VWO W1, 1981 - I

 

1. Gegeven zijn de differentiaalvergelijking  xdy = (y - 1 + lnx)dx  en voor elke p R de functie fpx px - lnx met domein  R+
       
  a. Bewijs dat voor elke p de grafiek van fp een integraalkromme van de differentiaalvergelijking is.
       
  b. De verzameling van de punten waarin het lijnelement met richtingscofficint 1 aan de differentiaalvergelijking voldoet, is een kromme.
Voor welke p geldt:  deze kromme snijdt de grafiek van fp  loodrecht?
       
  c. Voor welke p geldt: fp(x) > 0 voor elke  x ∈ R+
       
2. De functie f  van R naar R is gegeven door:
   

       
  a. Los op:  f(x) < 1/2x  
       
  b. Onderzoek  f en teken de grafiek van f  ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy
       
  c.
       
3. Vijf balletjes worden verdeeld over drie genummerde dozen D1, D2 en D3. Daarbij mogen ten hoogste twee dozen leeg blijven.
       
  a. En van de mogelijke verdelingen is: 2 balletjes in D1, 0 balletjes in D2 en 3 balletjes in D3.
Toon aan dat er nog 20 andere verdelingen zijn.
       
  Bovendien is gegeven dat elke mogelijke verdeling van de vijf balletjes over de drie dozen een even grote kans van optreden heeft.
       
  b. Het aantal balletjes Dk is een stochast Xk.
Geef een kansverdeling van X1.
Onderzoek of de gebeurtenis X1 = 2 ∨ X1 = 3 en de gebeurtenis X2 = 0 onafhankelijk zijn.
       
  c. Het aantal dozen dat precies n balletjes bevat is een stochast Yn.
Geef de kansverdeling van Y2.
Bereken P(Y2 = 0 | Y1 = 1).
       
4. Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy  is K de grafiek van de
relatie {(x, y) ∈ R R | x3 + 6xy - 3y2 = 0}
       
  a. Bereken de cordinaten van de van O verschillende punten van K waarin de raaklijn aan K evenwijdig is aan de x-as of aan de y-as.
       
  b. Voor welke p ∈ R-  geldt: de lijn x = p  snijdt K in twee verschillende punten?
Bereken de maximale lengte van het lijnstuk dat K van de lijn x = p afsnijdt, waarbij  p ∈ R- .
       
  c. Voor welke q ∈ R heeft de lijn y = qx precies n punt met K gemeen?
Teken K en de in a) en c) gevonden lijnen voor x ∈ [-3, 3]
       

 

 

UITWERKING
   
1a. y = px - lngeeft   dy = pdx - dx/x                 invullen in  de differentiaalvergelijking:
x(pdx - dx/x) = ( px - lnx - 1 + lnx)dx        delen door d
x
px  - 1 = px - lnx - 1 + lnx
px - 1 = px - 1
q.e.d.
   
1b. dy/dx = 1  geeft  (y - 1 + lnx)/x = 1  ofwel   y = x + 1 - lnx
loodrecht snijden met px - lngeeft  x + 1 - lnx = px - lnen   (p - 1/x) (1 - 1/x) = -1
uit de eerste volgt  1/x = (p - 1)

invullen in de tweede:   (p - (p - 1) (1 - (p - 1)  = -1
  1 (2 - p) = -1    2 - p =  -1   
p = 3
   
1c.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.