VWO WB12, 2010 - I  Bezem.
Oppervlakte en inhoud bij  f(x) = ex
       

De functie f is gegeven door f(x) = ex.

Op de grafiek van deze functie liggen de punten A(0, 1) en B(2, e2) .

De grafiek van f en het lijnstuk AB sluiten een vlakdeel in.

Zie de figuur hiernaast.
     

6p.

1.

Bereken algebraïsch de oppervlakte van dat vlakdeel.
       

De grafiek van f, de lijn y = 1 en de lijn x = 2 sluiten een vlakdeel in.

Zie de figuur hiernaast.

We wentelen dit vlakdeel om de lijn y =1.
     

6p.

2.

Bereken de exacte inhoud van het omwentelingslichaam dat dan ontstaat.

 

Met een gemeenschappelijk brandpunt.
       

Gegeven is een driehoek ABC, met een punt P op de zijde BC.

De ellips e1 heeft A en B als brandpunten en de ellips e2 heeft A en C als brandpunten.

De ellipsen e1 en e2 snijden elkaar in de punten P en Q.

In het punt P tekenen we de raaklijnen aan beide ellipsen. Zie de figuur.

De raaklijnen staan loodrecht op elkaar.
     

5p.

3.

 Bewijs dit.
     

4p.

4.

Bewijs dat er een hyperbool bestaat met brandpunten B en C die door de punten P en Q gaat.
       
Een parabool?
       

Voor elk getal a met 0  ≤  a  ≤ 10 zijn gegeven: het punt A (a, a) op de lijn y = x en het punt B (a − 10, 10 − a)
op de lijn y = −x .

Zie de volgende figuur.
       

       

Voor de lijn AB geldt de formule  y = (1/5a −1) • x − 1/5a2 + 2a .
       

4p.

5.

 Toon aan dat deze formule juist is voor a = 4.
       

Voor elke waarde van a tussen 0 en 10 heeft het lijnstuk AB een snijpunt met de y-as. Zie onderstaande figuur.
       

       
De grootste waarde die de y-coördinaat van zo’n snijpunt aanneemt is 5.
       

4p.

6.

 Toon dit langs algebraïsche weg aan.
       

Als je alle verbindingslijnstukken AB tekent voor 0 ≤  a  ≤ 10 , wordt een gebied G opgevuld. In de volgende  figuur is het gebied G grijs gemaakt.
       

       

Het lijkt alsof het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door een parabool. Als dit juist is, is dat de parabool die door de punten (0, 5) , (10,10) en (−10,10) gaat.

Een formule van die parabool is:  y = 1/20x2 + 5

(4, 54/5) is een punt van de parabool y = 1/20x2 + 5 .

Als het gebied G aan de bovenkant begrensd wordt door deze parabool, is de raaklijn aan de parabool in (4, 54/5) een van de lijnen AB.
       

6p.

7.

Onderzoek of de raaklijn aan de parabool in  (4, 54/5) een van de lijnen AB is.
       
Wisselingen in rijtjes kop en munt.
       

Het komt wel eens voor dat onderzoeksresultaten vervalst worden om gewenste uitkomsten te krijgen. In deze opgave bekijken we een wiskundige techniek om zulke fraude te achterhalen. Deze techniek is erop gebaseerd dat het verdacht is als in rijtjes onafhankelijke waarnemingen te veel afwisseling voorkomt. We demonstreren deze techniek aan de hand van een sterk vereenvoudigde situatie: het meerdere keren werpen van een muntstuk.


We werpen tien keer een zuiver muntstuk en noteren de rij uitkomsten:
 

       

Hierin stelt Ä telkens kop (K) of munt (M) voor. De negen plekken waar een wisseling kan optreden, zijn genummerd.
       

3p.

8.

Toon aan dat er 252 verschillende rijtjes van tien worpen zijn met precies 5 wisselingen.
       

In onderstaande tabel staan de kansen op de verschillende aantallen wisselingen bij tien keer werpen van een muntstuk.
       
aantal
wisselingen		 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
kans 2/1024 18/1024 72/1024 168/1024 252/1024 252/1024 168/1024 72/1024 18/1024 2/1024
       

Jolly moet tien keer een muntstuk werpen, het verkregen rijtje noteren en de wisselingen tellen. Dit saaie werk moet zij 20 keer doen.
       

3p.

9.

 Bereken de kans dat de 20 rijtjes allemaal ten minste één wisseling hebben.
       

Hieronder staan de rijtjes die Jolly heeft opgeschreven met achter elk rijtje het aantal wisselingen.
       

KMKKMMMKMM 5 KKMKMMMKKK 4 MMMKMKMMKM 6 KMKMKKKKMK 6 MMKKKMMMMK 3

MMMKKMKMMM 4 MKMMMKKKMM 4 MKKKMMMMKM 4 KMKKMMKKMM 5 MMMMKKKKKK 1

MMKKKKKMMM 2 MMKMKMKKMK 7 KMKKMKMMKK 6 MMMKKMMMMK 3 KMMKMMKKMK 6

KKKMKMKKMK 6 MKMKKMKMMK 7 KKKKMKMMMM 3 KKMKMKMMKK 6 MKMKMMKKKM 6
       

We vragen ons af of Jolly wel echt met een muntstuk heeft geworpen. Zij heeft namelijk 9 rijtjes met meer dan 5 wisselingen genoteerd.
Als iemand echt met een muntstuk werpt, is de kans op 9 of meer rijtjes met meer dan 5 wisselingen nogal klein. Als die kans kleiner dan 5% is, vertrouwen we Jolly niet en verdenken we haar ervan dat zij - zonder echt met een muntstuk te werpen - zomaar wat K-M-rijtjes heeft opgeschreven.
       

5p.

10.

 Is er voldoende aanleiding om Jolly niet te vertrouwen? Licht je antwoord toe.
       
Jupiter en aarde.
       

De planeten Jupiter en Aarde draaien om de zon. In deze opgave doen we de werkelijkheid enigszins geweld aan met de volgende vereenvoudigingen:
− de banen van Jupiter en Aarde zijn cirkelvormig
− de banen liggen in één vlak
− Jupiter en Aarde hebben constante snelheid
− Jupiter en Aarde zijn puntvormig
− de omlooptijd van Aarde is 1 jaar
− de omlooptijd van Jupiter is 12 jaar
− de afstand Jupiter-Zon is 5 keer zo groot als de afstand Aarde-Zon
       

       

We kiezen een assenstelsel in het vlak waar Jupiter en Aarde zich bewegen met Zon in de oorsprong en als lengte-eenheid de astronomische eenheid (AE); dat is de afstand Aarde-Zon. Eén AE is 150 miljoen km.

Aarde heeft in dit model de bewegingsvergelijkingen: xA = cos2πt , yA = sin2πt.

De bewegingsvergelijkingen van Jupiter zijn:

xJ = 5cos1/6πt
yJ = 5sin1/6πt

Hierbij is t de tijd in jaren. In de figuur hierboven staat een schets van de situatie op tijdstip t = 0.
       

De onderlinge afstand tussen Jupiter en Aarde op tijdstip t is, volgens de stelling van Pythagoras,
√{(xA - xJ)2 + (yA - yJ)2}

Met behulp van de bewegingsvergelijkingen kan aangetoond worden dat deze afstand gelijk is aan  √(26 - 10cos(11/6πt))
       

5p.

11.

 Toon dit aan.
       

5p.

12.

Bereken op algebraïsche wijze met welke snelheid de afstand tussen Aarde en Jupiter verandert
op tijdstip t = 3. Geef je antwoord in AE/jaar, afgerond op twee decimalen.
       
Met constante hoek.
       

Gegeven is een lijnstuk AB.
We bekijken alle punten P waarvoor geldt dat
∠APB = 30º.
De meetkundige plaats van al deze punten P bestaat volgens de stelling van de constante hoek uit twee cirkelbogen.

Voor de middelpunten M en N van die cirkelbogen geldt: ∠AMB = ∠ANB = 60°.
De twee bogen zijn in de figuur hiernaast getekend met een van de punten P als voorbeeld.

De twee cirkelbogen ontmoeten elkaar in A en in B. Onder de hoek tussen de cirkelbogen in A verstaan we de hoek die de raaklijnen aan de bogen in A met elkaar maken.
       

4p.

13.

 Bereken deze hoek.
       

4p.

14.

Teken in de figuur hieronder de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat ∠APB = 45º.
Licht je werkwijze toe.
       
 

       

In onderstaande figuur zijn vier meetkundige plaatsen getekend. Deze meetkundige plaatsen horen bij alle punten P waarvoor respectievelijk ∠APB = 20º, ∠APB = 30º, ∠APB = 40º en ∠APB = 50º.
       

       

Er bestaat een simpel verband tussen één van deze vier meetkundige plaatsen en de (niet getekende) meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat ∠APB = 140º.
       

3p.

15.

Welk verband en welke meetkundige plaats worden hier bedoeld? Licht je antwoord toe.
       
Rij en oppervlakte.
       

De functie f is gegeven door  f(x) = 1/(x + 1)

De oppervlakte van het vlakdeel dat ingesloten wordt door de grafiek van f en de lijnen x = 0, x = 1 en y = 0 kunnen we benaderen met een Riemann-ondersom Rn .

Rn is de totale oppervlakte van n rechthoeken van breedte  1/n. De hoogte van de i-de rechthoek van links is:

 
De figuur hiernaast illustreert de Riemann-ondersom R10 .
       

3p.

16.

 Bereken de Riemann-ondersom R100 in vier decimalen nauwkeurig.
       
Uit de gegevens is af te leiden dat voor de Riemann-ondersom Rn geldt:
       

       

3p.

17.

 Geef deze afleiding.
       

4p.

18.

 Bereken exact de waarde van R100 − R99.
       

De rij R1 , R2 , R3 , R4 , ...  heeft een limiet. Deze limiet is te berekenen met behulp van de functie f.
       

4p.

19.

 Bereken deze limiet exact.
       

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. De oppervlakte onder de lijn AB tussen x = 0 en x = 2  en de x-as is een rechthoek plus een driehoek.
De oppervlakte daarvan is  2 • 1 + 1/2 • 2 • (e2 - 1) = e2  + 1

De oppervlakte onder de grafiek van y = ex is:
 
  De gevraagde oppervlakte is dus  (e2 + 1) - (e2 - 1) = 2.
   
2. Schuif de grafiek van f   1 omlaag (dat geeft  y = ex - 1)  en wentel dan om de x-as.
Dat geeft:
 
  = π {(1/2 • e4 - 2e2 + 2) - (1/2e0 - 2e0 + 0)}
= π (1/2e4 - 2e2 + 31/2)
   
3. Zie de figuur hiernaast.
De rode hoeken zijn gelijk en de groene hoeken ook (raaklijneigenschap ellips)

Maar daar bij punt P zijn ook nog overstaande hoeken.

Daaruit volgt dat twee roden plus twee groenen samen 180º zijn.

Dus rood + groen = 90º en dat is de hoek tussen de raaklijnen dus ook.
   
4. PA + PC = QA + QC  want P en Q liggen op e2
PA + PB = QA + QB  want P en Q liggen op e1 

Trek deze twee van elkaar af:

PC - PB = QC - QB

En dat is precies de eigenschap van punten op een hyperbool met brandpunten B en C.
 
   
5. A (4, 4) en B(−6, 6)
De r.c. is  (6 - 4)/(-6 - 4) = -0,2
A invullen:  4 = -0,2 • 4 + b geeft  b = 4,8
AB is de lijn  y = -0,2x + 4,8

controleren met de gegeven formule:
1/5a - 1 = 1/5 • 4 - 1 = -0,2  klopt
− 1/5a2 + 2a  = -1/5 • 16 + 8 = 4,8  klopt ook.
   
6. (1/5a −1) • x − 1/5a2 + 2a .
x = 0  geeft snijpunt  (0, − 1/5a2 + 2a)
De y-coordinaat is maximaal als de afgeleide ervan nul is:
-2/5a + 2 = 0
2/5a = 2
a = 5  en dan is  y = -1/5 • 25 + 10 = 5
   
7. y = 1/20x2 + 5
x = 4  geeft  y =  5,8 dus het punt ligt op de parabool
y '= 1/10x  dus  y' (4) = 1/10 • 4 = 0,4
De raaklijn is  y = 0,4x + b
5,8 = 0,4 • 4 + b  geeft  5,8 = 1,6 + b dus  b = 4,2
De raaklijn is  y = 0,4x + 4,2

Snijden met y = x  geeft  x = 0,4x + 4,2  dus  x = 7  en het punt  A(7, 7)
Snijden met y = -x geeft  -x = 0,4x + 4,2  dus  x = -3  en het punt  B(-3, 3)
Met a = 7 zijn dat inderdaad de punten A en B.
   
8. Er zijn negen plaatsen voor Wel of Niet een wisselling
Een mogelijkheid voor 5 wisselingen is WWWWWNNNN
Van zulke rijtjes met 5 W's en 4 N's zijn er  9 nCr 5 = 126
Daarvan kan elk rijtje met een K of een M beginnen, dus dat geeft in totaal 2 • 126 = 252 mogelijkheden.
   
9. P(tenminste één wisseling) = 1 - P(geen wisseling) = 1 - 2/1024 = 1022/1024
P(20 keer achter elkaar dit) = (1022/1024)20 = 0,9617
   
10. P(meer dan 5 wisselingen) = 168/1024 + 72/1024 + 18/1024 + 2/1024 = 260/1024
Bij 20 keer is dat binomiaal verdeeld met n = 20 en p = 260/1024
P(9 of meer) = 1 - P(hoogstens 8) = 1 - binomcdf(20, 260/1024, 8) = 0,0449
Deze kans is kleiner dan 5%, dus we vertrouwen Jolly niet.
   
11. (cos2πt  -  5cos1/6πt)2 + (sin2πt - 5sin1/6πt)2 
= cos22πt - 10cos2πt • cos1/6πt + 25cos21/6πt + sin22πt - 10sin2πt • sin1/6πt + 25sin21/6πt
=  cos22πt + sin22πt + 25cos21/6πt + 25sin21/6πt  - 10cos2πt • cos1/6πt - 10sin2πt • sin1/6πt
= 1  + 25  - 10(cos2πt • cos1/6πt  + sin2πt • sin1/6πt)

tussen haakjes staat nu precies de formule voor  cos(a - b)

= 26 - 10cos(2πt - 1/6πt)
= 26 - 10cos(11/6πt)

Nu nog de wortel een klaar!
   
12. De snelheid is de afgeleide van de afstand.
A = √(26 - 10cos(11/6πt)) = (26 - 10cos(11/6πt))0,5 
A '=  0,5 • (26 - 10cos(11/6πt))-0,5 • 10sin(11/6πt) • 11/6π  
t = 3 invullen geeft  A ' = 5,65  AE/jaar.
   
13. Driehoek AMB is gelijkzijdig (MB = MA en de tophoek is 60º)
Dus is ∠MAB = 60º

Maar de hoek tussen MA en zijn raaklijn is 90º
Dus is de overblijvende hoek (tussen AB en de raaklijn) gelijk aan 30º

Vanaf de andere cirkel geldt (gespiegeld) precies hetzelfde.

de hoek tussen beide blauwe raaklijnen is dus 30 + 30 = 60º

   
14. A en B liggen op beide cirkels, dus de middelpunten moeten op de middelloodlijn van AB liggen.

Als de hoek AXB gelijk is aan 90º dan zijn de hoeken ABX en BAX beiden 45º.

Teken dus lijnen die een hoek van 45º met AB maken en snij die met de middelloodlijn van AB.
Dat geeft de middelpunten X en Y van de gezochte cirkels.
 
   
15. AP1BP2 is een koordenvierhoek (want de hoeken tegenover elkaar zijn 140 + 40 = 180º)
Dus liggen de vier punten op één cirkel.
Het deel dat bij 140º hoort is precies wat er overblijft  als het 40º deel van de cirkel is afgehaald (de stippellijn in de figuur hierboven)
   
16. In de GR:
Mode- seq
Y=
nmin = 1
u(n) = 0,01 • 1/(n/100 + 1)
unmin = 0,01 • 1/1,01
v(n) = v(n - 1) + u
vnmin = 0,01 • 1/1,01
TABLE geeft  v(100) = 0,6906534305....
   
17.

  i = 1, 2, .... geeft de gezochte vergelijking. En voor i = n geeft het de laatste term 1/2n
   
18. R100 = 1/101 + 1/102 + .... + 1/200
R99 = 1/100 + 1/101 +  ... + 1/198
Trek ze van elkaar af en bijna alles valt weg:
R100 - R99 = -1/100 + 1/199 + 1/200 = 1/39800
   
19. De totale som nadert naar de oppervlakte onder de grafiek van f tussen 0 en 1.
 

  De limiet is dus ln2.