VWO WISKUNDE A1, 2004 - II
APK
Auto's moeten elk jaar gekeurd worden. Deze wettelijke verplichte keuring wordt APK, Algemene Periodieke Keuring, genoemd en wordt uitgevoerd door garagebedrijven. Om na te gaan of de garagebedrijven de keuringen goed uitvoeren, voert de RDW, De Rijks Dienst voor Wegverkeer, controles uit. De RDW doet dit steekproefsgewijs. Dat wil zeggen: van alle auto's die worden gekeurd door de garagebedrijven selecteert de RDW er een aantal en onderwerpt die auto's aan een controle. Op deze wijze controleert de RDW 3% van alle gekeurde auto's.

Een garagebedrijf gaat op een dag 5 auto's keuren.
3p 1. Bereken de kans dat geen van deze 5 auto's door de RDW wordt gecontroleerd. Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

 
Voor het beoordelen van de kwaliteit van de garagebedrijven hanteert de RDW een puntensysteem:
Ieder garagebedrijf begint met 0 punten. Als bij controle van de RDW blijkt dat de keuring van een auto niet goed is verricht, krijgt het garagebedrijf 1,5 strafpunten. Als de keuring van een auto w้l goed is uitgevoerd, krijgt het garagebedrijf 0,4 bonuspunten. Strafpunten en bonuspunten worden met elkaar verrekend. Als het garagebedrijf bijvoorbeeld 0,8 bonuspunten en 1,5 strafpunten heeft gekregen, levert dit 0,7 strafpunten op. Daarmee komt het aantal punten voor dit bedrijf op -0,7.

Garagebedrijf Hendriks heeft 0 punten. Bij dit bedrijf wordt 20% van de keuringen niet goed uitgevoerd. De RDW voert vijf keer een controle bij Hendriks uit.
4p 2. Bereken de kans dat garage Hendriks na deze vijf controles meer dan nul punten heeft.
Geef je antwoord in vier decimalen nauwkeurig.

 
Met behulp van het puntensysteem van de RDW kunnen we narekenen dat bij een garagebedrijf waar 15% van de keuringen  niet goed worden uitgevoerd, elke uitgevoerde controle gemiddeld 0,115 punten oplevert. Dus acht controles door de RDW leveren zo'n bedrijf naar verwachting 0,92 punten op.
Garagebedrijf Kampman voert slechts 10% van de keuringen niet goed uit. Acht controles door de RDW zullen dit garagebedrijf naar verwachting meer punten opleveren.
Garagebedrijf Kampman heeft 0 punten.
4p 3. Bereken hoeveel punten garagebedrijf Kampman naar verwachting zal hebben nadat de acht controles zijn uitgevoerd.

 
Mede door de APK neemt de gemiddelde levensduur van personenauto's toe. In het begin van de jaren negentig van de vorige eeuwwas een personenauto na 9 เ 10 jaar rijp voor de sloop. In 1998 lag de gemiddelde levensduur al een stuk hoger. Deze gemiddelde levensduur kun je berekenen met behulp van de gegevens in de onderstaande figuur. Daarin vind je in de vorm van een samengesteld staafdiagram de verdeling naar leeftijd van de personenauto's die in 1998 werden gesloopt.
4p 4. Bereken met behulp van de gegevens in deze figuur hoe groot de gemiddelde levensduur was van personenauto's op het moment van slopen.

 
Kaartspel
Een set speelkaarten bestaat uit 52 kaarten, verdeeld in de soorten schoppen (♠),  harten (♥), ruiten (♦) en klaveren (♣). Iedere soort bevat 13 kaarten, met de opdruk 2,3,4,5,6,7,8,9,10,boer,vrouw,heer of aas.

Het kaartspel bridge wordt gespeeld door vier spelers die ieder 13 kaarten krijgen.
We gaan er bij deze opgave van uit dat het delen van de kaarten op aselecte wijze gebeurt. Dat betekent dat bij elk spel iedere speler evenveel kans heeft op een bepaalde kaart.

De 52 kaarten kunnen op zeer veel verschillende manieren onder de vier spelers verdeeld worden.
4p 5. Onderzoek of dit aantal manieren groter is dan 5 • 1025

 
Arie, Bert, Clemens en Douwe spelen bridge.

De kans dat Clemens bij een spel precies twee klaverenkaarten krijgt is ongeveer 0,2.
4p 6. Bereken deze kans in vier decimalen nauwkeurig.

 
Arie heeft gedurende een lange periode bijgehouden hoeveel klaverenkaarten hij bij elk spel kreeg. Het resultaat van 10000 spellen vind je in de volgende tabel.
aantal klaverenkaarten 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 of meer
frequentie 130 802 2060 2865 2385 1245 414 87 12 0
Het gemiddelde aantal klaverenkaarten dat Arie bij deze 10000 spellen kreeg, komt vrijwel overeen met het aantal klaverenkaarten dat je per spel kunt verwachten.
4p 7. Toon dit met een berekening aan.

 
Het aantal van 10000 spellen is erg groot. Dat betekent dat we de uitkomsten in de tabel goed kunnen gebruiken om de theoretische kansen op de bijbehorende aantallen klaverenkaarten te benaderen.
3p 8. Gebruik de tabel om de kans te berekenen dat je in 10 spellen precies ้้n keer g้้n klaverenkaarten krijgt. Rond je antwoord af op vier decimalen.

 
Het aantal klaverenkaarten dat iemand per spel krijgt is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 3,25 en een standaardafwijking van 1,365.
Douwe wil de kans op ten hoogste 4 klaverenkaarten op twee manieren uitrekenen:
  • met behulp van deze normale verdeling
  • met behulp van de tabel hierboven.
Beide uitkomsten zullen niet veel van elkaar verschillen.
5p 9. Onderzoek of dit verschil kleiner is dan 0,01

 
Teksten Vergelijken
In ziekenhuizen worden vaak medische rapporten geschreven. Bij een onderzoek naar de inhoud van dergelijke rapporten zijn 2500 rapporten van het Elkerliek Ziekenhuis (ELK) te Deurne vergeleken met 2500 rapporten van het Academisch Ziekenhuis Maastricht (AZM) Van elk rapport is de lengte bepaald: de lengte van een rapport is het aantal woorden dat het bevat. In de volgende figuur zijn de gegevens weergegeven in een gecombineerd staafdiagram met klassenbreedte 10.
Voor de lengte van de rapporten van de ene verzameling geldt:
I:     1e kwartiel is 68, mediaan is 100, 3e kwartiel is 149.

Voor de lengte van de rapporten van de andere verzameling geldt:
II:    1e kwartiel is 92, mediaan is 127 en 3e kwartiel is 184
3p 10. Welke van deze serie gegevens, I of  II, hoort bij de rapporten van het ELK?  Licht je antwoord toe.

 
Uit het onderzoek bleek dat de mediaan en het gemiddelde die horen bij de rapporten van het AZM niet even groot zijn.
4p 11. Geef met een redenering, dus zonder een berekening, aan of de mediaan groter of kleiner is dan het gemiddelde.

 
De rapporten van beide ziekenhuizen bevatten samen 996734 woorden. Toch waren er in totaal slechts ongeveer 20000 verschillende woorden. Dit komt omdat er woorden zijn die heel vaak gebruikt worden. Om je hiervan een idee te geven zie je in de volgende tabel de tien woorden die het meest frequent in de rapporten werden gebruikt.
woord een de van met en het in is ik geen
frequentie 40361 36485 34231 27667 26869 22965 22082 13681 11416 11363
rangnummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Je ziet dat in de tabel de woorden op rangnummer, in volgorde van hun frequentie, zijn genoemd. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat het woord `met` in totaal 27667 keer is geteld en dat dit woord het rangnummer 4 heeft.

De onderzoekers J.B. Estoup en G.K. Zipf hebben geprobeerd in allerlei teksten een verband te vinden tussen het rangnummer r van een woord en de bijbehorende frequentie f. In 1949 vond Zipf de formule:

fr = C/r
Deze formule wordt ook wel de "wet van Zipf" genoemd.
De waarde van C hangt af van het totale aantal woorden in de tekst. Volgens Zipf is C de oplossing van de vergelijking:
2,3 • logC = aantal woorden in de tekst

De rapporten van het AZM bevatten samen 495378 woorden.
3p 12. Bereken de waarde van C die bij de rapporten van het AZM hoort. Rond af op duizendtallen.

 
Voor de 996734 woorden in de rapporten van beide ziekenhuizen samen geldt C = 88000. In de figuur hieronder zijn van alle gebruikte woorden de frequenties uitgezet tegen de rangnummers. Op beide assen is gekozen voor een logaritmische schaalverdeling. De woorden uit de tabel hierboven vind je terug als de bovenste 10 punten.
Om de wet van Zipf en de werkelijkheid met elkaar te kunnen vergelijken is in onderstaande figuur ook de grafiek van  fr = 88000/r getekend.
De wet van Zipf geldt voor algemene teksten zoals krantenartikelen en dergelijke. Omdat medische rapporten niet "algemeen" zijn, vertonen de grafieken opmerkelijke verschillen. Tussen de rangnummers 2 en (ongeveer) 2200 zijn de werkelijke frequenties groter dan de frequenties volgens de wet van Zipf.
4p 13. Onderzoek of dit verschil bij r = 100 groter is dan bij r = 500. Licht je antwoord toe.
Al doende leert men
In de Amerikaanse industrie is ooit onderzocht hoe snel werknemers leren wanneer zij een handeling vaker verrichten. Bij een groot aantal werknemers is bijgehouden hoeveel tijd ze nodig hadden om een bepaalde handeling voor de eerste keer te verrichten, hoeveel tijd voor de tweede keer, enz.

Zo bleken werknemers 16 minuten nodig te hebben om handeling A voor de eerste keer te verrichten. Bij de tweede keer was die handelingstijd 12,8 minuten. Dus wanneer een werknemer handeling A twee keer heeft uitgevoerd is zijn gemiddelde handelingstijd  (16 + 12,8)/2 = 14,4 minuten. Deze 14,4 minuten zie je in de volgende tabel. De andere waarden in deze tabel zijn op een vergelijkbare manier berekend.
aantal keren dat handeling A is verricht (n) 1 2 3 4 5 6
gemiddelde handelingstijd in minuten. 16 14,4 13,1 12,1 11,3 10,7
Met behulp van deze tabel kunnen we berekenen dat een werknemer 8,1 minuten nodig heeft om handeling A voor de 5e keer te verrichten.
3p 14. Geef zo'n berekening.

 
Wanneer we de gemiddelde handelingstijd  Hn willen uitrekenen voor meer dan zes handelingen is het handig te beschikken over een formule voor Hn. Hiertoe zijn verschillende pogingen ondernomen. E้n zo'n poging resulteerde in de formule:
Hn = 0,14n2 - 2n + 17,8

Deze formule komt redelijk overeen met de gegevens van de tabel voor n = 1 tot en met n = 6.
3p 15. Bereken het grootste verschil tussen de uitkomsten uit de tabel en de bijbehorende waarden van Hn.
Voor grote waarden van n is de formule voor Hn echter niet geschikt om de gemiddelde handelingstijd te beschrijven.
4p 16. Leg uit waarom de formule voor Hn niet geschikt is.

 
Het is niet zo eenvoudig een formule voor Hn te vinden die wel voldoet.

Toch kunnen we bijvoorbeeld de gemiddelde handelingstijd na 10 handelingen uitrekenen. Daarbij maken we gebruik van Tn,  de tijd die een werknemer nodig heeft om handeling A voor de n-de keer te verrichten. Tn kan goed worden benaderd met de formule:

Tn = 6 + 14,7 • 0,68n

In deze formule is Tn in minuten. Inderdaad levert deze formule T1 ป 16 en T2 ป 12,8
Met deze formule kunnen we ook andere handelingstijden uitrekenen en dus ook gemiddelde handelingstijden berekenen.
4p 17. Bereken hoe groot de gemiddelde handelingstijd is wanneer een werknemer 10 keer handeling A heeft uitgevoerd.

 
Koelkasten
Tegenwoordig worden koelkasten voorzien van een energiesticker. Op deze sticker staat vermeld in welke energieklasse de koelkast zit. Deze energieklassen worden aangegeven met de letters A tot en met G. Een koelkast in klasse A gebruikt weinig energie, een koelkast in klasse G gebruikt veel energie. In de figuur hiernaast zie je een voorbeeld van zo'n sticker die hoort bij een koelkast uit energieklasse A.

Om te bepalen in welke energieklasse een koelkast moet worden ingedeeld, wordt het energieverbruik vergeleken met het zogenaamde standaardenergieverbruik van dat type koelkast. Hiermee berekent men de EEI, de energie-effici๋ntie-index van de koelkast. Dat gebeurt met behulp van de volgende formule:
De waarde van deze EEI bepaalt in welke energieklasse de koelkast wordt ingedeeld. Zie de volgende tabel:
energie-effici๋ntie-index EEI klasse
minder dan 55% A
55% - < 75% B
75% - < 90% C
90% - < 100% D
100% - < 110% E
110% - < 125% F
meer dan 125% G
Een koelkast heeft een energieverbruik van 330 kWh per jaar en is ingedeeld in klasse B.
3p 18. Bereken de grootste mogelijke waarde van het bijbehorende standaardenergieverbruik

 
Om het gebruik van energiezuinige koelkasten te stimuleren, geeft de overheid subsidie voor koelkasten in klasse A. Bij aanschaf van een koelkast in klasse A krijgt de koper €50 subsidie

Van twee koelkasten,  de Freezer en de Icebox, zijn enkele gegevens bekend. Zie de volgende tabel.
koelkast EEI aanschafprijs
zonder subsidie		 verbruik per
jaar
Freezer 60% € 795 480 kWh
Icebox 49% € 995 360 kWh
De prijs van elektriciteit is €0,20 per kWh
De Icebox is duurder in aanschaf, maar verbruikt minder energie in vergelijking met de Freezer. Dat betekent dat na verloop van tijd de extra investering in de Icebox zal zijn terugverdiend.
In januari van het jaar 2000 heeft iemand een Icebox gekocht.
5p 19. Bereken in welke maand van welk jaar de extra investering in de Icebox zal zijn terugverdiend.

 
Bij de berekening van de EEI moeten we weten hoe groot het standaardenergieverbruik van een koelkast is. Dit wordt voor elk type koelkast apart uitgerekend. Hiervoor gebruikt men de volgende formule:
standaardenergieverbruik = m • GV + n

In deze formule is GV het Gecorrigeerd Volume; dit wordt berekend met de formule:

GV = K + s • V

In deze formule is K het volume van de koelruimte en V het volume van de Vriesruimte, beide in liters.

Om deze twee formules te kunnen gebruiken hebben we dus de waarden van m, n en s nodig. In de volgende tabel staan voor een aantal categorie๋n koelkasten deze waarden aangegeven.
categorie m n s
koelkast zonder vriesruimte 0,233 245 -
koelkast met vriesruimte zonder ster 0,233 245 1,25
koelkast met vriesruimte * 0,643 191 1,55
koelkast met vriesruimte ** 0,450 245 1,85
Voor elke categorie koelkasten is de formule voor het standaardenergieverbruik van de vorm:
standaardenergieverbruik = a • K + b • V + c

Hierbij zijn  a, b en c  constanten. Ook hier is K weer de inhoud van de koelruimte en V de inhoud van de vriesruimte, beide in liters.
5p 20. Hoe groot zijn de constanten a, b en c  voor de categorie koelkasten met vriesruimte ** ?

 
Er bestaan ook koelkasten met vriesruimte ***. Voor deze categorie koelkasten geldt de formule:
standaardenergieverbruik = 0,657 • K + 1,41255 • V + 235

Een fabrikant van koelkasten wil een nieuw type koelkast met vriesruimte*** op de markt brengen. Dit nieuwe type moet voldoen aan de volgende voorwaarden:
  • de koelkast hoort in energieklasse A
  • het jaarlijkse energieverbruik is 187 kWh
  • de koelruimte is viermaal zo groot als de vriesruimte.
4p 21. Onderzoek hoe groot de inhoud van de vriesruimte moet zijn om aan deze voorwaarden te voldoen.

 
OPLOSSINGEN
Het offici๋le (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
1. De kans dat een auto niet gekeurd wordt is 0,97.
De kans dat geen ้้n van vijf auto's wordt gekeurd is dan 0,975 = 0,8587
   
2. Het aantal foute keuringen moet dan 1 of 0 zijn.
binomcdf(5, 0.2 , 1) = 0,7373
of  binompdf(5, 0.2 , 0) + binompdf(5, 0.2 , 1) = 0,7373
   
3. De kans op 1,5 strafpunten is 0,1 en de kans op 0,4 bonuspunten is 0,9.
Gemiddeld geeft dat per auto  -1,5 • 0,1 + 0,4 • 0,9 = 0,21 punten.
Voor 8 auto's zal dat gemiddeld  8 • 0,21 = 1,68 punten opleveren.
   
4. Voor een schatting van de gemiddelde levensduur doen we alsof alle metingen zich bij het klassenmidden bevinden.
De klassenmiddens zijn : 2,5 en 7,5 en 12,5 en 17,5 en 22,5
De percentages zijn ongeveer (aflezen) :  3, 10, 68, 18 en 1
Het gemiddelde is dan  (2,5 • 3 + 7,5 • 10 + 12,5 • 68 + 17,5 • 18 + 22,5 • 1)/100 = 12,7

(invoeren in L1 (middens) en L2 (percentages) en dan 1-var-stats (L1,L2) kan natuurlijk ook)  

   
5. Eerst krijgt de eerste speler 13 kaarten van de 52. Dat kan op 52 nCr 13 manieren.
Daarna krijgt de tweede speler 13 kaarten van de overgebleven 39. Dat kan op 39 nCr 13 manieren.
Dan krijgt de derde speler 13 kaarten van de overgebleven 26. Dat kan op 26 nCr 13 manieren.
Voor de laatste speler zijn dan nog 13 kaarten over.
Totaal geeft dat  (52 nCr 13) • (39 nCr 13) • (26 nCr 13) • 1 = 5,36 • 1028 manieren.
Dat is dus groter dan 5 • 1025
   
6. ้้n mogelijke volgorde is eerst 2 klaveren en dan 11 anderen.
De kans daarop is  (13/52) • (12/51) • (39/50) • (38/49) • (37/48) • (36/47) • ... • (29/40) ≈ 0,00264
Er zijn 13 nCr 2  = 78 zulke volgorden
De kans wordt dan 78 • 0,00264 ≈ 0,2059

of
kies 2 klaveren uit de 13; dat kan op 13 nCr 2 = 78 manieren
kies 11 andere kaarten uit de 39. Dat kan op  39 nCr 11 = 1676056044 manieren.
samen kan dat op 78 • 1676056044   = 1,307 • 1011 manieren.
in totaal zijn er 52 nCr 13 = 6,35 • 1011 manieren om 13 willekeurige kaarten uit de 52 te kiezen.
De kans dat het 2 klaveren en 11 anderen wordt is dan  (1,307 • 1011)/( 6,35 • 1011) = 0,2059
   
7. Je verwacht gemiddeld 13/4 = 3,25 klaverenkaarten, immers de 13 kaarten worden onder 4 spelers verdeeld.
Het gemiddelde van de tabel is  (0 • 130 + 1 • 802 + ... + 8 • 12 + 9 • 0)/10000 = 3,2471
Dat komt inderdaad vrijwel overeen.
   
8. De kans op geen klaveren is 0,013
1 van de 10 keer heeft dan kans  binompdf(10 , 0.013 , 1) = 0,1156

of:
kans op geen klaveren in 0,013, en op wel dus 1 - 0,013 = 0,987
1 van de 10 heeft dan kans  10 nCr 1 • 0,0131 • 0,9879 = 0,1156
   
9. Volgens de tabel is de kans op hoogstens 4 klaveren (130 + 802 + 2060 + 2865 + 2385)/10000 = 0,8242
Volgens de normale verdeling is deze kans  normalcdf(0, 4.5 , 3.25 , 1.365) = 0,8115
Het verschil is groter dan 0,01.
   
10. De staven van ELK liggen meer naar links dan die van AZM.
Dus zal het eerste kwartiel van ELK kleiner zijn dan dat van AZM.
Daarom hoort serie I bij ELK en II bij AZM.
   
11. Aan de rechterkant liggen de gegevens verder uit elkaar (de staafjes zijn kleiner en er zijn er meer van)
Daarom zal de mediaan kleiner zijn dan het gemiddelde.
   
12. 2,3 • C • logC = 495378
Deze is niet algebra๏sch op te lossen. Dus Y1 = 2,3 • X • logX en Y2 = 495378
Dan intersect levert (met bijv. window Xmin = 0, Xmax = 100000, Ymin = 0, Ymax = 1000000):
X = C = 46175,539  en dat is afgerond op duizendtallen 46000
   
13. Bij r = 100 is het verschil ongeveer 1800 - 800 = 1000
Bij r = 500 is het verschil ongeveer 350 - 150 = 200
Dus het verschil bij r = 100 is groter dan bij r  = 500
   
14. Vijf  keer handeling A kost in totaal  5 • 11,3 = 56,5 minuten
Vier keer handeling A kost in totaal  4 • 12,2 = 48,4 minuten.
Dus kostte de vijfde keer  56,5 - 48,4 = 8,1 minuten.
   
15. Y1=0,14X^2 - 2X + 17,8 geeft de volgende extra rijen in de tabel:
aantal keren n 1 2 3 4 5 6
gem. handelingstijd 16 14,4 13,1 12,1 11,3 10,7
Hn 15,94 14,36 13,06 12,04 11,3 10,84
Absolute verschil 0,06 0,04 0,04 0,06 0 0,14

Het grootste verschil is 0,14, bij n = 6
   
16. De grafiek van Hn is een dalparabool, dus de waarden van Hn worden uiteindelijk weer groter als n groter wordt. Maar de gemiddelde handelingstijd moet steeds kleiner worden, dus dat kan niet samengaan.
   
17. Je moet T1 tot en met T10 bij elkaar optellen.
Dat kan bijvoorbeeld zo:
Stat - Edit:  L1 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10  en  L2 = 6 + 14,7•0,68^L1
dan list - math - sum(L2)  geeft  90,57716336
Voor de gemiddelde tijd moet je door 10 delen, en dat geeft ongeveer  9,1 minuten
   
18. Het standaardenergieverbruik is het grootst als EEI het kleinst is.
De kleinste EEI is 55%, en dat geeft dan  55 = 330/S • 100   ofwel  S = 330/0,55 = 600 kWh per jaar
   
19. De aanschafprijs van de Icebox is met subsidie 995 - 50 = 945
Dat is 945 - 795 = 150 euro duurder dan de Freezer.
Per jaar verbruikt de Icebox 480-360 = 120 kWh minder, dat bespaart  120 • 0,20 = 24 euro.
Om 150 euro te besparen kost dat dan 150/24 = 6,25 jaar.
6,25 jaar na januari  2000 is april 2006.
   
20. standaardenergieverbruik = m • GV + n = m • (K + s • V) + n = m • K + m • s • V + n
vergelijk de formules:  m = a  en  m • s = b  en  n = c
Dat geeft eerst a = 0,450
daarna b = 0,450 • 1,85 = 0,8325
c =  n = 245
   
21. K = 4V invullen in de formule: 
standaardenergieverbruik = 0,675 • 4 • V + 1,41255 • V + 235 =  4,04055 • V + 235
Dit moet meer dan 340 zijn.
 4,04055 • V + 235 = 340 ⇒  4,04055 • V = 105  ⇒  V = 25,986...
De inhoud van de vriesruimte moet dus minstens 26 liter zijn.