Ga eens uit van 100 mensen die in plaats van op de PvdA op de VVD gestemd zouden hebben. In dat geval had de PvdA maar 15 229 stemmen gekregen in plaats van  15 329. En de VVD zou dan 9180 stemmen hebben gekregen in plaats van 9080. Met de restzetelverdeling zou de PvdA komen op een gemiddelde aantal stemmen per zetel van  ¹⁵²²⁹/₁₀ ≈ 1523 en de VVD op  ⁹¹⁸⁰/₆ ≈ 1530.  Omdat  1523 < 1530 zou de VVD dus de laatste restzetel krijgen.
Om de laatste restzetel bij de VVD terecht te laten komen, is er een kleiner aantal dan 100 mensen nodig die op de VVD in plaats van de PvdA zouden stemmen.

Door het CBR (Centraal Bureau Rijvaardigheidsbewijzen) worden jaarlijks ruim 400 000 examens voor een rijbewijs voor personenauto’s afgenomen. Dit examen bestaat uit twee delen: een theorie-examen en een praktijkexamen. Je moet eerst geslaagd zijn voor het theorie-examen voordat je mag deelnemen aan het praktijkexamen.

Sinds 1 oktober 2002 is het theorie-examen vernieuwd. In het nieuwe theorie-examen zitten bij de 50 vragen niet alleen ja/nee-vragen maar ook andersoortige vragen zoals open vragen en/of driekeuzevragen. Ook nu is een kandidaat geslaagd voor het theorie-examen als ten minste 45 vragen goed worden beantwoord.

Herman Spiering doet een theorie-examen dat bestaat uit 40 ja/nee-vragen en 7 driekeuzevragen en 3 open vragen. Hij weet alleen het goede antwoord van 36 ja/nee-vragen en 6 driekeuzevragen. De 3 open vragen heeft hij in ieder geval fout. Van de resterende vragen moet Herman het antwoord gokken. Herman kan nog slagen voor dit examen. Dan moet hij ten minste drie van de vier resterende ja/nee-vragen goed gokken of hij moet twee van de vier resterende ja/nee-vragen én de resterende driekeuzevraag goed gokken.

Bereken de kans dat Herman zal slagen voor dit theorie-examen. Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.

Als je slaagt voor het theorie-examen mag je praktijkexamen doen. Als je zakt voor je praktijkexamen, kun je enige maanden later opnieuw praktijkexamen doen. Sommige kandidaten zakken meerdere keren voor het praktijkexamen. Het CBR houdt gegevens bij over de slaag- en zakcijfers van de kandidaten die opgaan voor het rijexamen. Uit de gegevens van het CBR blijkt dat een kandidaat steeds dezelfde kans heeft om te slagen voor het praktijkexamen. Hierbij speelt het dus geen rol of die kandidaat voor de eerste keer examen doet of al één of meer keren gezakt is. Verder blijkt dat 11% van alle kandidaten na 4 keer nog steeds niet is geslaagd voor het praktijkexamen.

Op basis van deze gegevens kun je nu berekenen hoe groot de kans is dat iemand de eerste keer al slaagt voor het praktijkexamen.

In de wiskunde is de volgende rij getallen erg bekend:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Deze rij getallen staat bekend als de rij van Fibonacci (Pisa, 1170-1250). Elk getal in deze rij is te berekenen door de twee voorgaande getallen op te tellen.In formulevorm ziet dit er als volgt uit:

Je kunt dit eenvoudig narekenen bij het begin van de rij:

2 = 1 + 1
3 = 2 + 1
5 = 3 + 2
8 = 5 + 3
enzovoort.

Bereken hoeveel getallen in de rij van Fibonacci een waarde hebben tussen 100 en 500.

De rij van Fibonacci heeft veel bijzondere eigenschappen. Zo heeft de rij die je krijgt door steeds de verhouding van twee opeenvolgende getallen uit de rij van Fibonacci te nemen een grenswaarde G. Het gaat dan om de rij ¹/₁,  ²/₁, ³/₂, ⁵/₃, ⁸/₅, ¹³/₈ enzovoort. De waarde van deze breuken is op den duur ongeveer gelijk aan 1,618. Vanaf een zeker moment ligt deze verhouding tussen 1,6180 en 1,6181.
Deze grenswaarde G is, met name in de kunst, bekend geworden als de gulden snede.

Bereken vanaf welk tweetal opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci de verhouding ligt tussen 1,6180 en 1,6181.

In de 19e eeuw deed Fechner onderzoek naar de esthetische waarde die door velen aan de gulden snede wordt toegekend. Hij liet een aantal mensen rechthoeken zien waarvan de verhouding tussen de lengte en de breedte telkens verschillend was. Aan deze mensen werd gevraagd welke rechthoek zij het mooist vonden. Uit het onderzoek bleek dat rechthoeken waarvan de verhouding van de lengte en de breedte ongeveer de gulden snede opleverde, het meest werden uitgekozen.

Mede op grond van deze resultaten stelde Petrov een formule op waarmee hij deze voorkeur wilde uitdrukken in een getal. Hij noemde dit de appreciatiewaarde A van de rechthoek en kwam met de volgende formule:

In deze formule is v de verhouding tussen de langste zijde en de kortste zijde van de rechthoek,
dus  v = ^{(langste zijde)}/_{(kortste zijde)}.

Schilderij

Litho

De afmetingen van het schilderij ‘De Nachtwacht’ van Rembrandt van Rijn zijn 363 cm bij 437 cm.
De afmetingen van ‘Oog’, een litho van M.C. Escher, zijn 141 cm bij 198 cm.

Bereken welk van deze twee kunstvoorwerpen de grootste appreciatiewaarde heeft volgens de formule van Petrov.

Petrov constateerde dat de verhouding v tussen de langste en de kortste zijde waarbij de appreciatiewaarde maximaal is, maar weinig verschilt van de waarde 1,618 van de gulden snede.

Een maat voor iemands intelligentie is het zogenaamde IQ (Intelligentie Quotiënt). Hoe intelligenter een persoon is, hoe hoger zijn/haar IQ is. Het IQ is bij benadering normaal verdeeld.

In deze opgave nemen we aan dat het IQ van een Nederlander normaal verdeeld is met een gemiddelde waarde van 100 en een standaardafwijking van 15.

In een boek over intelligentietests wordt beweerd dat ongeveer 4 op de 1000 Nederlanders een IQ van meer dan 140 hebben.

Van een groot aantal mensen in 25 verschillende beroepsgroepen is het IQ gemeten. Voor elke beroepsgroep is vervolgens het gemiddelde IQ en de standaardafwijking bepaald. Deze waarden zijn uitgezet met stippen in de grafiek van de figuur hieronder. Bij elke beroepsgroep hoort dus een stip.

We nemen aan dat binnen elke beroepsgroep het IQ van een persoon uit die beroepsgroep normaal verdeeld is. In de figuur hierboven  is duidelijk te zien dat naarmate het gemiddelde IQ van een beroepsgroep groter is, de standaardafwijking kleiner is. Door de puntenwolk in de grafiek van de figuur kan een zo goed mogelijk passende rechte lijn worden getrokken. De formule voor deze lijn luidt: σ = 45,5 – 0,272 • μ. Hierin is σ de standaardafwijking en μ het gemiddelde IQ van een beroepsgroep.

Twee beroepsgroepen blijken een gemiddeld IQ van 110,6 en 115,3 te hebben. Beide beroepsgroepen zijn niet opgenomen in de figuur hierboven. We veronderstellen echter dat ook voor deze beroepsgroepen de formule van de lijn gebruikt mag worden.

Bereken hoeveel de bijbehorende standaardafwijkingen volgens de formule van de lijn van elkaar verschillen.

Omdat de standaardafwijking altijd groter dan 0 moet zijn, kan de formule σ = 45,5 – 0,272 • μ. niet geldig zijn boven een bepaalde waarde van μ.

Het bovenstaande onderzoek wordt uitgebreid. Van beroepsgroep A, die nog niet bij het onderzoek betrokken was, worden 39 personen getest op hun IQ. De resultaten vind je in de volgende tabel.

Verwerk de gegevens van deze tabel in een cumulatieve frequentiepolygoon en maak daarmee een schatting voor de mediaan.

Van beroepsgroep B, die ook nog niet in het eerdere onderzoek opgenomen was, zijn 8 personen op hun IQ getest. Deze 8 personen hebben een IQ van 123, 108, 137, 121, 124, 129, 131 en 111. Op basis van de figuur bovenaan deze opgave wordt de volgende algemene regel geformuleerd: ‘Bij een groter gemiddelde hoort een kleinere standaardafwijking.’

Onderzoek of deze regel ook van toepassing is als we de steekproeven van de beroepsgroepen A en B met elkaar vergelijken.

Beleggingsmaatschappijen zoeken steeds naar nieuwe manieren om geld te beleggen. Eén van die manieren is beleggen in bomen.

plantage waar bomen voor belegging worden gekweekt

Over het beleggen in bomen schrijft een beleggingsmaatschappij in een reclamefolder het volgende:

Een Labironia-boom van 15 jaar oud levert meer m³ benutbaar hout op dan een van 8 jaar oud.

Bereken hoeveel m³ het verschil bedraagt. Geef je antwoord in 3 decimalen nauwkeurig

Een bioloog beweert dat de houtopbrengst van een Labironia-boom jaarlijks met ongeveer 14% toeneemt.

Laat met berekeningen zien dat de gegevens in de folder overeenstemmen met deze bewering.

Bereken hoeveel die meeropbrengst naar verwachting ten minste bedraagt. Rond je antwoord af op honderden euro’s.