Gietproblemen
Op een verrassende manier lijkt dit probleem op een stuiterbal die in een isometrisch rooster heen en weer gaat. Omdat onze flessen 11 en 7 liter zijn tekenen we een parallellogram van 11 bij 7:
Een bal begint in de oorsprong ((0,0): alles leeg) naar rechts te rollen. Hij stuitert in (11,0) tegen de zijwand. Dat correspondeert met vaas 11 vol en 7 leeg. Daarna reist de bal van (11,0) schuin naar de bovenkant. Deze reis symboliseert het leeggieten van de vaas van 11 in de vaas van 7. 
De bal zal  de bovenkant raken in (4,7) hetgeen overeenkomt met de vaas van 7 vol, en 4 liter in die van 11.
En zo blijft de bal heen en weer stuiteren tot hij ergens aan een kant het getal 2 raakt:
De oplossing staat hierboven getekend in het rooster en komt overeen met de volgende 18-staps oplossing:

Natuurlijk kun je ook beginnen met het balletje omhoog te laten rollen. Dat geeft de volgende 15-staps oplossing:
(0,0)(0,7)(7,0)(7,7)(11,3)(0,3)(3,0)(3,7)(10,0)(10,7)(11,6)(0,6)(6,0)(6,7)(11,2)

In de eerste oplossing vul je steeds het 11 liter vat, en leegt dat in het 7 liter vat. Elke keer als het 7-litervat vol is leeg je het weer. Dat komt eigenlijk neer op het zoeken naar oplossingen van de vergelijking  7x + 11y = 2

Een oplossing is bijvoorbeeld  x= -6 en y = 4 en dat vertalen we naar "Vul het 11-liter vat 4 keer en leeg het steeds in het 7-litervat. Gooi het 7-litervat 6 keer leeg (steeds als het helemaal vol is)"

Algemene andere oplossingen zijn:    x = -6 + 11k  en   y = 4 - 7k
Voor k = 1 vinden we  x = 5 en y = -3 en dat betekent "Vul het 7-litervat 5 keer en leeg het steeds in het 11-litervat. Gooi het 11-litervat 3 keer leeg (steeds als het helemaal vol is)" 

Dit zijn precies de twee hierboven gevonden oplossingen.
Uitbreiding

Wat verandert er als we niet twee vazen en een groot reservoir hebben, maar drie vazen waarvan de grootste gevuld is? Dat kunnen we ook grafisch weergeven door voor de kleinste twee vazen een parallellogram te tekenen en daarbij een extra lijn evenwijdig aan een hoofddiagonaal die de derde vaas voorstelt.
Hieronder staat de 7-staps oplossing voor drie vazen van 3, 5 en 8 liter, waarmee tweemaal 4 liter gemaakt moet worden:
Op de diagonaal kun je aflezen hoeveel er steeds in de 8-liter vaas zit.

De oplossing is dus 

(0,0,8)(5,0,3)(2,3,3)(2,0,6)(0,2,6)(5,2,1)(4,3,1)(4,0,4)
Er zijn twee dingen die fout kunnen lopen.
  • Ten eerste kan de bal op een gegeven moment gaan rondstuiteren over steeds dezelfde route terwijl nog niet alle punten zijn bereikt. Dat is zo als de kleinste twee vazen een gemeenschappelijke deler hebben. (dat staat hieronder voor vazen van 3, 6 en 9 liter.


  • Ten tweede gaat het mis als de grootste vaas kleiner is dan de andere twee samen. Stel dat de 8-liter vaas slechts 6 liter was. Dan moeten we een stuk van het parallellogram afsnijden:

In beide gevallen gaat de bal 'rondjes draaien' en zijn niet alle hoeveelheden af te meten.
Maar in alle andere gevallen is elke hoeveelheid, die kleiner dan of gelijk aan de middelste vaas is, af te meten.
Met vazen van bijv.  21, 22, en 43 liter zijn alle hoeveelheden  0,1,2,3,...,21 af te meten.

2. Een verwant probleem
Het volgende probleem lijkt rg veel op onze gietproblemen, maar  is nt ietsje anders.

Je hebt de beschikking over zes lonten die allemaal 64 minuten branden, en een doosje lucifers.
Alleen de lonten branden niet gelijkmatig!
Kun je een lont maken dat precies een uur brandt?
3. Ng een variant....
Een heks moet een toverdrank maken die precies 30 minuten moet koken. Ze heeft echter alleen de beschikking over twee zandlopers: n van 9 minuten en n van 13 minuten.

Hoe kan zij 30 minuten afmeten als zij pas mag beginnen als de drank kookt?

 

4.  En meer van het zelfde...

Je hebt een 7-minuten en een 11-minuten zandloper en moet voor een ontbijt een ei precies 15 minuten koken.

Hoe pak je dat aan?