VWO WB12, 2005 - I
Inademen
Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen.
Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse lucht in de longen een functie van de tijd.
Voor gezonde mensen gebruiken we het volgende model:  L(t) = 3,6 • (1 - e-2,5t )
Hierbij is L de hoeveelheid verse lucht in liters en t  de tijd in seconden (0 ≤ t ≤ 5).

De maximale hoeveelheid verse lucht in de longen van gezonde mensen is volgens dit model ongeveer 3,6 liter.
3p

1.

 Bereken na hoeveel seconden 90% van deze maximale hoeveelheid verse lucht is ingeademd.

 
Astma is een aandoening van de luchtwegen. Bij astmapatiënten is de maximale hoeveelheid verse lucht in de longen kleiner en duurt het langer voor dit maximum bereikt wordt. Voor astmapatiënten gebruiken we het model:  Lα(t) = α • 3,6(1 - e -2,5αt)
Hierbij is α een constante tussen 0 en 1 die afhankelijk is van de zwaarte van de astma.
In de figuur hiernaast is de grafiek van de hoeveelheid ingeademde verse lucht getekend voor een gezond persoon en voor een zekere astmapatiënt.
4p

2.

 Bereken voor deze astmapatiënt a in één decimaal nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.

 
Ga bij de volgende vraag weer uit van de formule  Lα(t) = α • 3,6(1 - e -2,5αt)
De snelheid waarmee de hoeveelheid verse lucht toeneemt is maximaal op het tijdstip t = 0
5p 3. Bereken voor welke waarde van a deze maximale snelheid gelijk is aan 4,5 liter per seconde.

 

 

Betwist gebied
Twee landen A en B worden gescheiden door een zee. De kustlijn van A is recht en loopt west-oost. De kustlijn van B maakt bij kaap K een hoek van 90º; een deel van de kustlijn loopt noord-zuid en een deel west-oost. De afstand tussen de kustlijnen die west-oost lopen is 40 km. Zie onderstaande figuur.

Beide landen maken aanspraak op een deel van de zee. Ze vinden beide dat de strook tot 30 km uit de kust hen toebehoort. Voor een groot deel van de zee zijn de landen het erover eens van wie het is, maar een deel van de zee blijft betwist gebied.
4p

4.

 Arceer in de figuur het betwiste gebied.

 
De zee zou verdeeld kunnen worden volgens het naaste-buur-principe.
4p

5.

 Teken in de figuur de hierbij behorende grenslijn. Licht je werkwijze toe.

 
In de figuur hiernaast is een punt P getekend van de grenslijn bij verdeling volgens het naaste-buur-principe. Het betwiste gebied heeft een noordrand en een zuidrand.

3p

6.

 Toon aan dat P even ver van beide randen afligt.

 
Rechthoek om driehoek

Een gelijkbenige driehoek meteen tophoek van 30º (1/6p radialen) en twee zijden van lengte 1 wordt op een rechthoekig blaadje papier gelegd met de top in een hoekpunt van het papier.Zie de figuur hierboven. Vervolgens wordt door elk ander hoekpunt van de driehoek een lijn getrokken evenwijdig aan een rand van het blaadje. Door de getekende lijnen en de randen van het blaadje papier wordt zo een rechthoek gevormd.

In de figuur hierboven is voor vijf verschillende posities van de driehoek de bijbehorende rechthoek getekend.
In de figuur hiernaast zijn voor een willekeurige situatie letters bij de hoekpunten gezet.
Om driehoek ABC met tophoek A is rechthoek APQR gevormd.
Bij elke stand van driehoek ABC hoort een hoek PAB. Noem de grootte van deze hoek x radialen.
Dus ∠PAB = x met  0 ≤ x ≤ 1/3π.
Verder is AB = AC = 1 en ∠BAC = 1/6π
De oppervlakte van rechthoek APQR is een functie van x en wordt aangegeven met O(x)
Er geldt:  O(x) =  cosx • cos(1/3π - x)
4p

7.

 Toon dit aan

 
Voor de afgeleide functie van O geldt:  O'(x) = sin(1/3π - 2x)
5p

8.

 Toon dit langs algebraïsche weg aan.

 
4p

9.

 Bereken de exacte waarden die O(x) kan aannemen.

 
De omgeschreven cirkels van de driehoeken APB en BQC snijden elkaar in het punt B en in een tweede punt S. Zie de figuur hiernaast.
6p

10.

 Bewijs dat S op zijde AC ligt.

 
Richtingen
Gegeven is de functie  f(x) = -0,01x3 + 0,1x2 + x

In de figuur hiernaast is de grafiek van  f getekend.

De raaklijn in de oorsprong aan de grafiek van f  gaat door een top van de grafiek van f .
6p

11.

 Toon dit langs algebraïsche weg aan.
Verder is gegeven het punt A(0, 4)
Voor elk punt P(x , f(x)) op de grafiek van  f  tussen de punten  O(0,0) en  (10,10) bekijken we de lijn AP.
4p

12.

 Bereken de x-coördinaat van het punt P waarbij de lijn AP de grootste richtingscoëfficiënt heeft.

 
Voor iedere startwaarde u0 wordt een oneindige rij u0, u1, u2, ... vastgelegd door de formule  un+ 1 = f(un).
We beperken ons tot startwaarden uit het interval [-10, 18]:  -10 ≤ u0 ≤ 18.
Voor elk van deze startwaarden heeft de rij u0, u1, u2, ...  als limiet de waarde 0 of de waarde 10.
De startwaarden waarvoor deze limiet de waarde 0 heeft vormen twee intervallen [a, b] en [c, d].
5p

13.

 Teken in de figuur hierboven de plaatsen van a, b, c en d op de x-as.
De badkuipkromme
Bij veel in massaproductie vervaardigde apparaten is de levensduur afhankelijk van het toeval. Bij de modellering daarvan onderscheidt men vaak drie tijdsintervallen:
• een korte beginperiode waarin fabricage- en materiaalfouten aan het licht komen; er gaan dan relatief veel apparaten stuk.
• een (lange) normale werkperiode waarin slechts weinig apparaten stukgaan.
• een korte eindperiode, waarin vrijwel alle apparaten door veroudering en slijtage stukgaan.

De figuur hieronder illustreert  een wiskundig model dat voor de analyse van de levensduur van een bepaald type apparaten gebruikt wordt. Het gaat om apparaten waarbij de begin- en eindperiode beide ongeveer een half jaar duren en de normale werkperiode ongeveer 10 jaar bedraagt. De apparaten worden maximaal 11 jaar oud.

Op de horizontale as van deze figuur staat de tijd t, gemeten in jaren. De figuur toont de grafiek van een functie f waarvoor geldt dat de oppervlakte onder de grafiek op het interval 0 ≤ t ≤ 11 gelijk is aan 1. Voor ieder tijdstip a tussen 0 en 11 jaar is de kans dat een willekeurig apparaat stukgaat vóórdat het een leeftijd van a jaren heeft bereikt, gelijk aan de oppervlakte onder de grafiek van f tussen de tijdstippen t = 0 en t = a. Id bovenstaande figuur is die oppervlakte voor a = 1 grijs aangegeven. De grafiek van f wordt vanwege de vorm een badkuipkromme genoemd.
In dit geval heeft de badkuipkromme de volgende eigenschappen:
• de grafiek is symmetrisch in de lijn t = 5,5
• de oppervlakte onder de grafiek tussen t = 0 en t = 1 is ongeveer gelijk aan 0,14.
• de grafiek loopt tussen t = 1 en t = 10 ongeveer horizontaal.
De kans op stukgaan tussen 0 en a jaar (met  0 ≤ a ≤ 11) noemen we F(a). Dus F(1) ≈ 0,14.
5p

14.

 Teken de grafiek van F. Licht je werkwijze toe. De grafiek moet in overeenstemming zijn met de hierboven genoemde eigenschappen van de badkuipkromme.
Voor de badkuipkromme van de figuren hierboven geldt het functievoorschrift: f(t) = 0,08 + 2 • 10-23 •(t - 5,5)30
6p

15.

 Bereken met behulp van primitiveren de kans op stukgaan tijdens het eerste halfjaar.
De fabrikant geeft één jaar garantie op het apparaat. Als het binnen één jaar stukgaat wordt het gratis vervangen door een nieuw exemplaar. Ook dat kan binnen ene jaar stukgaan, waarna ook dat exemplaar gratis wordt vervangen, enzovoort.
Iemand koopt vier van deze apparaten.
5p

16.

 Bereken de kans dat precies één keer een apparaat van deze persoon gratis wordt vervangen door een nieuw exemplaar.
Als de gemiddelde levensduur van een apparaat 5,5 jaar is, geldt voor het trekken van een aselecte steekproef van 150 apparaten: de gemiddelde levensduur van de 150 apparaten in de steekproef is bij benadering normaal verdeeld met verwachtingswaarde 5,5 jaar en standaardafwijking 0,285 jaar.

Van een groep van 150 aselect gekozen apparaten bleek de gemiddelde levensduur slechts 5,1 jaar te zijn.
5p

17.

 Geeft dit voldoende aanleiding om de veronderstelde gemiddelde levensduur van een apparaat naar beneden bij te stellen? Neem een significantieniveau van 10%

Middens van bogen
Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel.
De hoeken van deze driehoek zijn α, β en γ.
A1, B1 en C1 zijn de middens  van de bogen BC, CA en AB.
∠A1C1B1 noemen we γ1. Zie onderstaande figuur.

Er geldt:  γ1 = 1/2(180º - γ)
4p

18.

 Bewijs dit.
A2, B2 en C2 zijn de middens van de bogen  B1C1, C1A1 en A1B1.
∠A2B2C2 noemen we γ2.
Op eenzelfde manier definiëren we γ3, γ4 enzovoort.
Op dezelfde manier als in vraag 18 kun je voor n = 1, 2, 3, ..  aantonen dat  γn + 1 = 1/2(180º- γn).

Deze formule is te herschrijven tot de formule:  γn + 1 - 60º = -1/2(γn - 60º) 

3p

19.

 Toon dit aan.
4p

20.

 Laat zien hoe uit de formule  γn + 1 - 60º = -1/2(γn - 60º) volgt dat de rij  γ1, γ2, γ3, ... convergent is en bepaal de limiet van deze rij.
OPLOSSING
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. 90% van 3,6 is 3,24  ⇒  3,24 = 3,6(1 - e-2,5t ) ⇒  1 - e-2,5t = 0,9  ⇒  e-2,5t = 0,1  ⇒   -2,5t = ln(0,1)
 ⇒  t = ln(0,1)/-2,5 ≈ 0,92
2. de lijn van de astmapatiënt loopt naar ongeveer L = 2,2
3,6a = 2,2  ⇒  α ≈ 0,6
3. L'= α • 3,6 • -e-2,5αt • -2,5α
L'(0) = α • 3,6 • -1 • -2,5α = 9α2 = 4,5
dus  α2 = 0,5 en α = √(0,5) = 1/2√2.
4. Het betwiste gebied is het blauwe gebied hiernaast.
Een rechthoek plus een deel van de kwartcirkel met middelpunt K en straal 30.
5. RQ is de conflictlijn tussen de rand van gebied A en de noord-zuid rand van gebied B.

PQ is een deel van de parabool met richtlijn de rand van gebied A en brandpunt K.

De lijn van P naar rechts loopt midden tussen beide landen.
6. Hiernaast staat alles nog eens samengevat.

Omdat P op de conflictlijn ligt geldt PK = PQ.

PS = 30 - PK
PR = 30 - PQ
PK = PQ 

daaruit volgt PS = PR 
7. Teken de lijn van C loodrecht op AP. Dat geeft punt R. Dan geldt  sin(1/6π + x) = CR = QP
Verder in driehoek ABP:  AP = cosx
AP • QP = cosx • sin(1/6π + x)
omdat sinα = cos(1/2π - α) geldt sin(1/6π + x) = cos(1/2π -  (1/6π + x) ) = cos (1/3π - x)
Daarmee is de formule bewezen.
8. O'(x) = -sinx • cos (1/3π - x) + cosx • -sin(1/3π - x) • -1 = cosx • sin(1/3π - x) - sinx • cos (1/3π - x)
=  sin(1/3π - x - x) = sin(1/3π - 2x)
9. O'(x) = 0  ⇒  sin(1/3π - 2x) = 0  ⇒  1/3π - 2x = 0 (mod 2π)  ∨  1/3π - 2x = π  (mod 2π)
⇒  2x = 1/3π  (mod 2π)  ∨  2x = -2/3π  (mod 2π)
⇒  x =  1/6π  (mod π)  ∨  x = 2/3π (mod π)
x =  1/6π  geeft  O = 3/4
x = 2/3π valt af omdat 0 ≤ x ≤ 1/3π
x = 0 geeft  O = 1/2  en  x = 1/3π  geeft  O = 1/2
Conclusie:  O zit in het interval [1/2 , 3/4]
10. Omdat ∠APB = 90º is AB de middellijn van de eerste cirkel.
Omdat ∠CQB = 90º is CB de middellijn van de tweede cirkel.
Stel dat de eerste cirkel zijde AC snijdt in S.
Dan is ∠ASB = 90º (Thales)
Maar dan is ook ∠BSC = 90º want samen zijn ze een gestrekte hoek.
Dus ligt S ook op de tweede cirkel.
11. f '(x) = -0,03x2 + 0,2x + 1
f '(x) = 0  ⇒  (ABC-formule met a = -0,03 en b = 0,2 en c = 1)  ⇒  x = -31/3  V  x = 10
De top is het punt (10,10)

f '(0) = 1 dus de raaklijn heeft formule  y = x
Die gaat inderdaad door (10,10)  
12. De helling van AP is Δy/Δx = -0,01x2 + 0,1x + 1 - 4/x
Calc - Maximum geeft  x ≈ 8,07 en y ≈ 0,66
De x-coördinaat is dus ongeveer 8,07
13.
Zie de figuur hiernaast.
De twee blauwe stukken van de x-as convergeren naar 0.

a ≈ -6,18

Bereken het snijpunt van y = -6.18 met f(x)
Dat geeft  d ≈ 17.65

c ≈ 16.18
b = 0
14.
De grafiek moet door (1, 0.14) en (10, 0.86) gaan
Daartussen is het lineair.
tussen 0 en 1 is er afnemende stijging, tussen 10 en 11 toenemende stijging.

15.
16. Dan moet er precies één van de vier kapot gaan, en zijn vervanger niet.
P(één van de vier kapot) = 4 • 0,14 • 0,863 
P(vervanger niet) = 0,86
samen geeft dat 4 • 0,14 • 0,863 • 0,86 = 0,31
17. H0:  μ = 5,5 en σ = 0,285
H1:  μ < 5,5  (de toets is éénzijdig)
 α = 0,10
De meting was  x = 5,1
overschrijdingskans:  normalcdf(0, 5.1, 5.5, 0.285) = 0,08
Dat is kleiner dan 0,10 dus H0 moet verworpen worden; Er is inderdaad voldoende aanleiding
18. boog A1C is de helft van boog BC, dus ∠A1C1C  is 1/2α.
boog B1A is de helft van boog AC dus ∠CC1B1 is 1/2β.
 γ1 = ∠CC1B1 + ∠A1C1C = 1/2(α + β)
omdat α + β + γ = 180º is α + β = 180 - γ, dus γ1 = 1/2(180º - γ)
19. γn+1 - 60º = 1/2(180º - γn) - 60º = 90º - 1/2γn - 60º = 30º - 1/2γn = -1/2(-60º + γn) = -1/2(γn - 60º)
20. De rij  γ1 - 60º,  γ2 - 60º, γ3 - 60º,..... is een meetkundige rij met reden 1/2.
Deze rij convergeert dus naar nul.
Dus de rij  γ1, γ2, γ3,... convergeert naar 60º