VWO WB, 2026 - II
Rondom een top.
       
Voor  x ³ 0  wordt de functie f gegeven door  f(x) = -x3 + 11/2x.
Het punt  A(1/2Ö2, 1/2Ö2) is de top van de grafiek van f.
De lijn k met vergelijking y = x snijdt de grafiek van f in de oorsprong O en in A.
De lijn l is de verticale lijn door A.
Het gebied V is de driehoek die wordt ingesloten door k, l en de positieve x-as. Het gebied W  ligt rechts van l en wordt ingesloten door l, de grafiek van f en de positieve x-as. In onderstaande figuur zijn beide gebieden grijs weergegeven.
       

       
6p. 1. Onderzoek op exacte wijze of V en W gelijke oppervlakte hebben.
     

   
Voor p > 0  wordt de functie gp  gegeven door  gp(x) = x + | px - 1|
De grafiek van gp  heeft een knik.
Voor één waarde van p bevindt deze knik zich in punt A. Zie onderstaande figuur.
       

       
Er geldt: in dit geval is de hoek die de knik maakt 90° .
       
4p. 2. Bewijs dit.  
     

   
Perforaties.
       
De functie f  wordt gegeven door:

       
Voor 0 £ x £ p  heeft de grafiek van  f  twee perforaties.
       
4p. 3. Bereken exact de coördinaten van deze twee perforaties.
     

   
Thermosflessn.
       
Een thermosfles heeft een dubbele wand. Hierdoor blijft een vloeistof die in een thermosfles wordt bewaard langere tijd warm of juist koud.

De vloeistoftemperatuur T in een volledig gevulde en afgesloten thermosfles kan worden berekend met de formule:
     

T(t) = A + (T0 - A)· e-ct 

     
Hierbij geldt:
- t is de tijd in uren nadat de thermosfles werd afgesloten.
- T(t) is de vloeistoftemperatuur in °C na t uur.
- T0 is de vloeistoftemperatuur in °C bij t = 0.
- A is de constante omgevingstemperatuur in °C.
- c is een constante die afhangt van de kwaliteit van de thermosfles.
       
Om 9.00 uur ’s ochtends wordt een volledig met vloeistof gevulde thermosfles afgesloten en in een ruimte geplaatst. De vloeistoftemperatuur in de fles is op dat moment 87 °C. De omgevingstemperatuur in de ruimte is constant. De vloeistoftemperatuur in de fles is om 11.30 uur 67 °C en om 14.00 uur 53 °C.

Met bovenstaande gegevens kan een stelsel vergelijkingen worden opgesteld. Dit stelsel kan vervolgens worden herleid tot een vergelijking met één variabele.
       
6p. 4. Stel deze vergelijking op en bereken vervolgens met behulp van deze vergelijking de temperatuur in °C van de vloeistof om 15.00 uur. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   
Bij een test worden twee thermosflessen van verschillende merken gevuld met een vloeistof met een temperatuur van 95 °C en in een ruimte geplaatst. Na verloop van tijd is de vloeistof in beide thermosflessen afgekoeld tot de constante omgevingstemperatuur van 20 °C. De formule voor de vloeistoftemperatuur in de thermosfles van het merk Isomax is:
       

TI(t) = 20 + 75· e-0,2t 

       
De formule voor de vloeistoftemperatuur in de thermosfles van het merk Therm is:
       

TTh(t) = 20 + 75· e-0,15t 

       
In de figuur zijn de grafieken van TI en TTh weergegeven.
       

       
De leverancier beweert dat het maximale temperatuurverschil van de vloeistoffen in beide flessen vrijwel niet merkbaar is.
       
6p. 5. Bereken algebraïsch dit maximale temperatuurverschil in °C. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   
Evenwijdige vectoren en zwaartepunt.
       
Gegeven zijn de punten  A(5 - p, 2p),  B(2p, p)  en  C (5,5)
In onderstaande figuur zijn voor drie waarden van p de vectoren CA  en CB weergegeven.
       

       
Voor positie 2 zijn CA en CB evenwijdig en hebben ze een tegengestelde richting
Er is een vierde positie, waarvoor de vectoren CA en CB ook evenwijdig zijn. In dat geval hebben de vectoren gelijke richting.
       
5p. 6. Bereken algebraïsch de waarde van p bij deze vierde positie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

   
In A en in B bevinden zich puntmassa’s met massa 2 en in C bevindt zich een puntmassa met massa 1.
Bij elke waarde van p hoort een positie van het zwaartepunt Z van de drie puntmassa’s. Deze zwaartepunten liggen op de lijn l.
In onderstaande figuur zijn voor een zekere waarde van p de posities van de puntmassa’s A, B en C en het bijbehorende zwaartepunt Z weergegeven.
Ook zijn voor deze waarde van p de plaatsvectoren OA, OB en OC en de lijn l weergegeven.
       

       
Er is een waarde van p waarvoor de x-coördinaat van het zwaartepunt gelijk is aan de y-coördinaat van het zwaartepunt.
       
4p. 7. Bereken in dat geval exact de coördinaten van het zwaartepunt.
     

   
Draaierig.
       
Punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:
       

       
Hierbij is t de tijd in seconden. De baan van P is weergegeven in de volgende figuur.
       

       
Op zes tijdstippen bevindt P zich op de y-as.
       
4p. 8. Bereken exact deze tijdstippen.  
     

   
Op de tijdstippen t = 1/2p en t = p gaat P door het punt (1, –1).
In (1, –1) snijdt de baan zichzelf onder een bepaalde hoek.
       
5p. 9. Bereken op algebraïsche wijze deze hoek in graden. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   
Minimale lengte en grenswaarde.
       
De functie f  wordt gegeven door  f(x) = x2 · ln(1/2x)  en de functie g door  g(x) = x2 · ln(x)
In de figuur zijn de grafieken van f en g weergegeven.
       

       
Punt  A(2/Öe, -2/e) is de top van de grafiek van f.
Punt B is de top van de grafiek van g.
Door A en B worden vierkanten getekend waarvan de zijden evenwijdig zijn met de x-as en y-as.
In de figuur zijn twee voorbeelden getekend van zo’n vierkant.
De lengtes van de zijde van alle mogelijke vierkanten zijn niet even groot.
       
7p. 10. Bereken algebraïsch de lengte van de zijde van het kleinst mogelijke vierkant. Geef je eindantwoord in vier decimalen.
     

   
De functie h is gegeven door:  h(x) = g(x)/f(x) 
Voor toenemende waarden van x nadert h(x) tot een grenswaarde.
       
3p. 11. Bereken exact deze grenswaarde.

   
       

 

Een gebroken wortelfunctie.
       
De functie f  wordt gegeven door f(x) = 3/Öx
Op de grafiek van f  liggen de punten A (1, 3)  en B (9,1) .
In onderstaande figuur zijn de grafiek van f en het lijnstuk AB weergegeven.
       

       
Er is een punt tussen A en B op de grafiek van f waarin de helling van de grafiek van f gelijk is aan de helling van lijnstuk AB. De x-coördinaat van dat punt kan worden geschreven als  qÖ p , met p en q gehele getallen.
       
4p. 12. Bereken exact een mogelijke waarde van p en van q.
     

   
V is het gebied dat wordt begrensd door de horizontale lijn door A, de verticale lijn door B en de grafiek van f .
In onderstaande figuur is V grijs weergegeven.
       

       
Als V wordt gewenteld om de x-as ontstaat een omwentelingslichaam.
       
4p. 13. Bereken algebraïsch de inhoud van dit omwentelingslichaam. Geef je eindantwoord als een geheel getal.
     

   
Op de grafiek van f worden twee transformaties toegepast (dat kan op verschillende manieren). Het resultaat van deze twee transformaties is de grafiek van de functie g die door de punten A en C gaat, waarbij C de loodrechte projectie van B op de x-as is. In de volgende figuur is deze situatie weergegeven.
       

       
3p. 14. Geef deze twee transformaties in de juiste volgorde.
     

   
Twee cirkels
       
Gegeven is een cirkel c1 met straal r1 en middelpunt O.
Lijn k raakt c1  in een punt A met positieve coördinaten en snijdt de positieve x-as in punt M zo dat ÐAMO = 30°
M is het middelpunt van een cirkel c2 met straal r2  waarbij r2 < r1
Lijn l gaat door O en raakt c2 in punt B met positieve y-coördinaat.
Zie de figuur.
       

       
Lijn l snijdt c1 in punt C en lijn k snijdt c2 in punt D.
Punt E is de loodrechte projectie van C op de x-as.
Punt F is de loodrechte projectie van D op de x-as.
De driehoeken OBM en OEC zijn gelijkvormig.
Er geldt: CE = DF = 1/2r2.
       
4p. 15. Bewijs dat inderdaad geldt CE = DF = 1/2r2.
     

   
Neem in het vervolg van deze opgave r = 1  en M = (8, 0) .
Omdat CE en DF even lang zijn, is EFDC een rechthoek. Zie de volgende figuur.
       

       
De oppervlakte van rechthoek EFDC hangt af van r2. Voor één waarde van r2 is deze oppervlakte maximaal.
       
5p. 16. Bereken de maximale oppervlakte van rechthoek EFDC. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

   
UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. V heeft oppervlakte  1/2 · 1/2Ö2 · 1/2Ö2 = 1/4
  -x3 + 11/2x = 0
x(-x2 + 11/2) = 0
x = 0  Ú  x = ±Ö11/2 dus de rechtergrens van W is bij x = Ö1,5
De oppervlakte van W is:
 
  = (-0,5625 + 1,125) - (-0,0625 + 0,375)
= 0,5625 - 0,3125
= 1/4
Die zijn dus gelijk.
   
2. De knik bevindt zich bij   | px - 1| = 0  Dat moet zijn bij xA = 1/2Ö2
p ·  1/2Ö2 - 1 = 0
p = 1/(0,5Ö2) = Ö2
x <  1/2Ö2 geeft  g(x) =  x - (px - 1) = x - xÖ2 + 1  en de helling is  (1 - Ö2)
x >  1/2Ö2 geeft  g(x) =  x + (px - 1) = x + xÖ2 - 1  en de helling is  (1 + Ö2)
Als die loodrecht op elkaar staan dan moeten de rc vermenigvuldigd -1 opleveren:
(1 - Ö2)(1 + Ö2) = 1 - Ö2 + Ö2 - 2 = -1
Dat klopt, dus het is loodrecht
   
3. Voor een perforatie moet er nul/nul uitkomen:

2sin(x) - 1 = 0
sin(x) = 1/2
x = 1/6p  Ú  x = 5/6p

x = 1/6p  geeft  noemer 4sin2x - 1 = 0
x = 5/6p  geeft  ook   noemer 4sin2x - 1 = 0

omschrijven:
 
  voor x gelijk aan  1/6p  en 5/6p komt er 1/2 uit dus de perforaties zijn de punten (1/6p, 1/2)  en (5/6p, 1/2)
   
4. Gegevens invullen:
67 = A + (87 - A)e-2,5c    ....(1)
53 = A + (87 - A)e-5c       ....(2) 

67 = A + (87 - A)e-2,5c
67 = A + 87e-2,5c - Ae-2,5c
67 - 87e-2,5c = A(1 - e-2,5c)
 
  Dat kun je voor A in vergelijking (2) invullen;
 
  invoeren in de GR en dan intersect geeft c =  0,14...
Dat weer invullen in de vergelijking voor A geeft  A = 20,33
invullen in de formule voor T(t) met t = 6 (15:00 uur)   geeft een temperatuur van 49°C
   
5. TTh - TI  moet maximaal zijn,.  dus de afgeleide ervan moet nul zijn.
TTh - TI  = (20 + 75· e-0,15t  ) - (20 + 75· e-0,2t )
De afgeleide is:
-0,15 · 75 · e-0,15t - 75 · -0,20 ·e-0,2t = 0
-11,25 · e-0,15t + 15·e-0,2t = 0
e-0,15t (-11,25 + 15e-0,05t) = 0
-11,25 + 15e-0,05t = 0
11,25 = 15e-0,05t 
e-0,05t = 0,75
-0,05t = ln(0,75) = -0,2876...
t = 5,753...
Het temperatuurverschil is dan  (20 + 75· e-0,15 · 5,753...  ) - (20 + 75· e-0,2 · 5,753... ) = 8 °C
   
6.
  die zijn evenwijdig als de ene een aantal keer de andere is.
dat betekent dat de verhouding tussen de x-kentallen hetzelfde is als de verhouding tussen de y-kentallen.
dus  -p/(2p - 5) = (2p - 5)/(p - 5) 
(2p - 5)(2p - 5) = -p(p - 5)
4p2 - 10p - 10p + 25 = -p2 + 5p
5p2 - 25p + 25 = 0
p2 - 5p + 5 = 0
p = (5 ± Ö5)/2 
voor p = (5 -  Ö5)/2  hebben de vectoren gelijke richting
dat is p = 1,38
   
7.
  5xZ = 10 - 2p + 4p + 5  geeft  5xZ = 15 + 2p
5yZ = 4p + 2p + 5  geeft  5yZ = 6p + 5
Dat ligt op y = x als  15 + 2p = 6p + 5
Dan is p = 2,5
De coördinaten zijn dan  (4, 4)
   
8. x = 0
sin(t) - cos(3t) = 0
sin(t) = cos(3t)
sin(t) = sin(1/2p - 3t)
t = 1/2p - 3t + k2p  Ú  t = p - (1/2p - 3t) + k2p
4t = 1/2p + k2p  Ú  -2t = 1/2p + k2p
t =  1/8p + k1/2p  Ú   t = -1/4p - kp
dat geeft  t =  1/8p,  5/8p,  9/8p,  13/8p,  3/4p,  7/4p  
   
9. x ' = cos(t) + 3sin(3t)
y '= -sin(t) + 3cos(3t)

x '(1/2p) = 0 - 3 = -3
y '(1/2p) = -1 + 0 = -1
x '(p) = -1 + 0 = -1
y'(p) = 0 - 3 = -3
 
  dat geeft een hoek van 53°
   
10. g(x) = x2 · ln(x)
g ' (x) = 2xln(x) + x2 · 1/x = 2xln(x) + x
g ' = 0  geeft   x(2ln(x) + 1) = 0
x= 0  Ú  2ln(x) = -1
x= 0  Ú  ln(x) = -1/2
x = 0  Ú  x = e-0,5
xB = e-0,5
yB = (e-0,5)2 · ln(e-0,5) = -0,5e-1  = -1/(2e)
A =  (2/Öe, -2/e)
de horizontale afstand tussen de toppen is   xA - xB = 2/Öe - 1/Öe = 1/Öe (= 0,6065...)
de verticale afstand tussen de toppen is  yB - yA = -1/(2e) - - 2/e = 3/(2e) = 0,5518...
Het kleinst mogelijke vierkant heeft als zijde de grootste van deze twee, dus dat is  0,6065
   
11.
  voor de limiet naar oneindig delen we alles door ln(x):
 
  het eerste deel van de noemer gaat naar nul.
Dus blijft over 1/1 = 1
De grenswaarde is dus 1.
   
12. De helling van AB is   (1 - 3)/(9 - 1) = -1/4.
f(x) = 3x-0,5
f '(x) = -1,5x-1,5
-1,5x-1,5 = -1/4
x-1,5 = 1/6
x1,5 = 6
x = 62/3 = 3Ö36
   
13. Het deel onder de grafiek van f omwentelen geeft inhoud:
 
  de lijn y = 3 omwentelen geeft inhoud p · 32 · 8 = 226,194...
Het deel tussen beide grafieken omwentelen geeft dan inhoud 226,194... - 9pln9 =  164
   
14. De grafiek van g gaat door (9,0) en (1,3)
er zijn meerdere mogelijkheden, maar deze is het handigst:

Als je de grafiek van f eerst 1 omlaag schuift dan gaat het beeld alvast door C en dan kun je daarna de afstand tot de x-as wel zo vermenigvuldigen  dat de grafiek ook door A gaat (daarbij blijft C op zijn plaats want die ligt op de x-as)
Bij 1 omlaag schuiven komt A terecht op punt (1,2)
Dus moet je met 1,5 vermenigvuldigen om dat punt weer in (1,3) te krijgen.

Dus:  translatie 1 omlaag gevolgd door vermenigvuldiging t.o.v de x-as met factor 1,5.
   
15. Driehoek DFM:  sin30 = DF/r2  dus  DF = r2 · sin(30) = 1/2 · r2

OM = r1/sin(30) = 2r1
OBM en OEC zijn gelijkvormig
 
 
OB
 		 BM
r2		 OM
2r1
OE
 		 EC
?		 OC
r1
  dus  CE = r2 · r1/2r1 = 1/2r2
   
16. Driehoek OEC Pythagoras:   OC = 4 en CE = 0,5r2
dus  OE =  Ö(42 - (0,.5r2)2) =  Ö(16 - 0,25r22)

Driehoek FMD Pythagoras:  MD = r2 en  DF = 0,5r2
dus  MF = Ö(r22 - (0,5r2)2) = Ö(3/4 ·r22) = 0,5r2Ö3

EF = 8 - MF - OE
EF = 8 -  0,5r2Ö3 -  Ö(16 - 0,25r22)
De oppervlakte is dan  ( 8 -  0,5r2Ö3 -  Ö(16 - 0,25r22)) ·0,5r2
Invoeren in de GR en dan calc - maximum geeft  (r2 = 2,766...)  en opp = 2,56