VWO WB, 1999 - II

 

OPGAVE 1.
       
De kromme K is gegeven door:  x = t - 2/t  en  y =  t3 - 3t
Hiernaast is een gedeelte van K getekend.

     
4p. 1. Bereken de co÷rdinaten van de snijpunten van K met de co÷rdinaatassen.
     
6p. 2. Toon aan dat K symmetrisch is ten opzichte van (0,0)
     
K heeft een asymptoot.
     
3p. 3. Stel een vergelijking op van die asymptoot; licht het antwoord toe.
       
Er zijn punten van K die een raaklijn aan K hebben evenwijdig aan de x-as.
       
8p. 4. Bereken de co÷rdinaten van die punten en bewijs dat K in die punten zichzelf snijdt.
       
7p. 5. Bereken de waarden van p waarvoor de lijn y = 11/2x + p raaklijn is aan K.
       
OPGAVE 2.
         
Met domein R zijn de functies f en g gegeven door:

     
Hiernaast zijn de grafieken van f  en g getekend.
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B.
     
5p. 6. Bewijs dat de raaklijn in A aan de grafiek van f loodrecht staat op de raaklijn in B aan de grafiek van g.
         
7p. 7. Bereken de co÷rdinaten van het snijpunt van de grafieken van f  en g .
         
V is het open vlakdeel begrensd door de grafiek van f, de asymptoot van f en de y-as. V is in de figuur met groene kleur aangegeven.
         
6p. 8. Bereken de oppervlakte van V.
         

 

OPGAVE 3.
         
Hieronder is de grafiek van f getekend.
         

         
8p. 9. Bereken de co÷rdinaten van de toppen van de grafiek van f.
         
6p. 10. Bereken de oppervlakte van ÚÚn van de vlakdelen ingesloten door de grafiek van f en de x-as.
         
Verder is met domein [0, 2π] \ {1/2π, 11/2π} de functie g gegeven door  g(x) = 4/5tanx
         
8p. 11. Bereken de co÷rdinaten van de gemeenschappelijke punten van de grafieken van f en g.
         
OPGAVE 4.
         
Hiernaast is een kartonnen kaartje ACGE in de vorm van een gelijkbenig trapezium getekend. De symmetrie-as OP is tot halverwege ingeknipt.
OA = 11, EP = 5 en OP = 8.

In de tweede figuur hiernaast is een tweede kaartje BDHF van dezelfde vorm en grootte getekend. OP is nu van de andere kant ingeknipt.

De kaartjes worden in elkaar geschoven. Zie de volgende figuur.    
         

         
De dikte van de kaartje is verwaarloosbaar. Noem ∠AOB = α, waarbij  0 < α < 180║.
         
8p. 12. Bewijs dat er een bol door de punten A, B, C, D, E, F, G en H bestaat die onafhankelijk is van de keuze van α, en bereken de straal van die bol.
         

 
De lijnen AE, BF, CG en DH snijden elkaar in punt T.
T, A, B, C en D zijn de hoekpunten van een vierzijdige piramide.

In de figuur hiernaast zijn piramide T.ABCD en de cirkel door A, B, C en D getekend. De kegel K heeft T als top en deze cirkel als grondcirkel.
Q is een punt van lijnstuk CD en R is een punt van lijnstuk HF.
De lijn QR snijdt de kegel in een punt dat boven vlak ABCD ligt.

     
7p. 13. Teken dat punt in de figuur hiernaast.
     
De afstand van de lijnen AB en EF noemen we d. Deze hangt af van a.
     
7p. 14. Bereken a als d = 9; geef het antwoord in graden nauwkeurig.
         

 

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.