VWO WB, 1990 - II

 

OPGAVE 1.
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is voor   t R\[0, 1/2] de kromme K gegeven door:
x = ln(2t2 - t)  en   y = t2 + 2t
       
1. Bereken de co÷rdinaten van de snijpunten van K met de co÷rdinaatassen.
       
2. Bereken de co÷rdinaten van het punt van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as.
       
3. Stel van elke asymptoot van K een vergelijking op.
       
4. Teken K.
       
De lijn x = ln3  snijdt K in de punten B en C.
De raaklijnen in B en C aan K snijden elkaar in punt A.
       
5. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
       
OPGAVE 2.
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is K de grafiek van f.
       
6. Onderzoek f en teken K.
       
7. Bereken de waarden van a waarvoor de lijn met vergelijking y = ax + 4  met  a ∈ R  precies twee punten gemeen heeft met K.
       
8. Bereken in ÚÚn decimaal nauwkeurig de oppervlakte van het vlakdeel in gesloten door K, de x-as en de y-as.
       
OPGAVE 3.
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz is de balk OABC.DEFG gegeven door de punten:
O(0,0,0), A(4,4,0), B(0,8,0) en D(0,0,4).
In onderstaande figuur is deze balk zo getekend dat rechthoek OBFD op ware grootte is weergegeven.
Het punt P is het midden van lijnstuk BC.

De lijn AG snijdt vlak DFP in punt Q.
       

       
9. Teken punt Q in deze figuur. Licht je werkwijze toe.
       
10. Bereken de oppervlakte van driehoek DFP.
       
11. Onderzoek of de lijn AG loodrecht op vlak DFP staat.
       
Een bundel evenwijdige lichtstralen werpt een schaduwbeeld van de balk op het Oxz-vlak.
In de figuur hieronder zijn de loodrechte projecties op het Oxy-vlak en het Oyz-vlak getekend van een deel van de balk en van de richting van de lichtbundel (L).
       

       
12. Teken in deze figuur de loodrechte projectie van vierhoek ABFE op het Oxz-vlak en het schaduwbeeld van vierhoek ABFE op het Oxz-vlak. Licht je werkwijze toe.
       
OPGAVE 4.
       
Voor iedere α R  is gegeven de functie  fα :    x   cos(x - α) - sinx   met  x  [0, π].
       
Voor een waarde van α is hiernaast de grafiek van de bijbehorende fα  getekend.
Het minimum van deze fα wordt bereikt voor x = 2/3π.

     
13. Bereken dat minimum.
     
14. Los op:  fα(-α) = 0
       
       
15. Toon aan dat  y = f0(x) een oplossing is van D.
       
V is het vlakdeel dat bestaat uit de punten waardoor twee grafieken gaan van oplossingen van D.
       
16. Arceer V.
       
17. Onderzoek in welke punten van V de beide grafieken loodrecht op elkaar staan.
       
UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.

   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.