VWO WB12,  2003 - I
Periodiek
Gegeven is de rij: 
In de volgende twee vragen kiezen we de startwaarde a = 2
In de figuur hieronder staat de webgrafiek bij deze startwaarde.
4p 1. Bereken  u1,  u2,  u3 en u4.
5p 2. Bereken u999999. Licht je antwoord toe.

 
We kunnen ook andere startwaarden a nemen dan 2. Als we a = 0 nemen, heeft de rij maar twee termen: u0 en u1; dan is de term u2 namelijk niet gedefinieerd.
Behalve a = 0 zijn er nog twee startwaarden waarbij één van de termen in de rij un gelijk is aan 0. De daaropvolgende term in de rij is dan niet gedefinieerd.
5p 3. Welke twee startwaarden zijn dat? Licht je antwoord toe.

 
In de rest van deze opgave werken we met startwaarden waarbij  u1, u2 en u3 wél gedefinieerd zijn. Bij zo'n startwaarde a kun je achtereenvolgens  u1 en u2 bepalen.
6p 4. Toon langs algebraïsche weg aan dat de uitdrukking die je voor u2 krijgt kan worden vereenvoudigd tot  -1/a

 
Nu je u2 hebt gevonden kun je u4 ook bepalen.
4p 5. Toon aan dat  u4 = a

 
Zomertarwe
Een akker wordt op 1 april ingezaaid met zomertarwe. De tarwe wordt geoogst op 30 juli. In de 120 dagen tussen zaaien en oogsten groeien de planten niet steeds even hard. Aanvankelijk groeien de planten steeds sneller. Als de planten groter worden gaan ze elkaar meer hinderen waardoor de groeisnelheid nagenoeg constant wordt. Tegen het einde van het groeiseizoen gaan de tarweplanten steeds langzamer groeien.
Het gewicht van de tarweplanten in kilogrammen noemen we z. De tijd in dagen noemen we t; t = 0 op 1 april,  t = 120 op 30 juli.
z '(t) is de snelheid waarmee z groeit op tijdstip t (in kg/dag). Biologen hanteren voor de drie groeifasen wel het volgende model:
  • fase 1: exponentiële groei.  voor  0 ≤ t < 40  geldt:          z '(t) = 100 • e0,1(t - 40) 
  • fase 2: lineaire groei.          voor  40 ≤ t < 100 geldt         z '(t) = 100
  • fase 3: tanende groei          voor  100 ≤  t < 120  geldt      z '(t) = 100 • e-0,2(t - 100)
In de figuur hieronder staat de grafiek van z'
Bij elk tijdstip t1 in fase 1 is er een tijdstip t3 in fase 3 waarop de tarweplanten even snel groeien als op  t1.
4p 6. Bereken t3 exact als  t1 = 18

 
De hoeveelheid zaaigoed is 30 kg, dus  z(0) = 30

Er zijn getallen a en b, zo dat voor fase 1 geldt:  z(t) = a • e0,1(t - 40) + b
4p 7. Bereken a en b. Rond de waarde van b af op twee decimalen.

 
Op elk tijdstip t is het gewicht te bepalen met 

Er geldt  z(100) ≈ 7011,68
6p 8. Toon dit aan.

 
3p 9. Bereken het gewicht van de tarweplanten op 30 juli.

 
Conflict tussen twee punten en een lijn.
Gegeven zijn een lijn k en twee punten A en B op gelijke afstand van k en aan dezelfde kant van k. Zie de figuur hieronder.
We verdelen het vlak waar A, B en k in liggen volgens het naaste-buur principe. De grenslijnen van deze verdeling zijn conflictlijnen.
Het punt D is het 'drielandenpunt' , dat is het punt op gelijke afstand van A, B en k
4p 10. Teken in de figuur het drielandenpunt D. Licht je werkwijze toe.

 
4p 11. Teken in de figuur de conflictlijnen. Licht je werkwijze toe.
Osteoporose
Osteoporose of botontkalking is een kwaal die vooral bij oudere mensen optreedt en verergert naarmate men ouder wordt. Bij het ouder worden maakt het lichaam minder bot aan dan er afgebroken wordt. Het gevolg is dat botten poreuzer worden en de kans op botbreuk dus toeneemt.

In deze opgave beperken we ons tot de risicogroep, personen van 55 jaar en ouder. Onderzoek wijst uit dat 1 op de 4 vrouwen aan osteoporose lijdt.
Bij mannen is dat 1 op de 12.

Bij een controle op osteoporose onder 100 aselect gekozen vrouwen wordt bij een aantal vrouwen osteoporose geconstateerd. 
3p 12. Bereken de kans dat dit aantal 30 is.

 
Bij een controle onder vijf aselect gekozen mannen en vijf aselect gekozen vrouwen wordt bij een aantal van hen osteoporose geconstateerd.
7p 13. Bereken de kans dat dit aantal 2 is.

 
In 1988 bestond in Nederland de risicogroep voor 55,6% uit vrouwen.
4p 14. Bereken hoeveel procent van de osteoporose-patiënten uit de risicogroep vrouw was.

 
Twee scharnierende vierkanten
Twee vierkanten, beide met zijde 1, hebben het hoekpunt O gemeenschappelijk. Het onderste vierkant ligt vast. Het bovenste vierkant wordt om O gedraaid; t is de draaihoek in radialen. In de figuur hieronder zijn tussen de begin- en eindstand drie tussenstanden getekend. Om de twee vierkanten is steeds een zo klein mogelijke rechthoek getekend, met twee zijden langs het vaste vierkant.
De oppervlakte R van de omhullende rechthoek is een functie van de draaihoek t.
Voor elke waarde van t tussen 0 en 1/2π geldt:  R(t) = (1 + sint) • (1 + sint + cost)
In de figuur hiernaast is de situatie getekend voor een waarde van t tussen 0 en 1/2π.
4p 15. Toon de juistheid van de formule aan voor elke waarde van t tussen  0 en 1/2π.

 
Er zijn tussen de begin- en de eindstand twee posities van de vierkanten waarvoor R(t) maximaal is. In de figuur hieronder is één van die posities getekend.
4p 16. Teken in deze figuur de andere positie van de vierkantjes waarvoor R(t) maximaal is. Licht je werkwijze toe.

 
3p 17. Toon met behulp van differentiëren aan dat  R'(0) = 3

 
Twee ellipsen met een gemeenschappelijk brandpunt
Twee ellipsen hebben het brandpunt F1 gemeenschappelijk; de andere twee brandpunten zijn F2 en F3. De ellipsen snijden elkaar in punt P. Zie de figuur hieronder.
De raaklijnen in P aan de twee ellipsen maken vier hoeken met elkaar. De hoek tussen de twee halve raaklijnen die geheel buiten de ellipsen liggen noemen we a.
6p 18. Bewijs dat geldt:  ∠F2PF3 = 2α

 
Constante booglengte
Twee cirkels c1 en c2 snijden elkaar in de punten A en B.
A en B verdelen c1 in twee bogen:  de ene boog ligt binnen c2, de andere boog ligt buiten c2.
Op de boog van c1 buiten c2 liggen de punten X en Y. De lijnen AX en BX snijden c2 nog in de punten P1 en Q1. De lijnen AY en BY snijden c2 nog in de punten P2 en Q2.
Zie de figuur hiernaast.
6p 19. Bewijs dat de bogen P1Q1 en P2Q2 even groot zijn.

 
OPLOSSINGEN
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. u0 = 2  ⇒  u1 = (1 + 2)/(1 - 2)= -3  ⇒  u2 = (1 + - 3)/(1 - -3) = -0,5
 ⇒  u3 = (1 + -0,5)/(1 - -0,5) = 1/3  ⇒ u4 = (1 + 1/3)/(1 - 1/3) = 2
   
2. Omdat u4 = u2 gaat het rijtje  2 , -3 , -0,5 , 1/3 ,....... zich alsmaar herhalen.
Elk nummer dat een veelvoud van 4 is, geeft  daarom weer u = 2.
Dus ook u999996 = 2 en dan is u999999 gelijk aan  u3 = 1/3
   
3. u1 = 0  ⇒  (1 + a)/(1 - a) = 0  ⇒  1 + a = 0  ⇒  a = -1
   
4.
   
5.
   
6. Dan moet gelden  100 • e0,1(18 - 40) = 100 • e-0,2(t - 100)
 ⇒  0,1(18 - 40) = -0,2(t - 100)  ⇒  -2,2 = -0,2t + 20  ⇒  -0,2t = -22,2  ⇒  t = 111
   
7. Differentieer de gegeven functie z, dan moet dat z' opleveren.
a • 0,1 • e 0,1(t - 40) = 100 • e0,1(t - 40)  dus kennelijk moet  a = 1000
z(0) = 30 invullen geeft:  30 = 1000 • e0,1(0 - 40) + b  ⇒  b = 30 - 1000 • e-4 = 11,68 
   
8.
= 30 + 1000 • e0 - 1000 • e-4 + 100 • 100 - 100•40
= 30 + 1000 - 1000 • 18,3156... + 10000 - 4000 =  7011,6843...
   
9. 30 juli is t = 120

= 7011,68 - 500 • e-4 + 500•e0 = 7502,52
     
10. D ligt in ieder geval op de middelloodlijn van A en B.
Noem het snijpunt van deze middelloodlijn met k  S.
D moet even ver van S af liggen als A  dus ligt op de middelloodlijn van AS
S is dus het snijpunt van beide middelloodlijnen.

   
11. De conflictlijn van A met k is een parabool, die van B met k ook, en die van A en B de middelloodlijn.
Je vindt bijv. de parabool tussen A en k door een willekeurig voetpunt V op k te kiezen, en vervolgens de loodlijn op k door V te trekken.
Het snijpunt P van zo'n loodlijn met de middelloodlijn van AV is een punt van de parabool.

12. Dit is een binomiaal experiment met n = 100,  p = 0,25
P(X = 30) = binompdf(100, 0.25, 30) = 0,04575...

of:  0,2530 • 0,7570 • (100 nCr 300) = 0,04575...

   
13. Er zijn drie mogelijkheden:
2 mannen en 0 vrouwen:  P = binompdf(5,1/12,2) • binompdf(5,0.25,0) = 0,0127
1 man en 1 vrouw:  P = binompdf(5,1/12,1) • binompdf(5,0.25,1) = 0,1164
0 mannen en 2 vrouwen:  P = binompdf(5,1/12,0) • binompdf(5,0.25,2) = 0,1707
Samen geeft dat  0,0127 + 0,1164 + 0,1707 ≈ 0,3
   
14. Kies bijvoorbeeld een groep van 100000 mensen.
Dat zijn dan  55600 vrouwen en 44400 mannen   (55,6% en 44,4%)
Dat geeft  13900 vrouwen met osteoporose en 41700 zonder  (1/4 en 3/4)
Verder geeft het  3700 mannen met osteoporose en  40700 zonder (1/12 en 11/12)
De osteoporose patiënten zijn dus 13900 vrouwen en 3700 mannen; in totaal 17600.
Het percentage vrouw is  13900/17600 • 100% = 79%
     
15. In de figuur hiernaast is te zien dat  sin t = x/1
Dus x = sin t
Verder is  cos t = y/1  dus  y = cos t.
De rechthoek heeft breedte 1 + x  en lengte  1 + y + x
De oppervlakte is dan  (1 + x) • (1 + y + x)
Dat is  (1 + sin t) • (1 + sin t + cos t)
     
16. Die andere positie vind je door de lengte en breedte van de grote rechthoek om te wisselen.
Dat kan door de hele figuur te spiegelen in de diagonaal van het oorspronkelijke vierkant.
Zie hiernaast.
   
17. Met de productregel:
R'(t) = cost • (1 + sint + cost) + (1 + sint) • (cost - sint)
t = 0 geeft  R'(0) = 1 • (1 + 0 + 1) + (1 + 0) • (1 - 0) = 2 + 1 = 3
   
18.
In de linkerfiguur zijn die raaklijnen rood getekend. De hoeken met een *  (van de linkerellips) zijn aan elkaar gelijk en ook de hoeken met een o (van de rechterellips)
In de rechterfiguur zijn de raaklijnen doorgetrokken. Overstaande hoeken zijn gelijk en dat levert ons de blauwe * en o.
Nu is eenvoudig te zien dat  α = o*  en  F2PF3 = oo** dus dat is het dubbele.
     
19. De rode stip is de omtrekshoek bij XY in de kleine cirkel.
Door overstaande hoeken zien we dat de rode stip ook de omtrekshoek van Q1Q2 én die van P1P2 in de grote cirkel is.
De omtrekshoeken zijn dus gelijk, dus de cirkelbogen ook.