VWO WB, 1981 - II

 

1. Men speelt een spel met twee schijven A en B, die onafhankelijk van elkaar draaien.
A is verdeeld in vier gelijke sectoren.
B is verdeeld in drie gelijke sectoren.
Elke sector is genummerd met ÚÚn van de cijfers 1, 2 of 3. Zie de tekening.
Als beide schijven tot stilstand zijn gekomen wijst de vaste dubbele pijl W op elke schijf het midden van een sector aan.
  Het cijfer dat W op A aanwijst is een stochast X
Het cijfer dat W op B aanwijst is een stochast Y.
De stochast Z is als volgt gedefinieerd:
    Z = 0 als W twee verschillende cijfers aanwijst.
Z = 1 als W twee gelijke oneven cijfers aanwijst.
Z = 2 als W twee gelijke even cijfers aanwijst.
       
  a. Neem onderstaande kanstabel over en vul hem verder in:
       
   

       
    Stel de kansverdeling van Z op.  
       
  b. Iemand speelt viermaal met beide schijven
Elk spel levert hem een aantal punten op dat gelijk is aan de waarde van Z.
Bereken de kans dat hij in totaal tenminste drie punten haalt.
       
  c. De eigenaar van de schijven beweert dat beide schijven zuiver draaien.
Een speler is van mening dat op schijf B de pijl W te weinig de oneven cijfers aanwijst.
Men besluit tot een toets van 100 spelen waarin het aantal keren dat het cijfer 2 op schijf B wordt aangegeven wordt geteld. Dit aantal is k.
De eigenaar zal zijn bewering alleen dan herroepen als de kans dat hij ten onrechte ongelijk krijgt, kleiner is dan 3%.
Wat is de kleinste waarde van k waarbij hij zijn mening herroept?   
       
2. Gegeven is van R naar R de functie:
   

       
  a. Onderzoek f en teken de grafiek van f ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy.
       
  b. De lijn die de grafiek van f in het snijpunt met de x-as raakt, snijdt de grafiek van f  in punt P.
Bereken in graden nauwkeurig de hoek waaronder deze lijn de grafiek van f in P snijdt.
       
  c. De grafiek van f, de x-as en de lijn x = k, waarbij k > 1,  sluiten een vlakdeel in met oppervlakte O(k)
Druk O(k) uit in k
     
       
3. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is de kromme K voor t ∈ R gegeven door:
       
   

       
  a. Welke waarde kan de x-co÷rdinaat van de punten van K aannemen?
Welke waarde kan de y -co÷rdinaat van de punten van K aannemen?
       
  b. Op K ligt punt P zo, dat de raaklijn in P aan K door punt (0,7) gaat.
Bereken de co÷rdinaten van P.
       
  c. Teken K en de raaklijn in P.
K is de grafiek van een functie f waarvoor geldt  y = f(x)
Stel een functievoorschrift van f op met vermelding van het domein.
       
4. Gegeven is de differentiaalvergelijking  dy - ydx = φ(x)dx,  waarbij  φ een differentieerbare functie is met φ(0) = -2.
       
  a. Neem   φ(x) = -2cosx
De grafiek van een functie f  met domein 〈-π, π is een integraalkromme van de differentiaalvergelijking.
De functie f heeft een maximum 1 voor x
= p
Bereken p.
       
  b. De kromme met vergelijking y = φ(x) is een integraalkromme van de differentiaalvergelijking.
Bereken φ(2).
       
  c. De verzameling van de punten P waarin het lijnelement dat aan de differentiaalvergelijking voldoet, een richtingscoŰfficiŰnt heeft die gelijk is aan de x-co÷rdinaat van P, is een integraalkromme van de differentiaalvergelijking.
Bereken j(2).
       

 

 

UITWERKING
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.