionaal assenstelsel teken met V op de z-as, dan krijg ik een tekening als hiernaast. Een keuze van twee random getallen hoort dan bij een punt (x , y , V) dat op één van beide rode vlakken ligt.
Wat is de gemiddelde V van alle punten van beide vlakken?
Wat is de gemiddelde hoogte van een piramide?
Omdat de inhoud van een piramide ¹/₃ • grondvlak • hoogte is, is de gemiddelde hoogte dus ¹/₃.
Vandaar dat V gemiddeld gelijk zal zijn aan ¹/₃.

Nog te gevaarlijk geredeneerd?
Dan maar op de analytische toer:
Kies een willekeurig getal A tussen 0 en 1, en een tweede random getal B ook tussen 0 en 1.
Dan geldt bij een vaste A voor het gemiddelde absolute verschil:

Daarbij geldt de eerste term als B < A en de tweede als B > A.
Voor het totale gemiddelde verschil moeten we nog sommeren over alle A:

Jawel! Alweer ¹/₃


Probleem 4

Wij hebben drie stokken, elk van één meter lang, een rode, een blauwe en een groene. Jij mag twee van de drie stokken elk in drie willekeurige stukken breken. Daarna breek ik vervolgens de derde stok in drie stukken. Met onze negen stukken kunnen wij daarna drie driehoeken maken waarvan alle zijden een verschillende kleur hebben (dus drie rood-groen-blauwe driehoeken). Hoe zorg jij ervoor dat dat altijd mogelijk is?


Probleem 5

Stel dat we op een stok op twee willekeurige plaatsen een streepjes markeren en de stok vervolgens in k gelijke stukken breken. Hoe groot is dan de kans dat die twee streepjes op hetzelfde stuk staan? Hier lach je natuurlijk om: te simpel! Immers het eerste streepje staat op een bepaald stukje van de stok, en de kans dat het tweede op hetzelfde stukje staat is gewoon ¹/_k natuurlijk. Belachelijk makkelijk! Maar hoe is het als de stok niet in k gelijke stukken wordt verdeeld, maar in k willekeurige stukken? Tja, daar wordt het nogal anders van......