VWO WB, 1986 - II

 

1. Met domein R+ is gegeven de functie:  f  :  x   16lnx + x2 - 12x + 11
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is Kf de grafiek van f.
       
  a. Bewijs dat het punt (1,0) op Kf  ligt.
Bereken in ÚÚn decimaal nauwkeurig het maximum en het minimum van f.
       
  b. Bewijs dat Kf  precies ÚÚn buigpunt heeft.
Teken Kf.
       
  c. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door Kf,
de x-as en de lijn x = 3.
       
2. Gegeven is de differentiaalvergelijking D:  dy = (y - x2 + x + 2)dx
       
  a. De grafiek van een tweedegraads functie is een integraalkromme van D.
Stel een functievoorschrift op van f.
       
  b. Een functie g voldoet aan D en heeft voor x = 3 een extreme waarde.
Onderzoek de aard van dit extreem en bereken die extreme waarde.
       
  c. Voor elke p ∈ R  en q ∈ R  is gegeven de functie hx  ex + p  + q.
Bereken p en q in het geval dat de grafiek van h een integraalkromme van D in het punt (1,0) raakt.
       
3. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel is de kromme K gegeven door:
x = 2sin2t  en  y = 1 - 2cost  waarbij  t ∈ [0,π].
       
  a. Bereken de co÷rdinaten van de gemeenschappelijke punten van K en de co÷rdinaat-assen.
Bereken de co÷rdinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  b. Bereken de co÷rdinaten van de snijpunten van K en de lijn y = -x + 1.
       
  c. Bewijs dat K symmetrisch is ten opzichte van het punt (0,1)
Teken K.
       
4. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz zijn gegeven de punten A(4,1,0), B(8,4,0), C(5,8,0) en D(1,5,0).
Vierhoek ABCD is het grondvlak van een kubus ABCD.EFGH waarvan de hoekpunten E, F, G en H boven het Oxy-vlak liggen.
       
  a. De lijn AH snijdt het Oxz-vlak in punt P en het Oyz-vlak in punt Q.
Teken het lijnstuk PQ op ware grootte.
       
  b. De middelpunten van de zes zijvlakken van de kubus zijn de hoekpunten van een regelmatig achtvlak.
Bereken de inhoud van dat achtvlak.
       
  c. Teken ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy vierhoek ABCD.
Voor elke t tussen 1 en 8 snijdt het vlak x = t de kubus volgens een veelhoek V(t).
Teken ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel OtV de grafiek van de oppervlakte van veelhoek V(t) als functie van t.
Neem 1 cm als eenheid langs de t-as en 0,2 cm als eenheid langs de V-as.
       
UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.