VWO WB, 2017 - I   Pilot.
Rakende Grafieken.
       
De functies  f en  g zijn gegeven door:

       
5p.

1.
Ga na met exacte berekening of de grafieken van  f en g elkaar raken.
     

 

 

Bewegen over een lijn.
       

Gegeven is lijn k met vergelijking y = 1/2x + 3 . Op deze lijn ligt het punt P.

Vector OP wordt om de oorsprong over 90° linksom gedraaid. Zo ontstaat vector OP'
Vector PQ heeft dezelfde richting en dezelfde lengte als OP'.  Zie de figuur.
       

       

Wanneer het punt P over lijn k beweegt, zal het punt Q over een lijn m bewegen. In de figuur is m gestippeld weergegeven.
       
4p.

2.

 Stel een vergelijking van lijn m op.
     

 
Een derde cirkel.
       

Gegeven zijn de cirkels c1 en c2. Cirkel c1 heeft middelpunt M1(-2,0) en straal 2 . Cirkel c2 heeft middelpunt M2 (6,0) en straal 6 .

Voor elke positieve waarde van r is er één cirkel c3 met middelpunt M3 en straal r zó dat geldt:
- M3 ligt boven de x-as;
- c3 raakt aan cirkel c1 én aan cirkel c2.

In de figuur linksonder is de situatie getekend voor r = 21/2 en in de figuur rechtsonder figuur voor r = 41/2.
Verder is in beide figuren driehoek M1M2M3 getekend.
       

       

De grootte van ∠M1M2M3 is afhankelijk van r : voor elke waarde van r geldt:
 

       
4p.

3.

 Bewijs de juistheid van deze formule.
     

 

Als r onbegrensd toeneemt, nadert de grootte van  ∠M1M2M3 tot een limiet.
       
3p.

4.

 Bereken exact deze limiet in graden.
     

 

Er is één waarde van r waarvoor c3 niet alleen raakt aan c1 en c2 , maar ook aan de x-as. In onderstaande figuur is deze situatie weergegeven, waarbij cirkel c3 voor een deel is getekend.

Cirkel c3 raakt de x-as in punt P.
       

       
6p.

5.

 Bereken exact de waarde van r in deze situatie.
     

 
Een achtbaan.
       

De baan van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen:
       

Met t in seconden en x en y in meter.

Als t loopt van 0 tot 2π , doorloopt P de baan precies één keer.
In de figuur linksonder is deze baan weergegeven. Ook is te zien waar P zich bevindt op t = 0 en in welke richting P zich dan beweegt.
       

       
5p.

6.

Bereken met behulp van differentiëren de maximale snelheid van het punt P in meter per seconde. Rond je antwoord af op één decimaal.
     

 

Voor 0 ≤ t ≤ 2π zijn er vier tijdstippen waarop de x-coördinaat en de y-coördinaat van P aan elkaar gelijk zijn. Op deze tijdstippen bevindt P zich achtereenvolgens in de punten A, O, B en O. Zie de figuur rechtsboven.
       
5p.

7.

Bereken exact hoeveel seconden de beweging van A naar B duurt.
     

 

Een punt Q maakt dezelfde beweging als P, maar Q loopt π seconden vóór op P.
De bewegingsvergelijkingen van Q zijn dan:
       

       

Als t = 1/2π  en als t = 3/2π , vallen P en Q samen. Op alle andere tijdstippen is er sprake van een lijnstuk PQ.
       
4p.

8.

 Bewijs dat de helling van lijnstuk PQ onafhankelijk van t is.
     

 
Een gebroken functie.
       
De functie f  is gegeven door:  

     

De lijn k met vergelijking y = x - 31/2 snijdt de grafiek van f in twee punten, A en B. Zie de figuur.
De coördinaten van punt A zijn (1, -21/2)
     
4p.

9.

Bereken exact de coördinaten van punt B.
     

 

Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f , de x-as, de y-as en de lijn k. In de figuur hiernaast is dit vlakdeel grijs gemaakt.
V wordt gewenteld om de x-as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam.

     
5p.

10.

Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam.
     

 

De grafiek van f wordt a eenheden naar boven verschoven. Zo ontstaat de grafiek van een functie g. De waarde van a kan zowel positief als negatief zijn.
De functie g heeft een inverse functie. De grafiek van de inverse functie van g heeft één verticale asymptoot. Ook de grafiek van g heeft een verticale asymptoot. Gegeven is, dat de afstand tussen deze twee verticale asymptoten gelijk is aan 4 .
       
4p.

11.

 Bereken exact de mogelijke waarden van a.
     

 
Brandwerendheid van een deur
       

De (lucht)temperatuur tijdens een bepaald soort natuurlijke brand kan

worden beschreven met het volgende model:

       

Hierin is Tnat de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in de volgende figuur.
       

       

In de figuur is te zien dat de temperatuur bij deze natuurlijke brand een maximum bereikt.
       
5p.

12.

 Bereken exact deze maximale temperatuur.
     

 

Deuren worden getest op hun brandwerendheid door ze in een laboratorium aan een brand bloot te stellen.
De temperatuur tijdens zo’n laboratoriumbrand verloopt anders dan bij de natuurlijke brand, namelijk volgens de formule:

Tlab(t) = 20 + 345 • log(8t +1)

Hierin is Tlab de temperatuur in °C en t de tijd in minuten vanaf het begin van de brand. De bijbehorende grafiek is weergegeven in onderstaande figuur.
       

       

Temperaturen onder de 300 °C leveren geen blijvende schade aan de deur op. Pas vanaf een temperatuur van 300 °C heeft een deur onder de brand te lijden. Het tijdstip t waarop deze temperatuur bij de laboratoriumbrand wordt bereikt, is afgerond op twee decimalen 0,69. Zie de figuur hierboven.
       
4p.

13.

Bereken algebraïsch het tijdstip t waarop de temperatuur bij de laboratoriumbrand de waarde 300 °C bereikt. Rond je antwoord af op drie decimalen.
     

 

In de rest van deze opgave bekijken we een deur die wordt blootgesteld aan een laboratoriumbrand. Deze deur blijkt precies 30 minuten stand te houden. Men vraagt zich af hoe berekend kan worden of zo’n deur tijdens de natuurlijke brand óók 30 minuten standhoudt. In onderstaande figuur is het vlakdeel grijs gemaakt dat wordt ingesloten door de grafiek van Tlab , de horizontale lijn met vergelijking T = 300 en de verticale lijn met vergelijking t = 30 .
       

       
De Amerikaan Simon Ingber deed in 1928 de volgende veronderstelling:

De deur bezwijkt tijdens de natuurlijke brand op dát tijdstip tb , waarvoor geldt dat de oppervlakte tussen de grafiek van Tnat , de horizontale lijn met vergelijking T = 300 en de verticale lijn met vergelijking t = tb gelijk is aan de oppervlakte van het grijze vlakdeel in de figuur.
       
7p.

14.

Onderzoek of volgens de veronderstelling van Ingber de deur tijdens de natuurlijke brand minstens 30 minuten standhoudt.
     

 

 

Perforatie.
     
Voor elke waarde van p, met p ≠ 0 , is de functie fp gegeven door:
     

     
Er is één waarde van p waarvoor de grafiek van fp een perforatie heeft.
     
6p.

15.

 Bereken exact de coördinaten van die perforatie.
   

 

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Als ze elkaar raken zijn de functies gelijk en de afgeleides ook
f ´(x) = 1/x
g '(x) = 1/2e • 2x = x/e
1/x = x/e  geeft  x2 = e
x = √e   (-√e mag niet want dan bestaat lnx niet)

f(√e)  = ln(√e) = ln(e0,5) = 0,5
g(√e) = 1/2e • (√e)2 = 0,5

Die zijn gelijk dus de grafieken raken elkaar.
   
2.

 

 

  x = 3/2p - 3  geeft   3/2p = x + 3  dus  p = 2/3x + 2

invullen in de y-vergelijking:
y = 1/2p + 3 = 1/2 • (2/3x + 2) + 3 = 1/3x + 4
De lijn heeft vergelijking  y =  1/3x + 4
   
3. cosinusregel in driehoek M1M2M3;
(r + 2)2 = (r + 6)2 + 82 - 2 • (r + 6) • 8 • cos(M1M2M3)
r2 + 4r + 4 = r2 + 12r + 36 + 64 - (16r + 96) • cos(M1M2M3)
-8r - 96 =  -(16r + 96) • cos(M1M2M3)
delen door -8:    r + 12 = (2r + 12)cos(M1M2M3)
cos(M1M2M3) = (r + 12)/(2r + 12)
   
4. Als r naar oneindig nadert, dan nadert de cosinus tot 1/2.
Dan nadert de hoek naar 60º
   
5. Stel de x-coördinaat van M3 is gelijk aan  p  en de straal van c3 is r
Pythagoras in M1PM3:    (p - 2)2 +  r2 = (r + 2)2  
p2 - 4p + 4 + r2 = r2 + 4r + 4
p2 - 4p = 4r    ....(1)

Pythagoras in M2PM3:   (p + 6)2 + r2 = (r + 6)2
p2 + 12p + 36 + r2 = r2 + 12r + 36
p2 + 12p = 12r   ....(2)

(1) invullen in (2):  p2 + 12p = 3p2 - 12p
2p2 - 24p = 0
2p(p - 12) = 0
p = 0  ∨  p = 12
De gezochte oplossing is p  = 12
Dan is  4r = 122 - 4 • 12 = 96  dus  r = 24.
   
6. v = √((x')2 + (y')2) = √{(-sin(t) + 2cos(2t))2  + (-2sin(t))2}
√{(-sin(X) + 2cos(2X))2  + (-2sin(X))2)
calc - maximum geeft maximale snelheid  3,6 m/s.  (bij t = 1/2π)
   
7. y = x  geeft  cost + sin2t = 2cost
2sintcost - cost = 0
cost(2sint - 1) = 0
cost = 0  ∨  sint = 1/2
t = 1/2π  ∨  t = 3/2π  ∨ t = 1/6π  ∨  t = 5/6π
A en B horen bij   t = 1/6π  en  t = 5/6π dus de beweging duurt  2/3π  seconden.   
   
8. P = (cost + sin(2t), 2cost)   en  Q = (cos(t + π) + sin2(t + π),  2cos(t + π)
cos(t + π) = -cost
sin2(t + π) = sin(2t + 2π) = sin(2t)
Dat geeft
P = (cost + sin(2t),  2cost)  en  Q = (-cost + sin(2t), -2cost)
Dus  Δx = 2cost  en  Δy = 4cost
De helling is dan  Δy/Δx =  2  en dat is inderdaad constant.
   
 9. x - 31/2 = 5/(4x - 6)
(4x - 6)(x - 31/2) = 5
4x2 - 14x - 6x + 21 = 5
4x2 - 20x + 16 = 0
x2 - 5x + 4 = 0
(x - 1)(x - 4) = 0
x = 1  ∨  x = 4
B is het punt  (4, 1/2)  
   
10. Splits het vlakdeel in twee delen:  van  O tot A en van A  tot de x-as
A = (1, -21/2)

linkerdeel:
 

   
  rechterdeel:
een kegel met straal grondvlak  21/2 en hoogte 21/2.
Inhoud  1/3 • π(21/2)2 •  21/2 = 125/24π

Samen geeft dat inhoud  175/24π
   
11. f heeft verticale asymptoot als 4x - 6 = 0  dus  x = 11/2
Als je f omhoog schuift blijft de verticale asymptoot gelijk, en de horizontale asymptoot wordt  y= a
g heeft dus verticale asymptoot x = 11/2

De verticale asymptoot van de inverse van g is de horizontale asymptoot (y = a) van g gespiegeld. 
Dat is dus x = a. 
De afstand van a tot 11/2 moet gelijk zijn aan 4,  dus  a = 51/2  of  a = -21/2.
   
12. T '(t) = e(blablabla) • (-2ln(t) • 1/t + 6/t)
Dat is nul als  -2ln(t) • 1/t + 6/t = 0
1/t • (-2lnt + 6) = 0
-2lnt + 6 = 0
lnt = 3
t = e3
T(e3) = 20 + 1050 • e(-9 + 18 - 9) = 20 + 1050 = 1070 ºC
   
13. 20 + 345 • log(8t + 1) = 300
345 • log(8t + 1) = 280
log(8t + 1) =  0,81159...
8t + 1 = 100,81159... = 6,4802...
8t = 5,4802...
t = 0,685 minuten
   
14. De oppervlakte van het grijze vlakdeel is  ∫(20 + 345 • log(8t + 1) - 300) dt
tussen de grenzen  t = 0,69 en t = 30
Y1 = 20 + 345 • log(8t + 1) - 300
calc 7: ∫f(x) dx
lower limit  x = 0,69
upper limit x = 30
Dat geeft oppervlakte 11929

Y1 = 20 + 1050* e ^(-(ln(X))^2 + 6ln(X) - 9)
Y2 = 300
intersect geeft  t = 6,36

calc:  7: ∫f(x)dx
lower limit x = 6,36
upper limit  x = 30
Dat geeft oppervlakte 14242

Dat is groter dan 11929 dus de deur houdt tijdens de natuurlijke brand niet minstens 30 minuten stand
   
15. Er is mogelijk een perforatie als de teller en de noemer nul zijn.
De noemer is alleen nul voor x = 2
Dus moet p • 22 + 4 • p • 2 + 6 = 0
4p + 8p + 6 = 0
p = -1/2
 
  x = 2 invullen geeft de perforatie  (2, -4/5)