VWO WA, 2023 - II

 

Herbouwkosten in Amsterdam
       
De herbouwkosten zijn de kosten waarvoor een woning na afbraak opnieuw gebouwd kan worden. De herbouwkosten zijn voornamelijk afhankelijk van het vloeroppervlak, dat is het totale oppervlak van alle verdiepingen met een stahoogte van ten minste 1,5 meter.

De gemeente Amsterdam gebruikt voor verschillende woningtypen verschillende rekenmodellen om de herbouwkosten te berekenen (In deze opgave wordt uitgegaan van de regels die in 2017 in Amsterdam golden.).

twee-onder-een-kapwoningen
Voor twee-onder-een-kapwoningen hanteert Amsterdam het volgende lineaire model:

Htwee = -5,63V + 2366,67   met   30 ≤ V  ≤ 250

Hierin zijn Htwee de herbouwkosten voor een twee-onder-een-kapwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning in m2.
       
2p. 1. Toon aan dat de herbouwkosten van een twee-onder-een-kap-woning met een vloeroppervlak van 180 m2 (afgerond) 243 600 euro zijn
     

 
portiekflats
Voor portiekflats met 30 ≤  V  ≤ 180  wordt ook een lineair model voor de herbouwkosten per m2 vloeroppervlak ( (Hportiek) gehanteerd. Dit model is gebaseerd op de volgende gegevens:
       
 V (in m2) 50 90
Hportiek  (in euro's per m2) 2429 2080
       
5p. 2. Bereken met behulp van deze gegevens de maximale herbouwkosten voor een portiekflat met 30 ≤  V  ≤ 180. Geef je antwoord in honderden euro’s.
     

 
hoekwoningen
Voor hoekwoningen bestaan de herbouwkosten per m2 vloeroppervlak uit een vast bedrag van 1375 euro, met daarbovenop een variabel bedrag dat exponentieel afneemt naarmate het vloeroppervlak groter wordt. Zie de figuur.
       

       
De formule die wordt gebruikt is van de vorm    Hhoek = b · gV + 1375   met   30 ≤  V  ≤ 250.

Op de grafiek in de figuur liggen de punten (30, 3480) en (250, 1387).
       
4p. 3. Bereken de waarden van b en g die uit deze gegevens volgen. Geef de waarde van b in gehelen en de waarde van g in vier decimalen.
     

 
In de regelgeving hanteert men ook de volgende (nauwkeuriger) formule voor hoekwoningen:
       

Hhoek = e-0,02359V + 8,36 + 1375   met  30 ≤  V  ≤ 250.
       
Hierin zijn Hhoek de herbouwkosten voor een hoekwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V het vloeroppervlak van de woning in m2.

De herbouwkosten van een hoekwoning zijn soms lager dan die van een twee-onder-een-kapwoning met hetzelfde vloeroppervlak.
       
4p. 4. Bereken voor welke vloeroppervlakken in gehele m2 dit het geval is.
     

 
De formule Hhoek = e-0,02359V + 1375 is te herleiden tot de vorm  Hhoek = b · gV + 1375
       
3p. 5. Geef deze herleiding. Geef de waarde van b in gehelen en de waarde van g in vier decimalen.
     

 
tussenwoningen
De formule die men voor tussenwoningen gebruikt, is: 
 

Htussen = e-0,02398V + 8,144 + 1144   met  30 ≤  V  ≤ 250.
       
Hierin zijn Htussen de herbouwkosten voor een tussenwoning in euro’s per m2 vloeroppervlak en is V weer het vloeroppervlak van de woning in m2.

In elk model gaat men ervan uit dat de herbouwkosten per m2 afnemen naarmate het vloeroppervlak groter is. De mate waarin de herbouwkosten per m2 afnemen, verschilt per model.
       
4p. 6. Stel de afgeleiden van Hhoek en Htussen op en onderzoek met behulp van een schets van beide afgeleiden bij welke van deze twee woningtypen de mate van afname het grootst is. Licht je antwoord toe.
     

 
Groeimodellen.
       
In de 18e eeuw werd algemeen aangenomen dat de toename van een populatie dieren kan worden beschreven met behulp van een meetkundige rij. Een model uit die tijd is:
       

       
In dit model geldt:
- Pn is de populatiefractie na n jaar. Dat is de grootte van de populatie als deel van de maximale populatie. Pn is dus een getal tussen 0 en 1.
- c is de startpopulatiefractie. Ook dit getal wordt uitgedrukt als een deel van de maximale populatie
(en dus geldt 0 < c < 1).
- r is de reproductiefactor: een getal dat aangeeft hoe snel een populatie zich per jaar uitbreidt.
       
Neem aan dat in een bepaald bosrijk gebied een populatie van 165 vossen leeft. De reproductiefactor van de vossen in dit gebied is 1,28 en in het gebied is plaats voor maximaal 500 vossen.
       
3p. 7. Bereken met behulp van model 1 na hoeveel jaar dit maximale aantal bereikt zal zijn.
     

 
In model 1 wordt ervan uitgegaan dat een populatie altijd even snel groeit. Dit komt echter niet overeen met de werkelijkheid: als de populatie groeit wordt de ruimte per dier namelijk steeds kleiner, waardoor het moeilijker wordt om voedsel te vinden. Hierdoor zal een populatie steeds minder snel gaan groeien naarmate deze toeneemt.

Een verbeterde versie van model 1 is het logistische model:
       

       
De variabelen in dit model hebben dezelfde betekenis als in model 1.

De Oostvaardersplassen is een natuurgebied in de buurt van Lelystad. In 2020 leefden er in dit gebied een groot aantal edelherten. Door dit grote aantal konden andere diersoorten, voornamelijk vogels, zich niet meer goed ontwikkelen. Mede daarom wordt sinds 2021 de populatie door het afschieten van de dieren stabiel gehouden op 500 edelherten.

Neem aan dat er maximaal 2000 edelherten in de Oostvaardersplassen kunnen leven.
Er geldt vanaf 2021 dat r = 1,58 en c = 0,25 .
       
3p. 8. Bereken met behulp van model 2 hoeveel edelherten er in de periode 2021-2023 bij zouden komen als er geen dieren zouden worden afgeschoten.
     

 
In de rest van deze opgave gaan we bekijken hoe model 2 zich gedraagt bij verschillende waarden van r. Als je voor r een getal tussen de 0 en 1 invult, dan nadert Pn voor iedere startwaarde c (met 0 < c < 1) naar 0. Je kunt dat beredeneren met de formule voor Pn .
       
3p. 9. Geef een redenering waaruit blijkt dat wanneer r tussen de 0 en 1 is, Pn altijd naar 0 nadert.
     

 
Voor waarden van r groter dan 1 wordt het model erg onvoorspelbaar.
       

       
In de figuur is de grafiek getekend voor r = 3,15 en c = 0,25 . Er is te zien dat de waarde van Pn op den duur heen en weer gaat springen tussen twee vaste waarden.
       
3p. 10. Onderzoek tussen welke twee waarden Pn heen en weer gaat springen voor r = 3,15 en c = 0,25 . Geef deze waarden in twee decimalen.
     

 
       
Unieke woorden.
       
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend. Dat wil zeggen dat ze niet allemaal uniek zijn. Hoe meer unieke woorden je naar verhouding tegenkomt, hoe moeilijker de tekst is.

In deze opgave kijken we naar het percentage unieke woorden in een tekst. Dit percentage wordt bepaald aan de hand van twee grootheden:

U: het aantal unieke woorden in een stuk tekst;
T: het totaal aantal woorden in dat stuk tekst.

We bekijken de eerste twee zinnen van deze opgave:
       
Teksten bestaan uit woorden (en leestekens, maar die laten we in deze opgave buiten beschouwing). Deze woorden zijn niet allemaal verschillend.
       
2p. 11. Bepaal het percentage unieke woorden in de eerste twee zinnen van deze opgave samen. Geef je antwoord als geheel getal.
     

 
Van het boek On The Origin of Species van Charles Darwin is het verband tussen U en T bepaald.
Zie onderstaande figuur
       

       
In de figuur is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T.

On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen 8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen. In de figuur is op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. De gestippelde lijn geeft een benadering van het verband tussen U en T. On The Origin of Species bevat in totaal 191 740 woorden en er komen 8842 unieke woorden in voor. Naarmate je verder leest, kom je steeds minder nieuwe unieke woorden tegen. Als je een kwart van dit boek hebt gelezen, ben je al meer dan de helft van het totaal aantal unieke woorden tegengekomen.
       
5p. 12. Bereken met behulp van de gestippelde lijn in de figuur hoeveel procent van het totaal aantal unieke woorden je dan al bent tegengekomen. Geef je antwoord als geheel getal.
     

 
De taalkundige Gustav Herdan ontdekte een algemeen verband tussen U en T voor grotere teksten. Dit verband werd door Harold Stanley Heap bekendgemaakt en wordt de wet van Herdan-Heap genoemd.

De internationale nieuwsdienst Reuters heeft een database – de zogeheten RCV1 – beschikbaar gesteld ten behoeve van taalonderzoek. Onderzoekers hebben voor RCV1 het verband tussen U en T bepaald.
Zie onderstaande figuur, waarin log(U) tegen log(T)  is uitgezet.
       

       
De grafiek in deze figuur geeft het werkelijke verband tussen U en T in RCV1 en de gestippelde lijn geeft een benadering volgens de wet van Herdan-Heap. 

Iemand leest een tekst die bestaat uit de eerste 7432 woorden uit RCV1.
       
2p. 13. Ga met behulp van de figuur na of deze tekst voldoet aan de wet van Herdan-Heap.
     

 
Een formule voor de gestippelde lijn in de figuur is

log(U) = 0,49log(T) + 1,64
       
3p. 14. Benader met behulp van deze formule het aantal unieke woorden in de eerste 1 000 000 woorden in RCV1. Geef je antwoord in duizenden.
     

 
De formule   log(U) = 0,49log(T) + 1,64  kan worden herleid tot de vorm  U = c · Tn
Na afronding van c op gehelen geldt  U = 44 · T0,49
       
4p. 15. Geef deze herleiding en bepaal daarmee c in één decimaal.
     

 
Naarmate je vanaf het begin onafgebroken verder leest in RCV1, komen er steeds minder unieke woorden bij. Vanaf een bepaald totaal aantal woorden komt er (gemiddeld) minder dan één uniek woord per 50 woorden bij.
       
4p. 16. Onderzoek bij welk totaal aantal woorden dit het geval is. Geef je antwoord in duizenden.
     

 
London Eye.
       
De London Eye is een reuzenrad in Londen. Zie de foto.

Een toerist heeft een kaartje gekocht waarmee hij zelf een dagprogramma kan samenstellen. Zo’n dagprogramma bestaat uit een bezoek aan de London Eye en aan nog twee andere attracties. Die twee andere attracties mag hij kiezen uit vijf bekende attracties in Londen.

De toerist mag zelf bepalen in welke volgorde hij de drie attracties bezoekt.
     
3p. 17. Bereken hoeveel verschillende dagprogramma’s de toerist kan maken.
   

 

  
De London Eye heeft 32 gondels, waarin de bezoekers plaatsnemen. Eén rondgang van een gondel duurt precies 30 minuten. De grafiek in de figuur hoort bij de hoogte van een van de gondels.
       

       
Bij deze grafiek hoort de formule h(t) = 75 + 60sin(0,209t). Hierbij is h de hoogte van de gondel boven de grond in meters en t de tijd in minuten met t = 0 om 11.00 uur ’s ochtends. Deze grafiek hoort echter niet bij de gondel die zich om 11.00 uur bij het instapplatform in het laagste punt bevindt. De grafiek van de gondel die zich om 11.00 uur in het laagste punt bevindt, heeft een formule van de vorm h(t) = 75 + 60 sin(0,209(t - d)) .
       
2p. 18. Bereken een mogelijke waarde van d.
     

 
De gondels draaien met een dusdanig lage constante snelheid dat bij het in- en uitstappen het reuzenrad niet hoeft te worden stilgezet. Deze constante snelheid is even groot als de maximale snelheid waarmee h toeneemt of afneemt.
       
5p. 19. Bereken deze constante snelheid in km/uur. Geef je antwoord in twee decimalen.
     

 
Hoe hoger je in het reuzenrad komt, hoe verder je kunt kijken. Met de formule
       

       
waarbij a de maximale kijkafstand in meters is en h de hoogte boven de grond in meters, kun je benaderen hoe ver je kunt kijken vanaf een bepaalde hoogte boven de grond.

Windsor Castle ligt hemelsbreed 40 kilometer van de London Eye vandaan. Op een heldere dag kun je vanuit de London Eye Windsor Castle zien liggen.
       
5p. 20. Bereken hoelang je per rondgang vanuit de London Eye op een heldere dag Windsor Castle kunt zien. Geef je antwoord in gehele minuten.
     

 
NS-Flex
       
Voor reizigers met het openbaar vervoer verkoopt de NS de zogenaamde NS Flex-abonnementen. Je kunt dan voor elke maand opnieuw het abonnement kiezen waarmee je in die maand in totaal de laagste kosten hebt.
Drie van deze Flex-abonnementen zijn Dal Voordeel, Altijd Voordeel en Dal Vrij. In de tabel staan voor deze abonnementen de kosten per maand aangegeven en de kortingen die bij deze abonnementen gegeven worden. In deze opgave beperken we ons tot deze drie abonnementen.
       
Dal Voordeel Altijd Voordeel Dal Vrij
€5,- per maand €23,- per maand €105,- per maand
40% korting in het
weekend		 40% korting in het
weekend		 onbeperkt reizen in het
weekend
40% korting buiten de
spits		 40% korting buiten de
spits		 onbeperkt reizen buiten
de spits
geen korting in de spits 20% korting in de spits geen korting in de spits
       
Eefje woont in Enschede en werkt in Deventer. Ze reist altijd met de trein naar haar werk. Het aantal dagen dat ze per maand moet reizen is verschillend. Eefje wil een schema maken waaruit ze voor elk mogelijk aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor haar het voordeligst is. Voor het maken van dit schema moet rekening gehouden worden met de volgende gegevens:
- Eefjes werkdagen zijn van maandag tot en met donderdag.
- Eefjes heenreis is met de trein van 6.16 uur vanuit Enschede.
- Eefjes terugreis is met de trein van 17.30 uur vanuit Deventer.
- Eefje reist altijd 2e klas en via de goedkoopste route.
- Eefje reist alleen voor haar werk met de trein
- De spits is op werkdagen van 6.30 tot 9.00 uur en van 16.00 tot 18.30 uur.
- Het tijdstip waarop je incheckt, bepaalt de korting die wordt berekend voor de hele reis.
- Een enkele reis Enschede-Deventer vol tarief 2e klas kost € 12,10.
   
7p. 21. Maak met behulp van berekeningen een schema waaruit Eefje voor elk mogelijk aantal reisdagen per maand kan aflezen welk abonnement voor haar het voordeligst is.
     

 
UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. Htwee = -5,63 · 180 + 2366,67 = 1353,27 per m2
Bij 180 m2 is dat dan 180 · 1353,27 = 243588,6
Dat is afgerond inderdaad 243600
   
2. H = aV + b
a = (2080 - 2429)/(90 - 50) = -8,725
2080 = -8,725 · 90 + b
2080 = -785,25 + b
b = 2865,25
Kosten zijn dan   H · V = (-8,725V + 2865,25) · V = -8,725V2 + 2865,25V
Voor het maximum is de afgeleide nul:  -17,45V + 2865,25 = 0
17,45V = 2865,25
V = 164,19  m2
Dan zijn de kosten  -8,725 · (164,19)2 + 2865,25 · 164,19 = 235234 euro
Afgerond 235200 euro
   
3. 3480 = b · g30 + 1375  geeft  b · g30 = 2105
1387 = b · g250 + 1375  geeft  b · g250 = 12
als je de tweede vergelijking deelt door de eerste valt b weg.
Dat geeft g220 = 12/2105 = 0,0057....
g = 0,00571/220 = 0,97678.....

b · 0,97678...30 = 2105  geeft dan  b = 4259
   
4. Y1 =  (e^(-0,02359*X) + 1375) * X
Y2 = (-5,63 * X  + 2366,67) * X
Intersect geeft  X = 0  en   X = 94,53  en  X = 157,79
Van 95 tot en met 157 m2 zijn de herbouwkosten van een hoekwoning lager dan die van een twee-onder-een-kap woning.
   
5. Hhoek = e-0,02359V + 8,36+ 1375
Hhoek = e-0,02359V · e8,36 + 1375
Hhoek = 4273 ·e-0,02359V + 1375
Hhoek = 4273 ·(e-0,02359)V + 1375
Hhoek = 4273 ·(0,9767)V + 1375
   
6. Hhoek = e-0,02359V + 8,36 + 1375
Hhoek' = -0,02359·e-0,02359V + 8,36

Htussen = e-0,02398V + 8,144 + 1144
Htussen' = -0,02398 · e-0,02398V + 8,144

Zie de grafieken hiernaast.

H 'hoek ligt lager dan H 'tussen; dus de waarden zijn groter negatief, dus de mate waarin de kosten afnemen is groter bij hoekwoningen dan bij tussenwoningen.

7. c = 165/500 = 0,33
Het is een meetkundige rij
Daarvan is de directe formule  P(n) = 0,33 · 1,26n 
 0,33 · 1,26n  = 1
1,26n = 3,0303...
n = log(3,0203...)/log(1,28) = 4,49
Dus na 5 jaar is het maximale aantal bereikt.
   
8. P0 = 0,25
P1 = 1,58 · 0,25 · (1 - 0,25 = 0,29625
P2 = 1,58 · 0,29625 · (1 - 0,29625) = 0,3294
Het maximum is 2000 dus dit zijn 658 á 659 edelherten
Vanaf de 500 zijn er dus  158 á 159 bijgekomen.
   
9. r en Pn en  1 - Pn liggen alle drie tussen 0 en 1  (en zijn alle drie positief)
Als je ze met elkaar vermenigvuldigt wordt dat dus steeds kleiner.
Het blijft wel positief, dus gaat dat naar nul.
   
10. Voer de recursieformule in in de GR:
MODE - SEQ
Y=
nMin = 0
u(n) = 3,15· u(n - 1) · (1 - u(n - 1))
u(0) = 0,25
Kijk dan in de tabel bij grote waarden van n
Dan zie je dat Pn heen en weer gaat tussen 0,78 en 0,53
   
11. Er zijn 21 woorden, dus T = 21
De woorden "woorden"  en "deze"  komen twee keer voor
Dus U = 19
19/21 · 100 = 90,4....
Het gevraagde percentage is dus 90%
   
12.

  Het totaal aantal is 191740
Een kwart daarvan is 47935
log 47935 = 4,68  dus  47935 = 104,68
Verdeel het stuk tussen 10000 en 100000 in 10 gelijke delen
Trek een lijn van 104,68  recht omhoog naar de grafiek (zie de figuur)
Bij dat punt van de grafiek hoort een y-waarde van  103,8   (zie de figuur)
103,8 = 6309
Het percentage is dan  6309/8842 · 100% = 71%
   
13. log7432 = 3,8
Je zit dus in de figuur links van de lijn  logT = 4
In dat gebied voldoet de gemeten  waarde niet aan de wet van Hearden-Heap
   
14. log(U) = 0,49log(T) + 1,64
T= 1000000
log(U) = 0,49 · 6 + 1,64
log(U) = 4,58
U = 104,58 = 38019
Afgerond 38000 woorden.
   
15.  log(U) = 0,49log(T) + 1,64
U = 100,49log(T) + 1,64
U = 100,49log(T) ·101,64 
U = (10log(T))0,49 · 43,7
U = 43,7 · T0,49
Dus c = 43,7
   
16. Als er per 50 woorden precies één woord bijkomt dan is  U(T + 50) = U(T) + 1
44 · (T + 50)0,49 = 44 · T0,49 + 1
Y1 =  44 * (X + 50) ^0,49
Y2 =   44 * X^0,49 + 1
Intersect geeft  X = 883688
Dat is ongeveer 884000 woorden.
   
17. Voor de twee andere attracties zij er 5 nCr 2 = 10 mogelijkheden.
Voort de volgorde van de drie atracties zijn er 3 · 2 · 1 = 6 mogelijkheden
In totaal dus 10 · 6 = 60 mogelijkheden.
   
18. h(t) = 75 + 60 sin(0,209(t - d))
het laagste punt is  75 - 60 = 15
op t = 0 moet er dus 15 uitkomen:
75 + 60 sin(0,209(0 - d))  = 15
60sin(-0,209d) = -60
sin(-0,209d) = -1
-0,209d = -1,57
d = 7,5
   
19. h(t) = 75 + 60sin(0,209t)
h '(t) = 60cos(0,209t) · 0,209
Dat is maximaal als de cosinus gelijk is aan 1
Dan is h ' = 60 · 1 · 0,209 = 12,54  meter per minuut
 
afstand 12,54 meter ??
tijd 60 sec 3600 sec

?? = 3600 · 12,54/60 = 752,4 meter per uur
Dat is ongeveer 0,75 km/uur
   
20. 40000 = √(h2  + 12742000h)
Y1 = 40000
Y2 = √(X^2 + 12742000X)
intersect geeft  h = Y = 125,56...

Y1 = 125,56
Y2 = 75 + 60sin(0,209X)
Intersect geeft  t = 4,79  en  t = 10,23

daartussen ligt 10,23 - 4,79 = 5,4 minuten
Dat is afgerond 5 minuten.
   
21. hoeveel % moet je betalen?:
 
  Dal Voordeel Altijd voordeel Dal vrij
in de spits 100% 80% 100%
buiten de spits 60% 60% 0%
   
  hoeveel geld kost dat?
 
  Dal Voordeel Altijd voordeel Dal vrij
in de spits 12,10 9,68 12,10
buiten de spits 7,26 7,26 0
   
  Hoeveel kost dat per werkdag (ze gaat elke werkdag één keer in de spits en één keer buiten de spits)

Dal Voordeel:  12,10 + 7,26 = 19,36
Altijd voordeel 9,68 + 7,26 = 16,94
Dal vrij:  12,10

Wat kosten alle reizen bij x werkdagen per maand?
Dal voordeel:   5 + 19,36x 
Altijd voordeel:   23 + 16,94x
Dal Vrij:  105 + 12,10x
 

  aflezen uit de figuur:
 
aantal dagen abonnement
1 tm 7 Dal Voordeel
7 tm 16 Altijd  Voordeel
16 en meer Dal Vrij