VWO WB, 1989 - II

 

OPGAVE 1.
       
Van R naar R is voor elke  a R  gegeven de functie:
       
   

       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is Fa de grafiek van fa.
       
1. Onderzoek f4 en teken F4.
       
2. Bereken in ÚÚn decimaal nauwkeurig de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door F0, de x-as en de lijnen x = -1 en x = -2.
       
Gegeven is de differentiaalvergelijking D:  dy/dx = -1/5(y - 1)2
       
3. Los deze differentiaalvergelijking op.
       
4. Onderzoek of  f0 een oplossing is van deze differentiaalvergelijking
       
OPGAVE 2.
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = 4 - 2cos2φ   en   y = (sinφ  + 1)(sinφ  + 3)  waarbij  φ  ∈  [-1/2π, 1/2π]
       
5. Onderzoek welke waarden x kan aannemen.
       
6. Onderzoek welke waarden y kan aannemen.
       
7. Bereken de co÷rdinaten van het punt van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is met de y-as.
       
8. Teken K.
       
Een lijn  x = p  met  p ∈ R snijdt K in  de punten A en B.
       
9. Bereken p in het geval dat AB = 6.
       
OPGAVE 3.
       
Gegeven is op R  de continue functie:
       
   
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f.
       
10. Bewijs dat a = e.
       
11. Bewijs ook dat f niet differentieerbaar is in x = 1.
       
12. Onderzoek f verder en teken F.
       
13. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door F, de x-as, de y-as en de lijn x = e.
       
OPGAVE 4.
       
Van de kubus OABC.DEFG die hieronder is afgebeeld hebben de ribben de lengte 4.
Verder is gegeven:
Het punt P is het midden van de ribbe AE.
Het punt M is het snijpunt van de lijnen EG en DF.
Het punt Q ligt op het verlengde van lijnstuk OC zo dat OQ = 2OC.

Door P, F en M worden lijnen getrokken evenwijdig aan de lijn DQ, die het vlak OABC respectievelijk in de punten P', F' en M' snijden.
       
14. Teken in de kubus hieronder vierhoek OP'F'M' en bereken de oppervlakte van vierhoek OP'F'M'.
       
15. Bereken de inhoud van viervlak OPFM.
       
16. Bereken in graden nauwkeurig ∠PMQ
       
Een kegel heeft M als top en de ingeschreven cirkel van vierhoek OABC als grondvlak.
De lijn PQ snijdt de kegel(mantel) in de punten S en T.
       
17. Teken in de onderste figuur de loodrechte projecties van S en T op het vlak OABC.
       

       

       
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.

   
15.  

   
16.  
   
   
   
17.

   
  Denk erom dat U en V op de grondcirkel liggen en niet op de ribben van de kubus.