VWO WB, 2026 - I

 

Een punt en een lijn.
       
Gegeven is het punt P(7, 24) en de lijn k met vergelijking 3x - 4y = 0 .
De cirkel c heeft middelpunt O en gaat door punt P. Cirkel c snijdt lijn k rechts van de y-as in het punt S. In de volgende figuur is deze situatie weergegeven.
       

       
4p. 1. Bereken exact de coördinaten van S.
     

   
Het punt A ligt op lijn k met vergelijking 3x - 4y = 0.
Het punt B is de loodrechte projectie van punt A op de y-as.
Punt A kan zo worden gekozen dat de bissectrice (deellijn) van hoek OAB door punt P(7, 24) gaat.
In de volgende figuur is deze bissectrice gestippeld weergegeven.
       

       
5p. 2. Bereken algebraïsch de coördinaten van A.
     

   
Twee snijpunten.
       
De functie f wordt voor 0 < x £  2 gegeven door:
       

       
Op de grafiek van  f  ligt het punt P met  xP = 1/2.
De lijn k raakt de grafiek van  f  in P.
De lijn m staat loodrecht op lijn k en raakt de grafiek van f in het punt Q. Zie de figuur.
       

6p. 3. Bereken exact de x-coördinaat van Q.  
     

   
De functie g wordt gegeven door:

       
Het is mogelijk de grafiek van g te laten ontstaan uit de grafiek van f door middel van één transformatie.
       
2p. 4. Geef deze transformatie.  
     

   
De grafieken van f en g snijden elkaar in het punt S.
       
4p. 5. Bereken exact de x-coördinaat van S.

   
       
Perforatie en oppervlakte
       
De functie fp wordt gegeven door:

       
Voor één waarde van p heeft de grafiek van fp een perforatie.
       
5p. 6. Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.  
     

   
Het functievoorschrift van f0  kan voor x > 1 worden geschreven als:
       

       
In de figuur is de grafiek hiervan weergegeven.
       

       
Het punt (2, 0) is het snijpunt van de grafiek van f0 met de x-as.
V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f0 , de x-as en de lijn met vergelijking x = 5.
Dit vlakdeel is in de figuur grijs gemaakt.
       
3p. 7. Bereken exact de oppervlakte van V.
     

    
Stuiterbal.
       
In deze opgave bekijken we een vereenvoudigd model van de situatie waarin iemand een stuiterbal recht omlaag laat vallen. Deze bal zal dan een aantal keer stuiteren. Het moment waarop de bal de grond raakt noemen we stuit. Na elke stuit komt de stuiterbal minder hoog dan na de voorgaande stuit.

De hoogte van de stuiterbal tussen twee opeenvolgende keren stuiten wordt steeds beschreven door een kwadratische functie van de tijd t. Vanaf het loslaten tot aan de eerste stuit heet de functie h0 , tussen de eerste en de tweede stuit heet de functie h1 , vervolgens h2 enzovoorts. De grafieken van deze functies zijn delen van parabolen.

In deze opgave bekijken we een stuiterbal die wordt losgelaten vanaf een hoogte van 1 meter op tijdstip t = 0. De eerste stuit is na 0,45 seconden. Zie de figuur.
       

       
Er geldt (bij benadering)    h0(t) =  -4,9t2 + 1 , met t in seconden en h0 de hoogte in meters.
       
2p. 8. Bereken algebraïsch de snelheid in m/s waarmee de stuiterbal voor het eerst de grond raakt. Geef je eindantwoord in één decimaal.
     

   
Tussen twee opeenvolgende stuiten bereikt de stuiterbal een hoogste punt. Iedere keer is de hoogte van dat hoogste punt 64% van de hoogte van het voorgaande hoogste punt.
       

       
In de figuur hierboven is te zien dat de tijdsduur tussen twee opeenvolgende stuiten steeds korter wordt. Deze tijdsduur Tn is in seconden. Zo is T1 = 0,72 de tijdsduur tussen de eerste en de tweede stuit, T2 de tijdsduur tussen de tweede en derde stuit enzovoorts. T3 loopt van tijdstip K tot tijdstip L.
Een formule voor Tn is:     Tn = 0,9 · 0,8n    met n ³ 1 .
       
7p. 9. Stel met bovenstaande gegevens een functievoorschrift op van h3 Geef de getallen in je eindantwoord in twee decimalen.
     

   
Lus.
       
Het punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen:
       

       
De baansnelheid van P is op één tijdstip t minimaal.
       
3p. 10. Bereken deze waarde van t. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
   
   

    

De baan die P doorloopt is in de figuur hiernaast weergegeven. De pijl geeft de richting aan waarin het punt de baan doorloopt.

Het punt Q doorloopt dezelfde baan als punt P. Q loopt steeds 1 seconde achter op punt P en beweegt in dezelfde richting als P.

Er is één tijdstip t waarop de punten P en Q op gelijke hoogte liggen. In de figuur is deze situatie weergegeven.
       
4p. 11. Bereken exact de lengte van lijnstuk PQ in deze situatie.
     

   
De bewegingsvergelijkingen van een ander punt zijn gegeven door:
     

     
Hierin is a een constante, waarbij a ¹ 0 . Punt A is het punt van de baan waarbij de x-coördinaat maximaal is; punt B is het punt van de baan waarbij de y-coördinaat maximaal is.

Er is een waarde van a waarvoor de richtingscoëfficiënt van de lijn door A en B gelijk is aan -1. In  de figuur hiernaast is deze situatie weergegeven.
       
6p. 12. Bereken exact deze waarde van a.
     

   
Gebroken gonio
       
De functie f wordt gegeven door:
       

       
De lijn met vergelijking y = 1 snijdt de grafiek van f in de punten A, B en C  met xA <  xB <  xC. Zie de figuur. Hierin zijn de twee verticale asymptoten gestippeld weergegeven.
       

       
3p. 13. Toon op algebraïsche wijze aan dat AB = BC .  
     

    
De grafiek van f heeft een top T. Deze ligt onder de x-as. Zie de figuur.
Voor de x-coördinaat van T geldt:     5cos2(x) + 8cos(x) + 3 = 0
       
6p. 14. Bewijs dat dit juist is.

   
       
5p. 15. Bereken algebraïsch de y-coördinaat van T.

   
       
Begrensde Inhoud.
       

De functie f wordt gegeven door

f(x) = e -x - e -2x

In de figuur hiernaast  is de grafiek van f weergegeven.
De grafiek snijdt de x-as in de oorsprong.
Ook is voor een waarde van  p > 0  de lijn met vergelijking x = p weergegeven.

We bekijken het gebied dat wordt begrensd door de lijn met vergelijking
x = p, de x-as en de grafiek van f. Dit gebied is in de figuur met grijs weergegeven.

       
Het grijze gebied wordt gewenteld om de x-as.
Zo ontstaat een omwentelingslichaam. Zie de figuur hiernaast.

De inhoud van het omwentelingslichaam is Lp .
Hiervoor geldt:
     

     
6p. 16. Bewijs dat bovenstaande formule voor Lp juist is.
   

   
Als p onbegrensd toeneemt, nadert Lp tot een limietwaarde L.
Er is een waarde van p waarvoor Lp gelijk is aan de helft van de limietwaarde L.
     
4p. 17. Bereken deze waarde van p. Rond je eindantwoord af op twee decimalen.
   

   

  
UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. De straal van de cirkel is  Ö(72 + 242) = 25
Het middelpunt van de cirkel is (0, 0)
De vergelijking van de cirkel is dan  x2 + y2 = 625

De lijn heeft vergelijking   y = 0,75x

Invullen in de cirkel:  x2 + (0,75x)2 = 635
1,5625x2 = 625
x2 = 400
x = 20
y = 0,75 · 20 = 15
S = (20, 15)
   
2. P heeft gelijke afstanden tot AB en k
De afstand van P tot k kan met de afstandsformule:
d(P, k) =  |3 · 7 - 4 · 24|/Ö(32 + 42) = 75/5 = 15
dus d(P, AB) = 15 en dan is AB de lijn  y = 24 + 15 = 39
snijden met k:   3x - 4 · 39 = 0  geeft  x = 52
A = (52, 39)
   
3. f(x) = 2ln(x) + 1,5x-1 - 1
f '(x) = 2/x - 1,5/x2
f '(0,5) = -2
Dan heeft m helling  0,5
f '= 0,5 geeft  0,5 = 2/x - 1,5/x2
vermenigvuldig met x2, dat geeft  0,5x2 = 2x - 1,5
x2 - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1  Ú  x = 3
Alleen x = 1 voldoet  (want 0 < x £  2)
   
4. Als je x vervangt door 2x krijg je de juiste formule voor g
Dat is een vermenigvuldiging met factor 1/2 t.o.v. de y-as.
   
5. 2ln(x) + 3/2x - 1 = 2ln(2x) + 3/4x - 1
3/2x - 3/4x = 2ln(2x) - 2ln(x)
6/4x - 3/4x = 2ln(2) + 2ln(x) - 2ln(x)
3/4x = 2ln2
x = 3/8ln2 
   
6. Voor een perforatie moeten de teller en de noemer beiden nul zijn.
Noemer is nul geeft  x - 1 = 0  dus x = 1
Teller is nul geeft  |x - 2| + p = 0  en met x = 1 geeft dat  p = 1
f1(1) =  |x - 2| + 1/(x - 1)  en voor x < 2  geeft  dat    f1(x) = (-x + 2 - 1)/(x - 1) =  -(x - 1)/(x - 1)
voor x ongelijk aan 1 is dat  -1
De perforatie is dus  (1, -1)
   
7. Voor x > 2 is  f0(x) = 1 - 1/(x - 1)
 
  = (5 - ln(4)) - (2 - ln(1))
= 3 - ln(4)
   
8. 0 =  -4,9t2 + 1
4,9t2 = 1
t2 = 0,204...
t = 0,4517...

De snelheid is  h' = -9,8t = -9,8 · 0,4517... = -4,4 m/s
   
9. Tn = 0,9 · 0,8n   dus
T1 = 0,72
T2 = 0,576
T3 = 0,4608
De nulpunten van h3 zijn dus
0,45 + 0,72 + 0,576 = 1,746
en 0,45 + 0,72 + 0,576 + 0,4608 = 2,2068
Een formule van h3 is dan   h = a(t - 1,746)(t - 2,2068)

De top van h3  heeft x = (1,746 + 2,2068)/2 = 1,9764  en  y = 1 · 0,643 = 0,262144
De top invullen geeft  0,262144 = a · (1,9764 - 1,746)(1,9764 - 2,2068)
0,262144 = a · -0,053...
a = -4,938...

h = -4,94 · (t - 1,75)(t - 2,21)
   
10. v = Ö(vx2 + vy2)
= Ö((4t - 3t2)2 + (4 - 4t)2)
invoeren bij Y1 en dan calc-minimum  geeft minimale baansnelheid  bij t = 1,12
   
11.

yP = 2t(2 - t)
yQ = 2(t - 1)(2 - (t - 1)) = (2t - 2)(3 - t)

Die zijn gelijk als  2t(2 - t) = (2t - 2)(3 - t)
4t - 2t2 = 6t - 2t2 - 6 + 2t
6 = 4t
t = 1,5
tA = 1,5  en  tB = 0,5
xA = 9/8  en  xB = 3/8
AB = 3/4  

   
12. x = 2t2 - t3
x ' = 0  geeft  4t - 3t2 = 0
t(4 - 3t) = 0
t = 0  Ú  t = 4/3
t = 0 is de oorsprong, dus de gezochte t is t = 4/3
A is het punt  (32/27, 8/9a)

y = 2at - at2
y' = 0  geeft  0 = 2a - 2at
2a = 2at
t = 1
B is het punt  (1, a)

AB  heeft helling  (a - 8/9a)/(1 - 32/27) = -0,6a
Dat is -1  als a = 5/3 
   
13. f(x) = 1
1 + 2sin(x) = 1 + cos(x)
2sin(x) = cos(x)
sin(x)/cos(x) = 0,5
tan(x) = 0,5
x = 0,46 + kp
Die liggen p uit elkaar, dus AB = BC = p

OF
2sin(x) = cos(x)
sin(x) = 0,5cos(x)
Dat is in de eenheidscirkel de lijn y = 2x en die gaat door de oorsprong.
Die snijdt de eenheidscirkel in twee punten die p radialen van elkaar liggen
   
14.
  Dat is nul als de teller nul,is:
2cos(x)(1 + cos(x) - (1 + 2sin(x))(-sin(x)) = 0
2cos(x) + 2cos2(x) + sin(x) + 2sin2(x) = 0
maar cos2x + sin2x = 1 dus  2cos2x + 2sin2x = 2
dat geeft  2cos(x) + 2 + sinx = 0
2cos(x) + 2 = -sin(x)
(2cos(x) + 2)2 = (-sin(x))2
2cos2(x) + 8cos(x) + 4 = sin2x
4cos2(x) + 8cos(x) + 4 = 1 - cos2(x)
5cos2(x) + 8cos(x) + 3 = 0
   
15. 5cos2(x) + 8cos(x) + 3 = 0
noem cos(x) = p
5p2 + 8p + 3 = 0
p = (-8 ± Ö4)/10 
p = -0,6  Ú  p = -1
cos(x) = -0,6    (cos(x) = -1 voldoet niet)
dan is  sin2(x) = 1 - 0,36 = 0,64 
dus  sin(x) = 0,8   Ú sin(x) = -0,8
invullen geeft  y = (1 + 1,6)/(1 - 0,6) = 6,5   Ú  y = (1 - 1,6)/(1 - 0,6) = -1,5  
De juiste is  y = -1,5
   
16.
  = p{-1/2e-2p + 2/3e-3p - 1/4e-4p) - (-1/2 + 2/3 - 1/4)}
= p(-1/2e-2p + 2/3e-3p - 1/4e-4p + 1/12)
= 1/12p(-6e-2p + 8e-3p - 3e-4p + 1) 
   
17. Als p oneindig groot wordt, dan worden al die e-machten gelijk aan 0
Dus dan is L = 1/12p
Halverwege is dus L = 1/24p
Y1 = 1/12p(-6e-2p + 8e-3p - 3e-4p + 1) 
Y2 = 1/24p
intersect geeft p = 0,95