Nieuwe pagina 1

Podiumverlichting

Een podium is 6 meter diep. Midden boven het podium hangt een balk met tl-buizen. De verlichtingssterkte op het podium is het kleinst aan de rand, bijvoorbeeld in punt P. De afstand van P tot de balk is r meter, de hoogte van de balk boven het podium is x meter en de hoek die het kortste verbindingslijnstuk van de balk en punt P met het podium maakt is a radialen. Zie de volgende figuur.

De verlichtingssterkte op het podium in punt P noemen we V (in lux). V is omgekeerd evenredig met r en evenredig met sina. Dus V = c • ¹/_r • sinα, waarbij de evenredigheidsconstante c afhangt van het lichtvermogen van de tl-buizen.
Voor deze balk met tl-buizen geldt: c = 650 (lux•m)
Er geldt:

Toon aan dat deze formule juist is.

De balk met tl-buizen kan omhoog gehesen worden: de hoogte kan variëren van 2,0 tot 5,0 meter.

De verlichtingssterkte op het podium in punt P moet minimaal 100 lux zijn.

Bereken langs algebraïsche weg op welke hoogtes de balk mag hangen.

Er is een hoogte van de balk waarbij V maximaal is.

Bereken deze hoogte langs algebraïsche weg.

Een familie parabolen

Voor n = 1, 2, 3, ... is gegeven de parabool p_n: y = n(2x - x²). In de figuur hiernaast zijn de parabolen p₁, p₂, p₃ en p₄ getekend voor 0 ≤ x ≤ 2

4p	4.	Bereken exact de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door p₂ en p₃


Voor n = 1, 2, 3, ... snijdt de parabool p_n de lijn y = x behalve in O(0,0) ook nog in een tweede punt S_n. In de figuur hiernaast zijn S₁, S₂, S₃ en S₄ aangegeven. Hoe groter n is, des te dichter ligt S_n bij het punt S(2,2)

5p	5.	Onderzoek voor welke waarden van n de x-coördinaat van S_n groter dan 1,99 is.

Voor n = 1, 2, 3, ... snijdt de raaklijn in O(0,0) aan de parabool p_n de lijn x = 1 in het punt R_n. Zie de figuur hiernaast. Verder is A het punt (1,0) en T_n de top van de parabool p_n.

5p	6.	Toon aan dat voor n = 1,2,3,... T_n het midden is van lijnstuk AR_n

Brievenweger

Op de foto hiernaast zie je een brievenweger.
Als je een gewicht (een brief) op het schaaltje legt kun je op de witte schaalverdeling het gewicht ervan aflezen.
In de onderstaande figuur is schematisch een soortgelijke brievenweger weergegeven met een voorwerp dat y gram weegt.
De pijl waarbij je het gewicht afleest ligt loodrecht onder het draaipunt D. De ballast zorgt ervoor dat het verbindingsstuk DE verticaal staat als er niets op het schaaltje ligt.
De verbinding tussen de stukken ED en DC is vast.

Als een voorwerp van y gram op het schaaltje geplaatst wordt, draait het verbindingsstuk CDE om punt D over een hoek van a radialen. De cirkelvormige schaalverdeling en de ballast draaien ook en de pijl wijst op de schaalverdeling het getal y aan. Het schaaltje blijft horizontaal door de scharnieren in de punten A, B en C. Zie de figuur hierboven.
Bij deze brievenweger kan met behulp van statica de volgende formule worden afgeleid (a in radialen):

Bepaal door meten en berekenen de waarde van y. Gebruik daarvoor bovenstaande figuur. Rond je antwoord af op een gehele waarde. Licht je antwoord toe.

10.

Bereken exact de waarde van α waarvoor geldt y = 70

Voor de afgeleide ^d^y/_dα geldt de formule:

11.

Toon dit aan.

Op de schaalverdeling kun je alle streepjes van 1, 2, 3, ... tot 100 gram aangeven. De onderlinge afstanden tussen die streepjes zijn verschillend. In de buurt van een zekere waarde van a liggen de streepjes het verst van elkaar. Bij deze waarde van α is ^d^y/_dαminimaal.

12.

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de waarde van α waarvoor ^d^y/_dα minimaal is.

Krasbal.

In 2001 werd het spel 'krasbal' geïntroduceerd. Het spel werd op één speelkaart door twee spelers gespeeld. In deze opgave is de speelkaart ("krasbalkaart") sterk vereenvoudigd. Hiernaast zie je de krasbalkaart, bestaande uit het "speelveld" en het "scoringsveld". In het speelveld zijn acht vakjes die kunnen worden open gekrast: vier met de letter V (van balVerlies) en vier met de letter P (van doelPoging). In het scoringsveld zijn vier vakjes die kunnen worden open gekrast: twee met de letter D (van Doelpunt) en twee met de letter M (van Misser)

4p	13.	Hoeveel verschillende krasbalkaarten zijn er mogelijk?

Het spel wordt als volgt gespeeld:
-	als een speler aan de beurt is, krast hij eerst een vakje in het speelveld open:
-	als hij in het speelveld:
	•	een V open krast, gaat de beurt naar zijn tegenstander
	•	een P open krast, gaat hij verder naar het scoringsveld;
-	als hij in het scoringsveld:
	•	een D open krast, heeft hij de wedstrijd gewonnen en stopt het spel.
	•	een M open krast, gaat de beurt naar zijn tegenstander.

Het aantal hokjes dat in een wedstrijd wordt open gekrast, is de lengte van een wedstrijd.

4p	14.	Wat zijn de kleinste en de grootste lengte die een wedstrijd kan hebben? Licht je antwoorden toe.

4p	15.	Bereken de kans dat een wedstrijd lengte 4 heeft.

Ruud en Patrick spelen het krasbalspel vaak. Het valt Patrick op dat, als Ruud mag beginnen, hij bijna altijd een P open krast. Het lijkt wel alsof Ruud kan zien wat er in een vakje staat! Patrick gaat in de komende tien spellen die Ruud mag beginnen, bijhouden hoe vaak het eerste vakje dat Ruud open krast een P is. Als dit er acht of meer zijn, zal hij Ruud van vals spel beschuldigen.

4p	16.	Bereken de kans dat hij Ruud ten onrechte van vals spel zal beschuldigen.

De functie f(x) = e^x

Op de grafiek van de functie f(x) = e^x liggen de punten A en B met x-coördinaten a en a + 1. Zie de figuur hiernaast. Het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van f, de horizontale lijn door B en de verticale lijn door A is in deze figuur grijs aangegeven.

4p	17.	Bereken exact de waarde van a waarvoor de oppervlakte van dit gebied gelijk is aan 3.

Als a toeneemt, neemt de richtingscoëfficiënt van de lijn AB ook toe.

4p	18.	Bereken voor welke waarden van a de richtingscoëfficiënt van AB kleiner is dan 1. Rond in je antwoord de grenswaarde af op twee decimalen.

In de volgende vragen is a = 1, dus A is het punt (1, e) en B is het punt (2, e²).

4p	19.	Bereken de lengte van de grafiek van f tussen A en B.

P en Q zijn de loodrechte projecties van A op de x-as en de y-as. De rechthoek OPAQ wordt door de grafiek van f verdeeld in twee stukken. Zie de figuur hiernaast. Beide stukken wentelen we om de x-as.

5p	20.	Toon aan dat de twee omwentelingslichamen niet dezelfde inhoud hebben

OPLOSSINGEN

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Uit de figuur volgt sinα = ^overstaand/_schuin = ^x/_r Invullen, samen met c = 650, levert V = 650 • ¹/_r • ^x/_r = ^650x/_r2 .....(1) Pythagoras levert x² + 3² = r² ofwel r² = x² + 9 De r² in formule (1) hierdoor vervangen geeft het gevraagde resultaat.

2.	⇒ 900 + 100x² = 650x ⇒ 100x² - 650x + 900 = 0 Het kan nu met de ABC-formule (a = 100, b = -650, c = 900) of zó: x² - 6,5x + 9 = 0 ⇒ (x - 4,5) • (x - 2) = 0 ⇒ x = 4,5 of x = 2 Voor de hoogte van de balk moet dus gelden 2 ≤ x ≤ 4,5

3.	Als V maximaal is moet gelden V'= 0. Met de productregel: Dat is nul als de teller nul is: 650 • (9 + x²) - 650x • 2x = 0 ⇒ 5850 + 650x² - 1300x² = 0 ⇒ 5850 - 650x² = 0 ⇒ 650x² = 5850 ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3 (of x = -3 maar dat is gezien de context onmogelijk). Conclusie: de hoogte x = 3 m

4.	= (4 - 8 - 8 + ¹⁶/₃) - (0) = 1¹/₃

5.	S_n is het snijpunt van y = n(2x- x² ) met y = x Dus geldt n(2x - x² ) = x Als x = 1,99 wordt dat n(2 • 1,99 - 1,99² ) = 1,99 ofwel n • 0,0199 = 1,99 ofwel n = 100 x > 100 voor n > 100


6.	Omdat een parabool symmetrisch is, geldt voor de top x = 1 De y van de top is dan n(2 • 1 - 1²) = n dus de top is het punt T_n = (1, n) De afgeleide van y = n(2x- x²) is y' = n(2 - 2x) In de oorsprong is dat y'(0) = n(2 - 2 • 0) = 2n De raaklijn in de oorsprong is dan de lijn y = 2nx (b van de lijn is nul want hij gaat immers door de oorsprong) Snijden met de lijn x = 1 geeft y = 2n • 1 = 2n Dus R_n is het punt (1, 2n) en ligt inderdaad dubbel zo hoog als T_n (1, n)

7.	De kans voor één van beide lampen is normalcdf(0, 2100, 2500, 450) = 0,187 Voor beide lampen is de kans dan 0,187 • 0,187 = 0,035

8.	Als het verschil in levensduur kleiner is dan 20, dan is -20 ≤ V ≤ 20 De kans daarop is normalcdf(-20, 20, 0, 450√2) = 0,025

9.	Met een geo-driehoek is te meten dat α » 30º 2π = 360º dus 30º = ¹/₆π. Invullen in de formule geeft y ≈ 36

10.	Daaruit volgt α = α + ¹/₄π of α = π - (α + ¹/₄π) (we vergeten de periode modulo 2π voor het gemak) Dus 0 = ¹/₄π of 2α = ³/₄π De laatste geeft α = ³/₈π.

11.	Met de quotiëntregel: De teller lijkt eigenlijk best veel op de formule sin(t - u) = sint cosu - cost sinu van de formulekaart als je maar neemt t = α + ¹/₄π en u = α. Dan is t - u = α + ¹/₄π - α = ¹/4π Vervang de teller daardoor en de gevraagde formule staat er al!

12.	Voer de formule voor ^d^y/_d_α in de GR in bij Y1, en gebruik calc - minimum om het minimum te vinden. Neem bijv. Xmin = 0 Xmax = 3 Ymin = 0 Ymax = 100 Dat geeft α ≈ 0,79 radialen

13.	Voor de speelvelden moet je er 4 van de 8 kiezen, dus dat kan op 8 nCr 4 manieren Voor de scoringsvelden moet je er 2 van de 4 kiezen en dat kan op 4 nCr 2 manieren. Het totaal aantal manieren is dan (8 nCr 4) • (4 nCr 2) = 70 • 6 = 420

14.	De kortste wedstrijd is PD en die heeft lengte 2. De langste wedstrijd is bijvoorbeeld VVVVPMPMPD en die heeft lengte 10.

15.	De wedstrijden met lengte 4 zijn VVPD en PMPD De kans op VVPD is ⁴/₈ • ³/₇ • ⁴/₆ • ²/₄ = ¹/₁₄ De kans op PMPD is ⁴/₈ • ²/₄ • ³/₇ • ²/₃ = ¹/₁₄ Samen is dat ²/₁₄

16.	Als Ruud eerlijk speelt heeft hij elke keer kans 0,5 dat hij als eerste vakje een P open krast. Het aantal keren dat dat gebeurt is dan binomiaal verdeeld met n = 10 en p = 0,5 Het gaat om P(X ³ 8) want dan wordt Ruud beschuldigd (minstens 8 keer) terwijl hij wel eerlijk speelt (p = 0,5). P(X ≥ 8) = 1 - P(X ≤ 7) = 1 - binomcdf(10, 0.5, 7) = 0,055

17.	De horizontale lijn door B heeft vergelijking y = e^a^{+ 1} Oppervlakte: = (a + 1)•e^a^{+ 1} - e^a^{+ 1} - (a • e^{a + 1} - e^a) = a • e^a^{+ 1} + e^a^{+ 1} - e^a^{+ 1} - a • e^a^{+ 1} + e^a= e^a e^a = 3 geeft a = ln3


18.	Voor de richtingscoëfficiënt van AB geldt: e^a^{+ 1} - e^a = 1 ⇒ e^a • e - e^a = 1 ⇒ e^a •(e - 1) = 1 ⇒ e^a = ¹/_(e_{- 1)} ⇒ a = ln(¹/_{(e - 1)}) ≈ -0,54 De r.c. is kleiner dan 1 als a < -0,54


19.	Gebruik de GR: Y1 = √*(1 + (e^x)² ) en dan calc - 7 geeft lengte L* ≈ 4,79


20.	Lijnstuk AQ wentelen om de x-as geeft een cilinder met hoogte 1 en straal grondvlak e De inhoud daarvan is π • e² • 1 = πe² De grafiek van f wentelen om de x-as geeft inhoud: Dit laatste is ongeveer 10, en dat is niet de helft van het eerste (ongeveer 23) (Het scheelt om precies te zijn 0,5π)

Twee Koplampen

De levensduur van een halogeenkoplamp van een auto is normaal verdeeld met een gemiddelde van 2500 branduren en een standaardafwijking van 450 uur. Neem aan dat de levensduur van een linker koplamp van een auto en de levensduur van een rechter koplamp onafhankelijk van elkaar zijn.

3p	7.	Bereken de kans dat zowel de linker als de rechter koplamp binnen 2100 branduren kapot gaat.

De levensduur van de rechter koplamp noemen we R en die van de linker koplamp L. Om R en L met elkaar te vergelijken gebruiken we de toevalsvariabele V, gedefinieerd door V = R - L. Als bijvoorbeeld V = -100, dan brandt de linker koplamp 100 uur langer dan de rechter koplamp. V is ook normaal verdeeld met gemiddeld 0 uur en standaardafwijking 450√2 uur.

4p	8.	Bereken de kans dat het verschil in levensduur van de beide koplampen kleiner is dan 20 uur.

VWO WB1, 2007 - I