De kans dat je het gratis  kaartje krijgt als je op plaats n invoegt is:

P(n) = P(niemand van de eerste n-1 mensen delen een verjaardag) • P(jij deelt je verjaardag met één van de eerste n - 1 mensen)
=   (1 • 364/365 • 363/365 • ... • (365-(n - 2))/365)  •  (n - 1)/365
Waar zit het eerste maximum van deze functie?
Dat vinden we zodra  P(n) > P(n + 1)
Ofwel    P(n)/P(n + 1) > 1
Maar    P(n)/P(n + 1) = 365/(366- n) • (n - 1)/n
Als dat groter dan 1 is, dan is   365n - 365 > 366n - n2  ofwel  n2 - n - 365 > 0
n2 - n - 365 = 0  Þ  (n + 18,6)•(n - 19,6) = 0  Þ  n = -18,6  of  n = 19,6
Kortom, je kunt het best op de 20ste plaats gaan staan.

Hieronder zie je de exacte kans op een kaartje als je op plaats n gaat staan. Voor plaats 20 is het nog steeds maar ongeveer 3%.