VWO WB, 1987 - II

 

1. Met domein R+ is voor elke p ∈ R+ gegeven de functie    fp:   x px - lnx
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy  is Fp de grafiek van fp.
       
  a. Bereken de extreme waarde van f2.
Stel een vergelijking op van de asymptoot van F2.
Bereken de co÷rdinaten van het buigpunt van F2.
Teken F2.
       
  b. Stel een vergelijking op van de verzameling van de punten van Fp waarin de raaklijn aan Fp evenwijdig aan de x-as is.
       
  c. O(k) is de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door F2, de x-as, de lijn x = 1 en de lijn x = k,
waarbij  k 0, 1.  
   
       
2. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door:
x = 1/4t2 - 3t  en  yt + 4/t - 5,  waarbij  t ∈ R.
       
  a. Bereken de snijpunten van K en de co÷rdinaatassen.
Onderzoek of K een asymptoot heeft.
       
  b. Bereken in graden nauwkeurig de hoek van K en de y-as.
Bereken de co÷rdinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  c. Bewijs dat K zichzelf snijdt in het punt (-1,7)
       
3. Met domein [-1/2π, 1/2π] is gegeven de functie  fx 3sin3x
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f
       
  a. Onderzoek f.
Bereken het aantal buigpunten van F.
Teken F.
       
  b. Met domein [-1/2π, 11/2π] is de functie  gx acos3x + bcosx,
waarbij  a ∈ R  en  b ∈ R, een primitieve van f.
Bereken a en b.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door F en de x-as.
       
  c. De grafiek van de functie  x  pcosx  waarbij  p ∈ R+  snijdt F loodrecht.
Bereken p.
       
4. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz is de piramide T.OABC gegeven door  O(0,0,0), A(6,0,0), B(6,6,0), C(0,6,0) en T(0,0,8)
       
  a. Punt P is het midden van lijnstuk BT.
De lijn PC snijdt het vlak OAT in het punt S.
Teken in een ruimtefiguur de piramide T.OABC en construeer het punt S.
Bereken de co÷rdinaten van S.
       
  b. De loodrechte projectie op het Oxy-vlak van de doorsnede van de piramide met het vlak met vergelijking 
x
+ 2/3y + 2z = 8  is een vijfhoek V.
Bereken de oppervlakte van V.
       
  c. Punt Q is het midden van lijnstuk AT.
De lengte van de kortste verbinding van Q en C via het lijnstuk OT is a.
De lengte van de kortste verbinding van Q en C via het lijnstuk OA is b.
Bereken a.
Construeer een lijnstuk met lengte b.
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4a.  

   
4b.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.