VWO WB, 1982 - II
 

 

1. Gegeven is met domein R\{2} de functie f:
   

       
  a. Onderzoek f en teken de grafiek van f  ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy.
       
  b. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel, ingesloten door de grafiek van f en de lijn y = -1.
       
  c. Voor welke tweedegraads functies geldt: de grafiek gaat door de punten (0,0) en (-2,4) en heeft een top die op de grafiek van f  ligt?
       
2. Een vat is gevuld met een zeer groot aantal kralen.
De beginsituatie is: 40% van het aantal  kralen is rood en 60% van het aantal kralen is groen.
Een rijgmachine grijpt aselect telkens 20 kralen en rijgt deze tot een snoer.
Het begin van een snoer is duidelijk te onderscheiden van het eind.
Hierdoor is bijvoorbeeld het snoer met  eerst zes rode kralen en daarna 14 groene kralen te onderscheiden van het snoer met eerst 14 groene kralen en daarna 6 rode kralen.
Een vulmachine vult na elke greep van 20 kralen de voorraad kralen in het vat aan zo dat de beginsituatie weer ontstaat.
       
  a. Hoeveel snoeren van verschillende samenstelling zijn er mogelijk met 6 rode kralen en 14 groene kralen waarvan er precies 13 groene kralen opeenvolgend zijn?
       
  b. Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat in een snoer van 20 kralen precies 6 rode kralen voorkomen en waarin na de laatste rode kraal precies 4 groene kralen volgen.
       
  c. In een tabel vindt men dat de kans dat een snoer van 20 kralen ten hoogste zes rode kralen bevat in vier decimalen nauwkeurig gelijk is aan 0,2500
Neem nu aan dat deze kans precies gelijk is aan 1/4.
Men wil onderzoeken of de veronderstelling juist is dat de vulmachine ervoor zorgt dat na elke greep de beginsituatie weer ontstaat. Daartoe neemt men een aselecte steekproef van 50 door de rijgmachine vervaardigde snoeren. In deze steekproef komen k snoeren voor die elk ten hoogste 6 rode kralen bevatten.
Voor welke k wordt met een betrouwbaarheid van 95% de veronderstelling verworpen dat de vulmachine ervoor zorgt dat na elke greep de beginsituatie weer ontstaat?
       
3. Voor elke  p ∈ R is de functie fp met domein  〈-1/2π, 1/2π gegeven door:
       
   

       
  a. Los op:  f1(x) ≥ 2
       
  b. geldt:
   

       
  c. Voor welke p geldt:  de grafiek van fp raakt de x-as?
       
4. D is de differentiaalvergelijking:  dy = (3ex - 2y)dx
       
  a. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is voor t ∈ R+ de kromme K gegeven door:
x = lnt  en   y = 2t + 1/t2
Onderzoek of K een integraalkromme van D is.
       
  b. Voor elke p R  is gegeven de functie  fpx (3x - p)ex
Voor elke p geldt dat er een integraalkromme van D is die de grafiek van fp raakt.
Stel een vergelijking op van de verzameling van de raakpunten.
       
  c. De vergelijking van een integraalkromme van D is:   y = ex + g(x) waarbij g een differentieerbare functie van x is. Deze integraalkromme gaat door het punt (0,3)
Stel een functievoorschrift van g op.
       
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.