Het lijkt een onmogelijke opdracht maar:

De kans dat het lukt kan 100% worden!
De gevangenen spreken in net begin weer een volgorde af.
Na het zien van alle anderen krijgen ze een tweede volgorde (de volgorde van de nummers)

Voorbeeld:
Stel dat er 5 gevangenen zijn, en dat gevangene 3 op de hoofden van de anderen ziet:

gevangene nummer 1 2 4 5
nummer op zijn hoofd 2 -4 1/3 Ö12
De oorspronkelijke volgorde  1 - 2 - 4 - 5  wordt nu  2 - 4 - 1- 5

Nu kijkt de gevangene hoeveel WISSELINGEN er nodig zijn om van die nieuwe volgorde weer de oorspronkelijke te maken.
Dat zijn er 2, bijv. wissel 1 en 2  en wissel daarna 4 en 2.
Als de eigenschap EVEN/ONEVEN voor dat aantal wisselingen gelijk is als voor zijn eigen nummer kiest hij een BLAUWE hoed, anders een WITTE:

  wisselingen
even oneven
eigen
nummer		 even BLAUW WIT
oneven WIT BLAUW


In het voorbeeld: 
zijn nummer is 3 (oneven) het aantal wisselingen is 2(even) dus hij kiest een WITTE hoed.
En de andere gevangenen?

Stel dat gevangene  3 het getal  p op zijn hoofd had.
Dan zag 1:   2 - 3 - 4 - 5  wordt  2 - 4 - 3 - 5  dus één wisseling (4-3) nodig.
Dat is oneven, en zijn eigen nummer ook, dus een  BLAUWE  hoed.
Dan zag 2:  1 - 3 - 4 - 5  wordt  4 - 1 - 3 - 5  dus 2 wisselingen nodig (1-4 en 3-4)
Dat is even, en zijn eigen nummer ook, dus een BLAUWE hoed
Dan zag 4:  1 - 2 - 3 - 5  wordt  2 - 1 - 3 - 5  dus 1 wisseling nodig (1-2)
Dat is oneven en zijn eigen nummer is even, dus een WITTE hoed.
Dan zag 5:  1 - 2 - 3 - 4  wordt  2 - 4 - 1 - 3  dus  3 wisselingen nodig (1-2 en 2-4 en 3-4)
Dat is oneven en zijn eigen nummer ook, dus een BLAUWE hoed.

De hoeden van 1-2-3-4-5 zijn dan  blauw - blauw - wit - wit - blauw
In de uiteindelijke volgorde 2-4-1-3-5 wordt dat  blauw - wit - blauw - wit - blauw

GELUKT!
WAAROM LUKT DIT ALTIJD?
Noem het totaal aantal wisselingen van de oude naar de nieuwe situatie W.

Neem eerst aan dat W even is (voor W oneven geldt eenzelfde redenering)

Voorbeeld voor 50 gevangenen (met W even).
Stel dat gevangene 6 een even aantal wisselingen vond.
Hij heeft zijn eigen plaats nog niet vastgesteld.
Stel dat zijn plaats niet 6 is maar 28.
Dan heeft hij nog 28-6 = 22 extra wisselingen nodig om de volgorde goed te krijgen.

(hij kan bijvoorbeeld zichzelf eerst met 28 wisselen, daarna 28-27 en 27-26 en ... en 8-7  dus eerst 1 wisseling om zichzelf op de goede plaats te krijgen en daarna nog 21 om de tussenliggende nummers weer onderling op de goede plaats te krijgen)

Dan zijn er in totaal (22 + een even aantal)  wisselingen geweest en dat is een even aantal.
En als zijn plaats 27 was gaf dat op dezelfde manier in totaal een oneven aantal
enz.
Conclusie: Als zijn uiteindelijke plaats even is (BLAUW), dan vond hij eerst een even aantal wisselingen, en bij een uiteindelijke oneven plaats (WIT) vond hij een oneven aantal wisselingen.
Dus bij even moet hij blauw kiezen en bij oneven wit.

Voor gevangene 7 die een even aantal telde, geldt hetzelfde verhaal, alleen bij het verhuizen naar plaats 28 zijn er 28 - 7 = 21 extra wisselingen nodig. Dan waren er in totaal dus  (21 + even = oneven)  aantal wisselingen.  En als zijn plaats 27 was gaf dat op dezelfde manier een even aantal wisselingen.
Conclusie: bij even wit, bij oneven blauw.

En bij W oneven gaat het analoog....