VWO WB, 1989 - I

 

OPGAVE I.
       
Voor elke p ∈ R is gegeven de functie  fp :  x  x4 - 4x3 + px2  met domein R.
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is  Fp  de grafiek van fp.
       
1. Onderzoek f4 en teken F4.
       
De lijn y = mx  waarbij  m ∈ R, en F4 hebben precies drie punten gemeenschappelijk. 
       
2. Bereken m.
       
3. Bereken p in het geval dat fp  een oplossing is van de differentiaalvergelijking    x Ľ dy/dx = 4x3 - 3x2 + 4y
       
OPGAVE 2.
       
Voor elke p ∈ N+ is gegeven de functie  fp : x p - 1 + cospx  met domein  [0, 2π].
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is Fp de grafiek van fp.
       
4. Onderzoek voor welke p geldt:  Fp raakt de x-as.
       
5. Onderzoek voor welke p de lijn y = 1/2p  en Fp minstens vier punten gemeenschappelijk hebben.
       
V is het vlakdeel ingesloten door F3, de x-as, de y-as en de lijn  x = 2π.
       
6. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat door V te wentelen om de x-as.
       
OPGAVE 3.
       
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = ln | t |   en  y = t2 - 4t  waarbij  t R\{0}
       
7. Stel een vergelijking op van de asymptoot van K.
       
8. Bereken de co÷rdinaten van de snijpunten van K en de co÷rdinaatassen.
       
9. Bereken de co÷rdinaten van het punt van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as.
       
10. Teken K.
       
De lijn x = a  waarbij  a ∈ R  snijdt K in de punten A en B.
Het punt M is het midden van lijnstuk AB.
       
11. Stel een vergelijking op van de verzameling van de punten M.
       
De lijn door M evenwijdig aan de x-as snijdt K in de punten C en D.
       
12. Bewijs dat M voor elke a ∈ R  het midden is van lijnstuk CD.
       
OPGAVE 4.
       
Van de kubus  OABC.DEFG die hieronder tweemaal is afgebeeld hebben de ribben lengte 6.
Verder is gegeven:
Punt M is het snijpunt van de lijnen AF en BE.
Punt N is het snijpunt van de lijnen CD en OG.
Punt P doorloopt lijnstuk DE en punt Q doorloopt lijnstuk AB.
       
13. Bewijs dat de inhoud van het viervlak OPQC constant is.
       
Neem voor P het midden van lijnstuk DE.
Q ligt zo op lijnstuk AB dat de lijnen PM en OQ elkaar snijden.
       
14. Teken Q in de figuur hieronder.
       
Neem voor P weer het midden van lijnstuk DE.
De lijn BP snijdt de cilinder(mantel) met as MN en straal 3 in de punten S en T.
       
15. Teken S en T in de figuur hieronder.
       
16. Bereken ST.
       
 

       
 

       
UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  

   
14.  

   
15.  

   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.