VWO WB, 2023 - I

 

Een gebroken functie
       
De functie f wordt voor x > 0 gegeven door   f(x) = 2x + 1/x
De functie f  heeft een minimum.
       
3p. 1. Bereken exact dit minimum.
     

   
Lijn k is de scheve asymptoot van de grafiek van f.
Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, lijn k en de lijnen met vergelijking
x =  a en x = 2a met a > 0 . In de figuur is dit vlakdeel voor een zekere waarde van a geel gemaakt.
       

       
De oppervlakte van dit vlakdeel is onafhankelijk van de waarde van a.
       
5p. 2. Bewijs dit.  
     

   
Verder is gegeven de lijn met vergelijking y = 3. Deze lijn en de grafiek van f sluiten een vlakdeel W in dat wordt gewenteld om de lijn met vergelijking y = 3.
       
4p. 3. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat. Geef je eindantwoord in twee decimalen.
     

    
Buigen van metalen platen.
       
In de werktuigbouw moeten vaak metalen platen in een bepaalde hoek worden gebogen. Een van de technieken die daarbij worden gebruikt is vrijbuigen. Daarbij ligt de metalen plaat op een matrijs met een bepaalde vorm. Hierna wordt een stempel met kracht op de plaat gedrukt, zodat deze de gewenste vorm krijgt. In de figuur linksonder is dit in een vooraanzicht weergegeven. In figuur rechtsonder zie je een voorbeeld van een metalen plaat na het buigen.
       

       
Tijdens het vrijbuigen treedt vervorming op: aan de buitenkant rekt het metaal iets op en aan de binnenkant wordt het samengedrukt. In het inwendige van de metalen plaat bevindt zich de neutrale lijn: de lengte hiervan blijft gelijk na vervorming. In deze opgave nemen we aan dat de dikte van de plaat bij het buigen gelijk blijft.
In onderstaande figuur  is het vooraanzicht van een metalen plaat met een dikte van d mm zowel vóór als na het buigen weergegeven. Wanneer de plaat wordt gebogen over een hoek van 45°, verandert rechthoek ABCD in de vorm A'B'C'D' . Hierbij is boog C'D' de boog van een cirkel met middelpunt M en straal 2d en A'B' de boog van een cirkel met middelpunt M en straal 3d. De neutrale lijn P'Q' is een cirkelboog op een afstand van 0,4d van boog C'D' . Verder geldt dat de lengte van de neutrale lijn gelijk blijft, dus de lengte van boog P'Q' is gelijk aan de lengte van PQ.
       

       
5p. 4. Bereken algebraïsch hoeveel procent de oppervlakte van vlakdeel A 'B 'C 'D ' groter is dan de oppervlakte van vlakdeel ABCD. Geef je eindantwoord als geheel getal.
     

   
De kracht die uitgeoefend moet worden op een metalen plaat om deze te buigen, hangt af van het soort metaal, de dikte van het metaal en de breedte van de opening van de matrijs. De formule om deze kracht uit te rekenen luidt:
 

       
Hierbij is:
- F de benodigde kracht (in kN/m);
- R een constante die afhangt van het soort metaal;
- d de dikte van het metaal (in mm);
- V de breedte van de opening van de matrijs (in mm).
       
Voor het buigen van een metalen plaat met een dikte van 10 mm op een matrijs met een opening van 200 mm is een kracht van 420 kN/m nodig.
Als je deze metalen plaat zou buigen op een matrijs met een opening van 100 mm is meer kracht nodig.
       
3p. 5. Bereken algebraïsch hoeveel kracht er nodig is om deze metalen plaat te buigen op een matrijs met een opening van 100 mm breed. Geef je eindantwoord als een geheel getal.
     

   
Om bij een gegeven plaatdikte de breedte van de opening van de matrijs te berekenen, wordt de volgende formule gebruikt:

V = d1,75        (formule 2)
       
Door formule 1 en formule 2 te combineren krijg je een formule die de benodigde kracht F uitdrukt in R en d.

Er is een plaatdikte d waarbij de benodigde kracht F minimaal is.
       
4p. 6. Bereken exact deze waarde van d.  
     

   
       
Gedraaide parabool.
       
De bewegingsvergelijkingen van een punt P worden gegeven door:
       

       
Punt M is het midden van lijnstuk OP. Vector MP wordt rechtsom geroteerd om M over 90°. Zo ontstaat de beeldvector MQ. In de volgende figuur  is voor een waarde van t de situatie weergegeven.
 

Tijdens de beweging van P beschrijft ook het punt Q een baan. In de figuur is deze baan gestippeld weergegeven.

De bewegingsvergelijkingen van Q worden gegeven door:
   

 
       
3p. 7. Bewijs dat dit inderdaad de bewegingsvergelijkingen van Q zijn.
     

   
De snelheid waarmee P beweegt, is gegeven door  √(4 + 16t2)
Voor elke waarde van t is deze snelheid een factor c keer zo groot als de snelheid van Q.
       
3p. 8. Bereken exact de waarde van c.
     

   
Voor elke waarde van t wordt de lengte L van lijnstuk PQ bepaald. Er geldt:
       

       
3p. 9. Bewijs dit.  
     

   
In de figuur hiernaast is de grafiek van L weergegeven. In de oorsprong, bij t = 0 , zien we een knik.
Als t vanaf links of vanaf rechts tot 0 nadert, nadert de waarde van L in beide situaties ook tot 0. De helling van de grafiek van L nadert echter niet in beide situaties tot dezelfde waarde.

     
4p. 10. Bereken exact tot welke waarde de helling van de grafiek van L nadert als t vanaf links tot 0 nadert.
     

   
       

 

Absolute sinus.
       
De functie f wordt gegeven door   f(x) = | sinx + 1/2√3 |
In de figuur is de grafiek van f als zwarte lijn weergegeven.
       

       
In de figuur zijn de toppen A en B van de grafiek van f aangegeven. A en B zijn de toppen die horen bij de eerste twee maxima van f rechts van de y-as.

Er bestaat een sinusoïde die gegeven wordt door g(x) = a + bsin(x), waarvan twee opeenvolgende toppen samenvallen met de punten A en B. De grafiek van g is in de figuur rood weergegeven.

       
3p. 11. Bereken exact de waarde van a en b.
     

   
De grafiek van f en de x-as sluiten twee soorten vlakdelen in: kleine vlakdelen en grote vlakdelen. In de figuur is een van de kleine vlakdelen grijs gemaakt.
       
5p. 12. Bereken exact de oppervlakte van een klein vlakdeel.
     

   
       
Logaritmische functies.
       
De functie f wordt gegeven door:

                       f (x) = ln(x).

De functie g wordt gegeven door:

                      g(x) = 1 + e2 · (1 - ln(x)) 

In de figuur hiernaast zijn de grafieken van f en g weergegeven. De raaklijnen aan de grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht in het snijpunt.
       
6p. 13. Bewijs dit.
   

   
In de figuur hiernaast zijn de grafieken van f en g opnieuw weergegeven. Ook is voor een waarde van q de lijn met
vergelijking y = q weergegeven.
Deze lijn snijdt de grafiek van g in punt A en de grafiek van f in punt B, waarbij punt A links van punt B ligt. Er geldt dat AB = 3.
     
4p. 14. Bereken de bijbehorende waarde van q. Geef je eindantwoord in één decimaal.
   

   
       

 

Bissectrice in een rechthoek.
       
Gegeven is rechthoek OABC met O(0, 0), A(8, 0) en C(0, 4).
De punten F en E zijn de middens van respectievelijk OA en BC. Op de negatieve y-as ligt punt P(0, p). Punt D is het snijpunt van het verlengde van lijnstuk PF en lijnstuk AC. Zie onderstaande figuur.
       

       
De lijn door E en F is de bissectrice van hoek PED.
       
5p. 15. Bewijs dit voor het geval p = -2.
   

   
M(4, 2) is het snijpunt van AC en EF. Cirkel c heeft middelpunt M en gaat door D. Afhankelijk van de positie van punt P (en dus van de waarde van p) is de cirkel groter of kleiner. Er is precies één waarde van p waarvoor cirkel c raakt aan OA en BC. In onderstaande figuur is deze situatie weergegeven.
       

       
6p. 16. Bereken exact deze waarde van p.
   

   
Exponentiële breuk.
       
De functie f wordt gegeven door:

       
De grafiek van f  heeft twee horizontale asymptoten.
       
3p. 17. Bereken exact de afstand tussen deze twee horizontale asymptoten.
     

   
Een primitieve van f is    F(x) = x -  ln(ex + 1)    
       
3p. 18. Bewijs dit.
     

   
Lijn k heeft vergelijking x = a , met a > 0 .
De grafiek van f , de x-as, de y-as en lijn k sluiten een vlakdeel in. De oppervlakte van dit vlakdeel is voor elke waarde van a kleiner dan ln(2).
       
4p. 19. Bewijs dit.
     

   


 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f(x) = 2x + 1/x = 2x + x-1 
f '(x) = 2 - x-2
2 - x-2 = 0
x-2 = 2
x = 2-1/2 = 1/2√2
y = 2 •  1/2√2 +  1/(0,5√2)
y = √2 + 2/√2  = √2 + √2 = 2√2 
   
2. Als x naar oneindig gaat dan gaat 1/x naar nul.
Dus gaat dan f(x) naar 2x
De scheve asymptoot is de lijn y = 2x
 
  = ln(2a) - ln(a)
= ln(2) + ln(a) - ln(a)
= ln(2)
Dat is dus onafhankelijk van a
   
3. 2x + 1/x = 3
2x2 + 1 = 3x
2x2 - 3x + 1 = 0
De ABC-formule geeft  x = 1/2 en x = 1

De grafiek van f(x) wentelen om de lijn y = 3 geeft  dezelfde inhoud als de grafiek van f(x) - 3 wentelen om de x-as
 
  Voer in de GR in:  Y1 = p*(2X + 1/X - 3)^2
Bereken dan calc - 7: ∫ f(x)dx
Dat geeft een inhoud van ongeveer 0,02
   
4. De lengte van P'Q' is 45/360 deel van de omtrek van een cirkel met straal 2,4d
Dat is dus  45/360 • 2π • 2,4d  = 0,6πd
Dat is gelijk aan PQ
Dus de oppervlakte van ABCD is   0,6πd • d = 0,6πd2  

De oppervlakte van A' B' C' D' is  (45/360 deel van de oppervlakte van de cirkel met straal 3d)  MIN
(45/360 deel van de oppervlakte van de cirkel met straal 2d )
Dat is 45/360 • π • (3d)2 - 45/360 • π • (2d)2 =  1,125πd2 -  0,5πd2  = 0,625πd2  

De verhouding is dan  0,625/0,6 = 1,04166...
Dat is ongeveer 4% groter
   
5. d = 10  en  V = 200 en F = 420   geeft  420 = R • 100/200(1 + 40/200)
420 = 0,5R • 1,2
0,6R = 420
R = 700
Dan is F =  700 • 100/100 • (1 + 40/100) = 980 N  
   
6. Vervang V in formule 1 door  d1,75
 
  F = Rd0,25 + 4Rd-0,5   
Voor het minimum is de afgeleide nul:
F '= 0,25 • R • d-0,75 - 4 • 0,5 • R • d-1,5 
Dat is nul als  0,25d-0,75 - 2d-1,5 = 0
d-0,75 (0,25 - 2d-0,75) = 0
2d-0,75 = 0,25
d-0,75 = 1/8
d0,75 = 8
d = 84/3 = (23)4/3 = 24
d = 16
   
7.
   
8. xQ ' = 1 + 2t = vx
yQ'= 2t - 1 = vy
vQ2 = vx2  + vy2  = (1 + 2t)2 + (2t - 1)2
vQ2 = 1 + 4t + 4t2 + 4t2 - 4t + 1
vQ2 = 2 + 8t2
vQ = √(2 + 8t2)
vP =   √(4 + 16t2) = √(2(2 + 8t2)) = √2 • √(2 + 8t2)   = √2 • vQ 
Dus  c = √2
   
9. L2 = (xQ - xP)2  (yQ - yP)2
L2 = (t + t2 - 2t)2 + (t2 - t - 2t2 )2  
L2 =  (t - t2)2 + (-t - t2)2
L2 = t2 - 2t3 + t4 + t2 + 2t3 + t4 
L2 = 2t2 + 2t4  
L = √(2t2 + 2t4)
L = √(t2 (2 + 2t2)
L = √(t2) • √(2 + 2t2)
L = |t| • √(2 + 2t2)
   
10. Voor t < 0 geldt  L = -t • √(2 + 2t2)
L= -t · (2 + 2t2)0,5
Met de productregel en de kettingregel:

L ' =   -1 · (2 + 2t2)0,5 +  -t · 0,5 · (2 + 2t2)-0,5 · (4t)
t = 0  geeft  L '=  -1 · 20,5 +  0 · (....)
L ' =  -√2
   
11. A ligt bij  x = 1/2π  dus yA = 1 + 1/2√3
B ligt bij  x = 3/2π  dus yB =  |-1 + 1/2√3| = 1 - 1/2√3
de evenwichtlijn van de grafiek van g ligt midden tussen deze twee y-waarden in, dus bij  y = 1 
dus a = 1
b is de amplitude en die is gelijk aan  b = 1/2√3
   
12. |sinx + 1/2√3| = 0
sinx + 1/2√3 = 0
sinx = -1/2√3
x = 4/3p  (+ k2p)  ∨  x = 5/3p  (+ k2p)
De oppervlakte is dan:  (minteken omdat de grafiek van y = sinx + 1/2√3  onder de x-as ligt)
 
  = -{(-0,5 + 1/2√3 • 5/3p) - (0,5 + 1/2√3 • 4/3p)}
= 0,5 - 5/3p√3 -+0,5 + 4/6p√3
= 1 - 1/6p√3
   
13. snijpunt:   1 + e2 · (1 - ln(x))  = ln(x)
1 + e2 - e2ln(x) = ln(x)
1 + e2 = ln(x) + e2ln(x)
1 + e2 = ln(x) • (1 + e2)
ln(x) = 1
x = e

f '(x) = 1/x  dus  f '(e) = 1/e
g '(x) = e2 (-1/x)  dus  g '(e) = -e2/e = -e

f '(e) • g '(e) = -1  dus de grafieken staan loodrecht op elkaar.
   
14. Stel dat de x-coordinaat van A gelijk is aan p
Dan is de x-coördinaat van B gelijk aan p + 3
Die moeten dezelfde y-waarde opleveren (namelijk y = q)
Dus moet gelden  g(p) = f(p + 3)
1 + e2(1- ln(p)) = ln(p + 3)

Y1 = 1 + e^2*(1 - ln(X))
Y2 = ln(X + 3)
intersecrt geeft  X = p = 2,472662...
q = ln(p + 3) = 1,69976....
q ≈ 1,7
   
15. A = (8, 0) en  C = (0,4)
AC heeft helling  -0,5 en is dus de lijn  y = -0,5x + 4

P = (0, -2)  en  F = (4, 0)
PF heeft helling  0,5 en is dus de lijn  y = 0,5x - 2

Voor punt D geldt dan   -0,5x + 4 = 0,5x - 2
Dat geeft  x = 6  dus  D = (6, 1)

E = (4, 4)
   
 
  6/√52 = 6/2√13 = 3/√13
De cosinussen zijn gelijk dus de hoeken zijn gelijk dus EF is de bissectrice van hoek PED.
   
16. De cirkel heeft straal 4 en middelpunt (4, 2)
De vergelijking van de cirkel  is  (x - 4)2 + (y - 2)2 = 16
AC is de lijn  y = -0,5x + 4
Snijden :  (x -  4)2 + (-0,5x + 4 - 2)2 = 16
x2 - 8x + 16 + 0,25x2 - 2x + 4 = 16
1,25x2 - 10x + 4 = 0
De ABC formule geeft dan  x = (10 ± √80)/2,5 = 4 ± 4/5√5
xD = 4 + 4/5√5  dus  yD = -0,5xD + 4 =  2 - 2/5√5
Noem de projectie van D op de x-as punt  D'
Dan is driehoek FDD' gelijkvormig met driehoek FPO (zandloperfiguur)
PO/FO = DD'/FD'  geeft dan  -p/4 = 2 - 0,4√5/0,8√5 
0,8p√5 = 8 - 1,6√5
p = -(8 - 1,6√5)/(0,8√5) = -10/√5 + 2 = -2√5 + 2  
   
17. als x naar +∞ gaat dan gaat  ex  ook naar +∞ dus gaat de breuk naar 0
als x naar -∞ gaat dan gaat  ex naar 0 en dan gaat de breuk naar 1.
De horizontale asymptoten zijn dus de lijnen y = 0  en  y = 1,
De afstand daartussen is 1.
   
18. Als F de primitieve van f is, dan moet gelden  F ' =  f
F(x) = x -  ln(ex + 1)    
F ' =  1 - 1/(ex + 1) • ex  = f
   
19.
  = (a - ln(ea + 1)) - (0 - ln(e0 + 1)
= a - ln(ea + 1) + ln2

omdat ln(ea + 1) > ln(ea)  en  ln(ea) = a is dus  ln(ea + 1) > a
dus is a - ln(ea + 1) < 0
dan is a - ln(ea + 1) + ln2 dus kleiner dan ln2