Tegenstrijdigheden zijn de echte wiskundige
natuurlijk en doorn in het oog.
Een schande.
Wiskunde is immers de zuiverste en eerlijkste wetenschap van allemaal?
In de wiskunde is immers alles "bewezen"?
Natuurkunde, scheikunde; het zijn slechts benaderingen, maar Wiskunde is
geen benadering, maar een abstracte wetenschap, die ons de waarheid
leert kennen, zo is eeuwenlang de opvatting geweest.
Zo rond het begin van de 19e eeuw had men zelfs zo'n rotsvast vertrouwen
in het feit dat wiskunde de "Waarheid" (jawel; met een
Hoofdletter) was, dat men aan de gang ging om alle wiskundige basis te
herleiden tot logica.
Uitgaande van een paar logische basisaxioma's moest de hele wiskunde
afgeleid worden...... |
|
En toen het
dan zo ongeveer klaar was concludeerde de uitgever Cambridge University
Press dat het publiceren van het werk een geschat verlies van 600 pond
zou opleveren. De uitgever was bereid de helft bij te
dragen. De Royal Society doneerde nog eens 200 pond, maar beide
schrijvers moesten ook elk 50 pond bijdragen om hun werk gepubliceerd te
zien.In de Principia Mathematica beschrijven zij o.a. de "Theory
of Types" waarmee veel paradoxen opgelost waren. Daarover kun
je meer lezen bij Russels
Paradox. Principia Mathematica heeft een grote invloed gehad. In de
jaren erna werd erg veel onderzoek gedaan naar logica, wiskunde, en metatheorieën
(theorieën die theorieën beschouwen en beschrijven)
En...? Is het gelukt?
Is de wiskunde volledig en ondubbelzinnig te definiëren?
Nou, nee, want toen (nou ja, een jaar of twintig later) kwam er een vervelend mannetje langs dat
Gödel heette, en die strooide roet in het wiskunde-eten. Hij publiceerde in 1931
zijn akelige "Incompleteness Theorem".
|
| De gehele tekst
kun je hier vinden, maar is geen aanrader (misschien als je last van
slapeloosheid hebt; gegarandeerd binnen 5 minuten succes). Hij bewees dat er binnen elk formeel systeem
beweringen zullen zijn waarvan niet te zeggen is of ze waar of niet waar
zijn! De essentie van zijn stelling is misschien als volgt te
beschrijven:
|
|
| 1. |
Stel dat er een perfect systeem
bestaat. Een systeem dat elke vraag (die binnen dat systeem
gesteld kan worden) correct beantwoord. Laten we dit perfecte
systeem "GOD" noemen. |
| 2. |
GOD geeft elke week een krant uit
waarin naast een aantal advertenties (hij kan ook niet van de
wind leven) ook een rubriek van vragen van lezers met daarop
antwoorden staat. En natuurlijk worden alle vragen beantwoord,
en zijn alle antwoorden WAAR. Vooruit, laten we de krant maar de
Telegraaf noemen. |
| 3. |
Gödel laat met een (duivels?)
lachje de volgende advertentie in de Telegraaf plaatsen:
|
"GOD zal nooit zeggen dat deze advertentie de waarheid
bevat" |
|
| 4. |
Daarna stelt hij in de
vragenrubriek de vraag:
|
"Bevat mijn advertentie
de waarheid?" |
|
| 5. |
Hij leunt tevreden
achterover...... |
Als GOD de vraag met JA beantwoordt, dan staat dus niet de
waarheid in de advertentie, dus klopt het antwoord van GOD niet.
Dus zal GOD deze vraag nooit met JA kunnen beantwoorden.
Dus is de bewering van de advertentie WAAR!!! We hebben nu een
bewering gevonden waarvan we wéten dat hij waar is, maar die GOD nooit
zal kunnen uitspreken!
De conclusie van Gödel is: als je elke vraag correct wilt
beantwoorden, dan kun je niet elke vraag beantwoorden. Ofwel: Een
kloppend (consistent) systeem is nooit volledig! (incompleteness
theorem) |
