VWO WB, 1985 - II

 

1. Met domein R\{0}  is gegeven de functie:
   

       
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel is Kf  de grafiek van f.
       
  a. Onderzoek f en teken Kf.
       
  b. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door Kf, de x-as en de lijn x = 3.
       
  c. Voor welke p ∈ R heeft  Kf  precies vier punten met de lijn y = px  gemeen?
       
2. Gegeven is de differentiaalvergelijking D:   (y - x2 + x )dy = (2y - 2x + 2)dx
       
  a. V is de verzameling van punten waarin het lijnelement van D een negatieve richtingscofficint heeft.
Maak een tekening van V.
       
  b. Van een in R differentieerbare functie f is gegeven:  de grafiek van f is een integraalkromme van D en f heeft een extreme waarde voor x = 0.
Bereken die extreme waarde.
Is dit een maximum of een minimum?
Onderzoek of  f een tweedegraads functie kan zijn.
       
  c. Voor elke p ∈ R  is  lp de lijn met vergelijking  y = -2x + p
Voor welke waarden van p raakt lp ten minste n integraalkromme van D?
       
3. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz  zjin gegeven de punten A(8,0,0), B(8,8,0), C(0,8,0) en D(0,0,8).
Deze punten zijn de hoekpunten van een vierzijdige piramide D.ABCO.
Punt P is het midden van ribbe BD en punt Q ligt op ribbe AD zo dat AQ : QD = 1 : 3.
V is het vlak door P, evenwijdig aan de lijn BQ en evenwijdig aan de lijn DO.
       
  a. Teken in de figuur hieronder de doorsnede van V met de piramide.
Geef daarbij een korte toelichting.
Stel een vergelijking op van V.
       
 

       
  Een bol met middelpunt O en straal OQ snijdt de lijn CD in de punten E en F.
       
  b. Teken in de onderstaande figuur de doorsnede van deze bol met het vlak x = 0.
Bereken EF.
       
 

       
  c. Onderzoek hoeveel punten deze bol met de lijn BD gemeen heeft.
       
4. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is voor t ∈ R de kromme K gegeven door:
       
   

       
  a. Welke waarden kan x aannemen?
Welke waarden kan y aannemen?
       
  b. Bewijs dat de x-as een raaklijn is van K.
Teken K.
       
  c. De lijn x = p, met  p ∈ R+ , snijdt K in de punten A en B zo, dat AB = 4.
Bereken p.
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3a.  
   
3b.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.