VWO WB, 1986 - I

 

1. Met domein R is voor elke p R gegeven de functie  fp  :  x   (2x2 + px)e-x
ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is  Kp de grafiek van fp .
       
  a. Onderzoek f3 en teken K3.
       
  b. Gegeven is dat de functie   F  :  x (ax2 + bx + c)e-x   een primitieve functie van f3 is.
Bereken a, b en c.
Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door K3 en de x-as.
       
  c. De lijn x = 5 snijdt Kp loodrecht.
Bereken p.
       
2. Gegeven is de differentiaalvergelijking  D:    sinxdy  = ycosxdx, waarbij  x ∈ [-π, π] en y R.
       
  a. Teken ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy de verzameling van de punten waarin het lijnelement dat aan D voldoet een positieve richtingscoŰfficiŰnt heeft.
       
  b. Stel een vergelijking op van de integraalkromme van D die door het punt (1/6π, 4) gaat.
       
  c. De grafiek van een functie  x a + b/x, waarbij  a ∈ R  en  b ∈ R,  raakt een integraalkromme van D in het punt (1/4π, 1)
Bereken a en b.
       
3. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K gegeven door de vergelijking:
x3 - 4x2 + 4x + y2 = 16.
       
  a. Bereken de co÷rdinaten van de punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  b. Bewijs dat de x-as symmetrie-as is van K.
Welke waarden kan de x-co÷rdinaat van de punten van K aannemen?
Teken K.
       
  c. Het vlakdeel ingesloten door K, de y-as en de lijn x = 2 wordt gewenteld om de x-as.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.  
       
4. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz zijn gegeven de punten P(6,4,0), Q(0,4,3) en R(6,0,3).
       
  a. In het punt L(0,0,5) bevindt zich een puntvormige lichtbron.
Die lichtbron werpt een schaduw van driehoek PQR op het Oxy-vlak.
Bereken de oppervlakte van die schaduw.
       
  b. De lichtbron wordt verplaatst langs de z-as zodanig dat de schaduw van driehoek PQR op het Oxy-vlak een lijnstuk wordt.
Construeer de nieuwe plaats van de lichtbron op de z-as en bereken de co÷rdinaten van dat punt.
Gebruik hierbij de volgende figuur.
       
   

       
  c. De punten P, Q en R vormen tezamen met O, S(6,0,0), T(0,4,0) en U(0,0,3) de hoekpunten van een afgezaagd blok.
Het punt M is het midden van lijnstuk PT.
Het vlak door M en de z-as snijdt het afgezaagde blok volgens een vijfhoek.
Teken de doorsnede-vijfhoek op ware grootte en bereken de oppervlakte van die vijfhoek.
       
   

       

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
4b.  

   
4c.  

   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.