VWO WB, 1985 - I

 

1. Gegeven is de differentiaalvergelijking D:    (x + 1)dy = (2x - y + 3)dx
       
  a. Onder de integraalkrommen van D komen rechte lijnen voor.
Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.
       
  b. De raaklijn in het punt (2,1) aan een integraalkromme van D snijdt een van de integraalkrommen van D loodrecht in een punt P.
Bereken de co÷rdinaten van P.
       
  c. Van de functies f en g van R+  naar R  is gegeven:
De grafiek van  fx x + 2 + g(x)   is een integraalkromme van D  en  f(1) = 7.
Bereken g(3).
       
2. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy zijn gegeven de punten A(12, 0, 0), C(0, 12, 0) en T(12, 12, 0).
Deze punten zijn hoekpunten van een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD met top T.
Het punt E is het midden van ribbe BC.
     
  a. Teken in de ruimtefiguur hiernaast de doorsnede van de piramide en het vlak met vergelijking  y = 8.
Geef een korte toelichting bij de tekening.
Bereken de oppervlakte van deze doorsnede.
     
  b. De lijn AC snijdt het vlak met vergelijking y = 8 in het punt S. Bereken de co÷rdinaten van S.
     
  c. Op de ribbe BT ligt een punt F zo dat de som van de lengten van de lijnstukken AF en CF minimaal is.
Bereken BF : FT
Bereken AF + FC
       
3. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is voor t ∈ R de kromme K gegeven door:
       
 

       
  a. Bereken de co÷rdinaten van de snijpunten van K met de x-as, met de y-as en van K met de lijn y = x.
       
  b. Bewijs dat de lijn y = x symmetrie-as is van K
Teken K.
       
  c. P is een punt van K en A is het punt (0,-2)
Bereken de co÷rdinaten van P in het geval dat AP minimaal is.
       
4. Met domein [0, 2π] is gegeven de functie  f  :  x x + cosx
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is Kf de grafiek van f.
       
  a. Onderzoek f
Bereken de co÷rdinaten van de beide buigpunten van Kf.
Teken Kf.
       
  b. Onderzoek of er een tweedegraads functie is waarvan de grafiek  Kf  raakt in de beide buigpunten van Kf.
       
  c. Het vlakdeel ingesloten door Kf  en de lijn y = x wordt gewenteld om de x-as.
Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat daardoor ontstaat.
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2a.  

   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.