Nieuwe pagina 1

Schaakprogramma's.

Het schaakspel is een eeuwenoud bordspel waarbij twee spelers om en om een schaakstuk mogen verzetten. Hierbij heeft de ene speler witte schaakstukken en de andere zwarte schaakstukken. De speler met de witte stukken begint. De spelregels van het schaakspel zijn relatief eenvoudig. Toch lukt het al eeuwen niet om een winnende strategie te vinden. In deze opgave laten we de spelregels verder buiten beschouwing.

De opeenvolging van zetten tijdens een schaakspel noemen we het spelverloop. Een belangrijke oorzaak waardoor een winnende strategie nog niet is gevonden, is het grote aantal verschillende spelverlopen dat voor kan komen. De Amerikaanse wiskundige Claude Shannon beschreef dit in 1950 als eerste in zijn publicatie 'Programming a Computer for Playing Chess'.

In zijn publicatie deed Shannon een ruwe schatting van het aantal mogelijke spelverlopen met 10 zetten. Bij deze schatting nam hij aan dat iedere keer dat een speler een schaakstuk verzet er 30 mogelijke spelverlopen ontstaan. De schatting van Shannon bleek veel te hoog. Als bijvoorbeeld wit en zwart beide 5 keer een schaakstuk verzetten, zijn er in werkelijkheid 6,93 ´ 10¹³ verschillende spelverlopen mogelijk met deze 10 zetten.

2p.

Onderzoek hoeveel keer zo groot de schatting voor het aantal mogelijke spelverlopen met 10 zetten is als het werkelijke aantal spelverlopen. Geef je antwoord in één decimaal.

Al jaren wordt er ook tegen schaakprogramma’s geschaakt. Maar zelfs een schaakprogramma kan niet alle mogelijke spelverlopen tot aan het eind van het spel doorrekenen. Daarom rekenen schaakprogramma’s een aantal zetten vooruit en beslissen op basis daarvan steeds wat de beste zet is.

Hoe goed een schaakprogramma is in het berekenen van de beste zetten en hoeveel zetten het vooruit kan rekenen bepaalt de speelsterkte van het schaakprogramma. De speelsterkte wordt uitgedrukt in een geheel getal. In de periode 1985-1995 nam de speelsterkte van het sterkste schaakprogramma lineair toe. Zie de volgende figuur.

Het bedrijf IBM haalde in 1996 het nieuws met het inmiddels legendarische schaakprogramma Deep Blue. Dit schaakprogramma had in dat jaar een speelsterkte van 2853 en had daarmee volgens kenners jaren voorsprong op andere schaakprogramma’s.

4p.

Bereken met behulp van de figuur in welk jaar een speelsterkte van 2853 verwacht had kunnen worden als de genoemde lineaire groei zich ook na 1995 voortzette.

Een ander bekend schaakprogramma is Stockfish. Dit had op 1 januari 2009 een speelsterkte van 3097. Door constante verbeteringen aan Stockfish nam de speelsterkte daarna (bij benadering) lineair toe met 39 per jaar.

Begin 2010 kwam de Vlaamse programmeur Robert Houdart met het schaakprogramma Houdini. Dit was op dat moment het sterkste schaakprogramma ter wereld. Houdart bleef in de jaren erna verbeteringen aan zijn schaakprogramma aanbrengen, waardoor de speelsterkte in de eerste jaren toenam volgens de formule:

R_H = 82,1 · log(t + 1) + 3190

Hierin is R_H de speelsterkte van Houdini en t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2010
De speelsterkte van Houdini nam in de jaren na 2010 langzamer toe dan die van Stockfish. Daardoor was Stockfish na enkele jaren weer het betere schaakprogramma.

4p.

Bereken hoelang na het uitkomen van Houdini de speelsterkte van Stockfish weer gelijk was aan die van Houdini. Geef je antwoord in gehele maanden.

Door een slimme nieuwe techniek slaagde Houdart erin de speelsterkte van zijn schaakprogramma enorm te verbeteren. Hierdoor was op 1 januari 2016 de speelsterkte van Houdini 121 punten hoger dan op basis van de formule voor R_H verwacht mocht worden. Daarna nam de speelsterkte weer veel langzamer toe tot 3433 op 1 januari 2019. Deze ontwikkeling is schematisch weergegeven in onderstaande figuur.

Met behulp van bovenstaande gegevens kan voor het deel van de grafiek vanaf 2016 een formule worden opgesteld van de vorm R = a · log(t + 1) + c

met t de tijd in jaren met t = 0 op 1 januari 2016.

4p.

Stel deze formule op. Geef a in één decimaal en c als een geheel getal.

De Vergeetcurve.

De Duitse psycholoog Hermann Ebbinghaus deed eind 19^e eeuw veel onderzoek naar het geheugen. Hij ontdekte dat mensen nieuwe informatie goed kunnen onthouden, maar dat ze informatie ook weer snel vergeten als ze er verder niets meer mee doen. Zijn onderzoek resulteerde in de zogeheten vergeetcurve van Ebbinghaus. In de figuur is de vergeetcurve weergegeven.



In de figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat 1 uur na het leren van nieuwe informatie nog maar 44% van die nieuw geleerde informatie onthouden is. De horizontale as heeft een bijzondere schaalverdeling: een ‘hokje’ stelt niet steeds evenveel tijd voor. Hierdoor suggereert de grafiek in de figuur dat er bij benadering sprake zou zijn van exponentiële afname van het percentage informatie dat onthouden is. Op internet circuleren dan ook artikelen die beweren dat de vergeetcurve volgens een exponentiële afname verloopt. Dit is echter niet waar.

2p.	5.	Toon met behulp van een berekening aan dat er volgens de gegevens in de figuur geen sprake kan zijn van exponentiële afname.

Tegenwoordig wordt ook wel gebruikgemaakt van de formule:



Hierin is P het percentage informatie dat onthouden is en t het aantal dagen dat verstreken is sinds het leren van de informatie.

4p.	6.	Bereken met behulp van de formule voor P na hoeveel gehele minuten iemand de helft van de nieuw geleerde informatie weer is vergeten.

Volgens de formule voor P is de snelheid waarmee je informatie vergeet op het moment dat er een uur verstreken is, vele malen groter dan op het moment dat er een week verstreken is.

4p.	7.	Bereken met behulp van de formule van de afgeleide van P hoeveel keer zo groot. Geef je antwoord in gehelen.

Hitte- eiland

Gebouwen, huizen, wegen en stenen houden veel warmte vast waardoor het in steden, vooral in warme perioden, warmer wordt dan in de nabije omgeving. Een stad waar de temperatuur hoger is dan de temperatuur in de nabije omgeving van die stad wordt een hitte-eiland genoemd. Dat er verschil in temperatuur ontstaat, wordt het stedelijk hitte-eiland effect genoemd. Algemeen geldt: hoe groter een stad, hoe groter het temperatuurverschil als gevolg van het stedelijk hitte-eiland effect. Hierbij wordt het inwonersaantal van een stad als maat voor de grootte van een stad gebruikt. In onderstaande figuur is op een kaart het stedelijk hitte-eiland effect in een deel van Nederland weergegeven. De lichte vlekken op kaart die door het RIVM is uitgegeven, geven de hitte-eilanden weer.



In het voorjaar van 2013 werd in het Duitse tijdschrift Meteorologische Zeitschrift een onderzoek naar hitte-eilanden in Europa gepubliceerd. Volgens dit onderzoek geldt voor Europese steden:
V_max = 2,01 · log(P) - 4,06 (formule 1)

Hierin is P het inwonersaantal van de stad en V_max het grootst mogelijke verschil tussen de temperatuur van een hitte-eiland en de (lagere) temperatuur in de nabije omgeving van dat hitte-eiland in graden Celsius. Tijdens een hittegolf in de zomer van 2019 meldden diverse media dat het in sommige steden in Nederland ‘wel 13 graden Celsius warmer’ zou kunnen worden dan in hun nabije omgeving.

3p.	8.	Bereken hoeveel inwoners een stad volgens formule 1 zou moeten hebben om een temperatuurverschil van 13 graden Celsius mogelijk te maken en leg daarmee uit waarom zo’n groot verschil in Nederland niet reëel is.

Het inwonersaantal is niet de enige factor die meespeelt bij het stedelijk hitte-eiland effect. Twee andere belangrijke factoren zijn de bewolking en de wind. Door deze factoren zal het werkelijke verschil tussen de temperatuur van een hitte-eiland en de temperatuur in de nabije omgeving meestal kleiner zijn dan V_max. Er geldt:

V = V_max · C · W (formule 2)

Hierin is V het verschil tussen de temperatuur van een hitte-eiland en de temperatuur in de nabije omgeving van dat hitte-eiland in graden Celsius, C de bewolkingsfactor en W de windfactor.

In de figuur hiernaast is geschetst hoe de mate van bewolking N en de bewolkingsfactor C samenhangen. Hierbij betekent N = 0 dat het onbewolkt is en N = 8 dat er sprake is van volledige bewolking. We bekijken de situatie dat op een dag de mate van bewolking toeneemt en de windfactor constant blijft. Als dan de temperatuur in de nabije omgeving constant blijft, daalt de temperatuur in de stad.
3p.	9.	Beredeneer met behulp van deze figuur en formule 2 dat dit juist is.

Hoe harder het waait, hoe kleiner het temperatuurverschil als gevolg van het stedelijk hitte-eiland effect. Hierbij heeft wind in kleine steden een grotere remmende werking op het temperatuurverschil als gevolg van het stedelijk hitte-eiland effect dan in grote steden. De onderzoekers spreken daarom over de windlimiet. Dat is de maximale windsnelheid waarbij er nog sprake is van het stedelijk hitte-eiland effect. Volgens de onderzoekers geldt:

L = (0,567 · log(P) - 0,5213)² (formule 3)

Hierin is P het inwonersaantal van de stad en L de windlimiet in m/s. Berlijn is de grootste stad van Duitsland. In 2018 had Berlijn 3600000 inwoners. Hamburg, de tweede stad van Duitsland, had toen 1830700 inwoners. De windlimiet voor Berlijn was toen groter dan de windlimiet voor Hamburg.

3p.	10.	Bereken hoeveel procent groter. Geef je antwoord in één decimaal.

Voor de in de figuur weergegeven samenhang tussen de mate van bewolking N en de bewolkingsfactor C geldt de formule:

C = 0,65 + 0,35 · sin (¹/₈p(N + 4)) (formule 4)

Voor de windfactor W stelden de onderzoekers de volgende formule op:

W = 0,5 + 0,5 · sin(p(¹/_L·v + 0,5)) (formule 5)

Hierin is v de windsnelheid in m/s en L weer de windlimiet in m/s. De warmste dag in de zomer van 2019 was 24 juli. In de nabije omgeving van Eindhoven was het die dag 36,4 graden Celsius bij een windsnelheid van 3 m/s en een mate van bewolking van 3. Eindhoven had toen 230000 inwoners.

5p.	11.	Bereken met behulp van de vijf gegeven formules de maximum temperatuur in Eindhoven op 24 juli 2019. Geef je antwoord in één decimaal.

Rubik's Race

De Rubiks kubus is een puzzel in de vorm van een kubus die zelf weer kubusvormige blokjes bevat. De meest bekende Rubiks kubus is de kubus die je ziet op de foto hiernaast. Er bestaan ook andere Rubiks kubussen. Zie onderstaande foto.



In deze opgave wordt het getal n gebruikt voor het kubusnummer. Op de tweede foto zie je kubusnummers 2, 4 en 5. Het aantal blokjes A van kubusnummer n kan worden berekend met een formule van de vorm:

A(n) = p · (n - 1)² + q (formule 1)

Alleen aan de buitenkant van een Rubiks kubus zitten blokjes. Zo bevat de kleinste Rubiks kubus met kubusnummer 2 (zie foto), 8 blokjes en de kubus met kubusnummer 3 bevat 26 blokjes (zie bovenste foto).

3p.	12.	Bepaal met behulp van bovenstaande gegevens de waarden van p en q. Licht je antwoord toe.

De formule voor A(n ) kan ook geschreven worden in de vorm:

A(n) = 6n² - 12n + 8 (formule 2)

3p.	13.	Bereken vanaf welke n een kubus meer dan 250 blokjes bevat.

Rubik’s Race is een spel voor twee spelers dat is geïnspireerd op de Rubiks kubus. Het spel bevat tegels in zes verschillende kleuren. Elke speler heeft vier tegels van elke kleur en een speelveld met vijfentwintig vakjes. De speelvelden van de spelers zitten aan elkaar vast en kunnen daarom niet gedraaid worden. Zie onderstaande foto.



Aan het begin van het spel plaatst elke speler zijn vierentwintig tegels op het eigen speelveld. Eén van de vijfentwintig vakjes blijft dus leeg. Het maakt niet uit welk vakje dat is. Zo ontstaat bij elke speler een kleurenpatroon met één leeg vakje. Zie de foto hierboven.

4p.	14.	Bereken hoeveel verschillende kleurenpatronen er voor een speler mogelijk zijn. Geef je antwoord in de vorm a ·10¹⁶ met a in twee decimalen.

De spelers verschuiven vervolgens tijdens het spel met behulp van het lege vakje hun tegels, totdat er in het midden een gegeven kleurenpatroon ontstaat. Degene die dit het snelst doet, is de winnaar. Op de foto hieronder zie je een kleurenpatroon en daarboven de speelvelden met in het midden precies hetzelfde kleurenpatroon.


Elke speler heeft tegels in zes verschillende kleuren. Van elke kleur heeft hij vier tegels. De spelers maken daarmee een kleurenpatroon van negen tegels, zoals op de foto te zien is. In totaal zijn er met zes kleuren 6 verschillende kleurenpatronen van 9 tegels mogelijk. Er is bekend dat 68676 van deze kleurenpatronen zes of meer tegels van dezelfde kleur bevatten. In het kleurenpatroon dat de speler kan maken, zitten echter nooit meer dan vier tegels van dezelfde kleur.

5p.	15.	Bereken hoeveel procent van alle mogelijke kleurenpatronen van 9 tegels een speler kan maken. Geef je antwoord in één decimaal.

Warmtepompen.

In 2019 werd een deel van de aardgasvrije woningen in Nederland verwarmd met behulp van een warmtepomp. Een warmtepomp is een duurzaam alternatief voor een cv-ketel op gas. Warmtepompen zijn met een grote opmars bezig. Zie de figuur hiernaast.
Eind 1994 waren er 1700 warmtepompen geïnstalleerd in Nederlandse woningen. Dit aantal nam bij benadering exponentieel toe tot 412000 geïnstalleerde warmtepompen eind 2019.

3p.	16.	Bereken met behulp van deze gegevens met hoeveel procent per jaar het aantal geïnstalleerde warmtepompen in de periode 1994-2019 toenam. Geef je antwoord in één decimaal.

De grafiek in de figuur kan worden benaderd met de formule:

W = 1700 · e^0,22t

Hierin is W het totaal aantal geïnstalleerde warmtepompen en t de tijd in gehele jaren met t = 0 aan het eind van 1994. Veronderstel dat de formule voor W ook na 2019 geldt.

4p.	17.	Bereken in welk jaar de jaarlijkse toename aan geïnstalleerde warmtepompen voor het eerst groter is dan 200000.

In het vervolg van de opgave bekijken we warmtepompen die aan een buitenmuur gemonteerd worden. Zie de figuur hiernaast.
Een nadeel van warmtepompen is het geluid dat ze maken. Voor warmtepompen die gemonteerd zijn zoals in de situatie in deze figuur, kan het geluidsniveau op een bepaalde afstand van de warmtepomp worden benaderd met de formule:

L = L_max - 10 · log(pr²) met r > 0,8

Hierin is L het geluidsniveau in dB (decibel) van de warmtepomp dat op r meter afstand van de warmtepomp wordt waargenomen en L_max is het maximale geluidsniveau van de warmtepomp in dB. Vanwege mogelijke geluidsoverlast is wettelijk vastgelegd dat het geluidsniveau van een warmtepomp tussen 19:00 uur en 7:00 uur hoogstens 40 decibel mag bedragen op de dichtstbijzijnde grens met de buren. Peter wil een warmtepomp aan een buitenmuur monteren in een situatie zoals in de figuur, waarbij hij aan de wettelijke eis wil voldoen. Het maximale geluidsniveau van de warmtepomp is 53 dB.

3p.	18.	Bereken in gehele decimeters de minimale afstand tussen de warmtepomp en de dichtstbijzijnde grens met de buren waarbij aan de wettelijke eis wordt voldaan.

Als je bij een warmtepomp vandaan loopt, neemt het geluidsniveau in het begin relatief sterk af, maar vervolgens steeds minder. Een daling van het geluidsniveau met minder dan 1 dB per meter kan het menselijk oor niet waarnemen.

5p.	19.	Bereken met behulp van de formule van de afgeleide van L vanaf welke afstand, het menselijk oor de daling van het geluidsniveau niet meer kan waarnemen. Geef je antwoord in meters in één decimaal.

Inkomsten uit apps

Al jaren groeit het gebruik van smartphones. Tegelijkertijd wordt er door bedrijven die apps voor smartphones ontwikkelen meer en meer verdiend aan de verkoop van die apps. Toen de smartphone net in opmars was, werd er voornamelijk verdiend aan spelletjes voor op je smartphone. Newzoo, een bedrijf dat de spelletjesmarkt analyseert, voorspelde in 2017 in hun "Global Mobile Market Report" dat de inkomsten uit overige apps, dat zijn apps die geen spelletjes zijn, flink zouden gaan toenemen. Zie de figuur.



In het jaar 2017 waren de totale wereldwijde inkomsten uit de verkoop van alle apps – dus van spelletjes en overige apps samen – gelijk aan 56,4 miljard dollar. Hiervan was 10,3 miljard dollar uit overige apps. Newzoo voorspelde dat de totale inkomsten zouden toenemen tot 85 miljard dollar in het jaar 2020, waarvan 20 miljard dollar uit overige apps. Newzoo gebruikte twee lineaire modellen voor deze voorspellingen. Newzoo ging er namelijk vanuit dat de totale inkomsten lineair zouden toenemen, maar ook dat het percentage inkomsten uit overige apps ten opzichte van de totale inkomsten lineair zou toenemen. Veronderstel dat de modellen van Newzoo ook na 2020 zijn blijven gelden. In 2020 waren de inkomsten uit de verkoop van spelletjes gelijk aan 65 miljard dollar en uit de verkoop van overige apps 20 miljard dollar.

7p.	20.	Onderzoek vanaf welk jaar de inkomsten uit de verkoop van overige apps minstens 65 miljard dollar zullen zijn.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	Als er elke keer 30 mogelijkheden zijn dan zijn er in 10 keer 30¹⁰ = 5,9046 · 10¹⁴ mogelijkheden. Dat is (5,9046 · 10¹⁴) / (6,93 · 10¹³ ) = 8,5 keer zo groot

2.	aflezen bijv: (1989, 2150) en (1995, 2390) Dat is een toename van 240 in 6 jaar Per jaar is dat een toename van 40 Vanaf 1995 moet het nog 2853 - 2390 = 463 groeien Dat duurt dan ⁴⁶³/₄₀ = 11,575 jaar Dus dat is in 2006

3.	In 2010 had Stockfish speelsterkte 3097 + 39 = 3136 Vanaf dan geldt R_S = 3136 + 39t Y1 = 3136 + 39X Y2 = 92,1 · log(X + 1) + 3190 Intersect geeft X = t = 2,7365... jaar Dat is na 33 maanden.

4.	1 januari 2016 is t = 6 en dan is R_H = 3267,83.... Dan is R_S = 3267,83 + 121 = 3388,83... R_S = 3433 bij t = 9 Beide waarden invullen: 3433 = a · log(4) + c 3388,83 = a · log(1) + c De onderste geeft c = 3389 Invullen in de bovenste geeft 3433 = a · log(4) + 3389 en dan is a = 73,1

5.	Na 20 minuten is de groeifactor 0,58 geweest en dat komt overeen met een groeifactor van 0,58³ = 0,195 per uur. Na 1 uur is de groeifactor 0,44 geweest Dat is niet gelijk, dus de afname is niet exponentieel.

6.	Als iemand de helft is vergeten is P = 50 50 = 31,7/(t^0,127) t^0,127 = ^31,7/₅₀ = 0,634 t = 0,634^1/0,127 = 0,0276... dagen Dat is 0,0276 · 24 · 60 = 40 minuten (Je kunt de vergelijking ook met de GR oplossen).

7.	P = 31,7 · t^-0,127 P ' = -0,127 · 31,7 · t^-1,127 na een uur: P'(¹/₂₄) = -144,6... na een week: P '(7) = -0,4491... Dat is ^144,6/_0,4491 = 322 keer zo groot

8.	13 = 2,01 · log(P) - 4,06 17,06 = 2,01 · log(P) log(P) = 8,48... P = 10^8,48... = 307299737 Zo'n grote stad is er niet in Nederland (Je kunt de vergelijking ook met de GR oplossen).

9.	De grafiek is dalend, dus als N toeneemt dan neemt C af. W en V_max zijn constant dus als in de formule C afneemt dan neemt V ook af. Als V afneemt dan wordt het verschil met de omgevingstemperatuur kleiner, dus daalt de temperatuur in de stad.

10.	Berlijn: L = (0,567 · log(3600000) - 0,513)² = 10,26... Hamburg: L = (0,567 · log(1830700) - 0,513)² = 9,22... Dat scheelt 1,04... Dat is ^1,04.../_9,22... = 11,3%

11.	V_max = 2,01 · log(230000) - 4,06 = 6,71... L = (0,567 · log(230000) - 0,513)² = 6,38... W = 0,5 + 0,5 · sin(p(¹/_6,38 · 3 + 0,5)) = 0,547... C = 0,65 + 0,35 · sin(¹/₈p(3 + 4)) = 0,783... V = 6,71 · 0,783 · 0,547 = 39,28... Dus maximaal 39,3 graden.

12.	n = 2, A = 8 geeft 8 = p(2 - 1)² + q ofwel 8 = p + q n = 3, A = 26 geeft 26 = p(3 - 1)² + q ofwel 26 = 4p + q De eerste geeft q = 8 - p en dat kun je invullen in de tweede: 26 = 4p + 8 - p 18 = 3p p = 6 en dan is q = 8 - 6 = 2

13.	250 = 6n² - 12n + 8 Het mag met de GR, maar het kan ook met de ABC-formule: 6n² - 12n - 242 = 0 n = ^{(12 ±} ^{Ö(144 + 5808))}/₁₂ n = 7,43 (of n = -5,42 maar dat kan niet) Dus vanaf n = 8

14.	lege vakje: 25 mogelijkheden. eerste kleur: kies er 4 van de 24: 24 nCr 4 = 10626 mogelijkheden tweede kleur: kies er 4 van de 20: 20 nCr 4 = 4845 mogelijkheden derde kleur: 16 nCr 4 = 1820 mogelijkheden vierde kleur: 12 nCr 4 = 495 mogelijkheden vijfde kleur: 8 nCr 4 = 70 mogelijkheden zesde kleur: 1 mogelijkheid. In totaal 25 · 10626 · 4845 · 1820 · 495 · 70 = 8,12 · 10¹⁶

15.	In totaal 6⁹ = 10077696 patronen De speler kan die van 5 en van 6 of meer niet maken. Van 6 of meer zijn er 68676 patronen Van 5: kies de kleur: 6 mogelijkheden kies welke 5 vakjes: 9 nCr 5 = 126 mogelijkheden kies de kleur van de andere 4 vakjes: 5⁴ = 625 mogelijkheden In totaal 6 · 126 · 625 = 472500 patronen In totaal kan de speler dus 472500 + 68676 = 541176 patronen niet maken. Dat is ⁵⁴¹¹⁷⁶/_10077696 · 100 = 5,4% De speler kan dus 100 - 5,4 = 94,6% wel maken.

16.	De groeifactor in 25 jaar is ⁴¹²⁰⁰⁰/₁₇₀₀ = 242,35.... Dat is per jaar (242,25...)^1/25 = 1,2455... Dat is 24,6% per jaar.

17.	Als de toename in jaar x voor het eerst groter is dan 200000 dan moet gelden W(x) - W(x - 1) > 200000 Y1 = 1700 · e^0,22X - 1700 · e^0,322(X^- ¹⁾ Y2 = 200000 intersect geeft X = 29,04455... Dat is dus in 2024.

18.	40 = 53 - 10 · log(pr²) -13 = -10 · log(pr²) 1,3 = log(pr²) pr² = 10^1,3 = 19,95.... r² = 6,35... r = Ö6,35... = 2,52...meter Dat is minimaal 26 dm. (Je kunt de vergelijking ook met de GR oplossen).

19.	De afgeleide van log(x) = ¹/_(xln(10)) L ' = -10 · ¹/_p_r2_ln(10) · 2pr waarbij die laatste 2pr komt van de kettingregel. -1 = -10 · ¹/_p_r2_ln(10) · 2pr -1 = -²⁰/_rln(10) rln(10) = 20 r = ²⁰/_ln(10) = 8,68.... Dat is 8,7 meter. (Je kunt de vergelijking ook met de GR oplossen).

20.	De totale inkomsten gaan in 3 jaar van 56,4 naar 85,0 miljard Dat is een toename van ^85,0/₃ = 9,533... miljard per jaar. T = 56,4 + 9,533t (met t de tijd in jaren en t = 0 in 2017) Het percentage uit overige apps was in 2017 gelijk aan ^10,3/_56,4 · 100 = 18,26... Het percentage uit overige apps was in 2020 gelijk aan ^20,0/_85,0 · 100 = 23,52... Dat is een toename van 23,52 - 18,26 = 5,26... en dat is per jaar ^5,26.../₃ = 1,75... P = 18,26 + 1,75t (met t de tijd in jaren en t = 0 in 2017) De inkomsten uit de overige apps zijn dan ^{(18,26 + 1,75t)}/₁₀₀ · (56,4 + 9,533t ) Dat moet gelijk zijn aan 65 Y1 = ^{(18,26 + 1,75t)}/₁₀₀ · (56,4 + 9,533t ) Y2 = 65 intersect geeft t = 11,6... Dat is vanaf 2029

VWO WA, 2026 - I