VWO WII, 1977 - I

 

1. In R3 zijn ten opzichte van een orthonormale basis met oorsprong O gegeven de punten A, B en C
 
  De lijn l gaat door A en B,  Het vlak V gaat door O, A en B.
       
  a. Neem A(0, 2, -1), B(1,0,1) en C(6, -4, -1).
Bereken de afstand van C en l.
Op l ligt punt D zo dat ∠(CD, l) + ∠(CD, V) = 90║.  Bereken de co÷rdinaten van D.
       
  b. Een lineaire afbeelding F van R3 naar R3 beeldt de punten A, B en C op C af.
Bewijs dat het F-beeld van V een lijn is.
Geef de beeldruimte (het bereik) van F.
Geef de kern van F.
       
2. In R3 zijn ten opzichte van een orthonormale basis gegeven de punten  A(3, -1, 1), B(5, -3, 1) en C(3, 3, 5) en het vlak V:  2x1 + x2 + 2x3 = 5.
De lijn l gaat door de punten A en B.
 
       
  a. Toon aan dat er door het punt P(0, 1, -1) geen lijn mogelijk is die zowel l als m snijdt.
       
  b. De bol b gaat door A en B en raakt lijn m in C.  Stel een vergelijking van b op.
       
  c. Het vlak W bevat de lijn l en snijdt vlak V volgens een lijn die loodrecht op m staat.
Stel een vergelijking op van W.
       
3. a. Ten opzichte van een orthonormale basis is A een lineaire afbeelding van R2 naar R2. waarbij het punt (2, 3) een dekpunt is en  A(1,1) = (0,2).  Stel de matrix van A op.
       
  b. Ten opzichte van een orthonormale basis is de afbeelding B van R2 naar R2 een rotatie om een punt van de x1-as over een positieve hoek φ. Gegeven is dat  B(1, 1) = (0,2).
Bereken cosφ en stel de afbeeldingsvergelijkingen van B op.
       
  c. Ten opzichte van een orthonormale basis is de afbeelding C van R2 naar R2 een isometrie.
Voor de translatie T en de orthogonale afbeelding D geldt:  C = T o D,  waarbij  C(1,1) = (0,2) en C(-3, 1) = (0,-2)
Stel de matrix van D op en geef de translatievector t van T.
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.