Jazeker! Dat kan!
Eerst moet je je realiseren dat het gaat om de hoeken, want die zijn het "verst weg". Nou zijn er helaas 4 hoeken en maar 3 agenten. Dus zal één agent twee hoeken voor zijn rekening moeten nemen. De opstelling zal er daarom ongeveer moeten uitzien als hiernaast. De rode lijnen geven de afstand tot de hoeken aan.
Als de agenten precies op het snijpunt van de diagonalen van een rechtshoek staan zijn alle punten op alle zijden van het plein te bereiken.

En de efficiëntste manier wordt bereikt als die drie rechthoeken precies aansluiten. Immers als twee rechthoeken zouden overlappen zouden we ze beiden ietsje kleiner kunnen maken.  Dan zou het hele plein nog steeds bestreken worden, maar dan zouden de afstanden van de agenten tot hun verste punt kleiner zijn geworden. Dat zou een betere manier zijn.
Noem de zijde van het plein 4z en stel dat de linker rechthoek breedte 2x heeft. Dan gelden de afmetingen zoals hiernaast.
De beste indeling krijgen we als de afstanden tot de hoeken voor alle agenten gelijk zijn (als dat niet zo is kan het weer efficiënter door de rechthoek van de ene agent ietsje kleiner te maken en die van de anderen ietsje groter).
Pythagoras:
(2z)2 + x2 = z2 + (2z - x)2  Þ  4z2 + x2 = z2 + 4z2 - 4zx + x2
Daaruit volgt eenvoudig x = 0  of  x = 1/4z
Ofwel: bij een plein van 80 bij 80  is de ene rechthoek 10 bij 80 en zijn de andere twee 70 bij 40.

De afstand voor de ene agent is dan  Ö(52 + 402) = Ö1625
De afstand voor beide andere agenten is dan Ö(352 + 202) = Ö1625
Dat is ongeveer gelijk aan 40 meter en 31 centimeter.
Dat het niet beter kan kun je ook nog zien aan een redenering als de volgende:

Eén agent moet twee hoeken nemen, stel A en B. Bovenstaande oplossing gaf AC = 2Ö1625. Als het efficiënter kan, dan moet een andere agent dus C bewaken.
Maar omdat BD > CD = 2Ö1625 moet de derde agent D bewaken (anders is het weer niet efficiënter).
Omdat BE=DE=2Ö1625 kunnen de eerste en derde agent niet E bewaken, dus moet de tweede dat doen.
Omdat AF > EF = 2Ö1625 kunnen de eerste en tweede niet F bewaken, dus moet de derde dat doen.
Maar G ligt meer dan 2Ö1625 van B (eerste), C(tweede) en F(derde) af, dus niemand kan G bewaken.
Vier of Vijf agenten?
Op een bepaald moment zijn er maar liefst 5 agenten om het plein te bewaken. Echter de gemeenteraad wil bezuinigen, en besluit het aantal terug te brengen tot 4. Men beweert dat 4 agenten net zo effectief zijn als 5, omdat de maximale afstand van een agent tot een plaats die hij bewaakt bij 4 agenten niet groter is dan bij 5.

Klopt dat?
Eéndimensionaal
Jazeker! er bestaan ook ééndimensionale kortste-verbinding problemen. Kijk maar:
In elk van n huizen die willekeurig langs een rechte weg liggen woont een jongen.
Ergens op deze weg gaan zij elkaar ontmoeten.
Waar moeten zij dat doen om de totale afstand die door alle jongens samen wordt gelopen naar de ontmoetingsplaats zo klein mogelijk te maken?
3.  Tweedimensionaal in een rooster.
Nu wonen er 11 jongens op de kruisingen in het rooster hiernaast. De roosterlijnen zijn straten. 

Waar kunnen zij elkaar het best ontmoeten?

 

4.  Doorzoek een terrein.
Nog een andere variant, nu weer tweedimensionaal, is de volgende.
Ergens door een vierkant terrein loopt een kabel ondergronds in een rechte lijn. Je wilt die kabel opsporen, en weet gelukkig hoe diep hij ligt.
Je gaat net zolang rechte greppels graven totdat je de kabel tegenkomt. Dat is niet zo makkelijk. Zie wat pogingen hiernaast.
De blauwe lijnen zijn de gegraven greppels, de rode is de verborgen kabel.
Wat is de minimale greppellengte waarbij je 100% zekerheid hebt de kabel te vinden, en hoe moet je die greppels graven?