VWO WII, 1974 II

 

1. Gegeven zijn de punten O(0,0,0), A(1,0,0), C(0,1,0) en D(0,0,1).
Deze punten zijn de hoekpunten van de kubus OABC.DEFG.
Het midden van de ribbe BF is M.
       
  a. Een lijn l door O die in het vlak x3 = 0 ligt, maakt gelijke hoeken met de lijnen CM en EM.
Stel een vectorvoorstelling op van l
       
  b. Kies een punt van lijn AF. Bereken de co÷rdinaten van K, als de oppervlakte van driehoek BGK minimaal is.
       
  c. Vlak V gaat door O en snijdt de lijnen DG, DM en DA achtereenvolgens in de punten P. Q en R. Vierhoek PQRO is een parallellogram.
Stel een vergelijking van het vlak V op.
       
2. Gegeven zijn de punten O(0,0,0), A(4,0,0), B(0,1,0), C(0,0,4), D(0,4,8) en E(8,0,4)
De afbeelding P is de loodrechte projectie op het vlak BEO.
De afbeelding Rφ is de  rotatie om de lijn OB over een hoek φ zodat A het beeld is van C als φ = 1/2π.
       
  a. Stel de matrix op van de afbeelding P.
       
  b. Onder de afbeelding Rπ/2 o P heeft de lijn DE een beeld. Stel een vectorvoorstelling op van dit beeld van DE.
       
  c. Bewijs dat de kern van de afbeelding Rj o P onafhankelijk is van φ.
       
  d. Een bol β gaat door C, raakt de lijn DE in D en raakt het vlak BEO.
Stel een vergelijking op van β.
       
3.
       
  a. Bewijs dat voor elke p de afbeelding Ap singulier is.
       
  b. Wat is bij variabele p de verzameling van de beelden van het punt (1, 2, 1) onder de afbeelding Ap?
       
  c. Voor welke p en voor welke x ≠ 0 geldt  Ap(x) = x
       
  d. Welke vlakken hebben bij elke Ap hetzelfde volledige origineel als het vlak x1+ x2 + x3 = 0 ?

N.B. Bij een afbeelding is het volledige origineel van een verzameling V de verzameling van alle originelen van de elementen van V.
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.