VWO Wiskunde I, 1974 - I

 

opm.:  vraagstuk 5 gold alleen voor kandidaten die aan het experiment "Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek" deelnamen. Deze behoefden opgave 3 niet te maken.
       
1. Gegeven zijn de functies van  ℝ naar ℝ:
   

       
  a. Onderzoek de functie g en teken in één figuur de grafieken van f en g.
Bewijs dat deze grafieken geen enkel punt gemeen hebben.
Bewijs dat de grafiek van g één buigpunt heeft.
  b. De lijnen x = k en x = 2k  en de grafieken van f en g sluiten een vlakdeel V in.
Bewijs dat de oppervlakte van V voor k > 0  onafhankelijk is van k.
Onderzoek of deze onafhankelijkheid ook geldt voor k < 0.
       
2. Een kromme is gegeven door  x = | t | + 1   en   y = t/(t - 1)
       
  a. Onderzoek of de kromme één of meer asymptoten heeft.
Teken de kromme.
  b. De lijn x = p snijdt de kromme in twee verschillende punten waarvan de afstand 1 is.
Bereken p
       
3. De differentiaalvergelijking  (xy2 + 2x)dx + ydy = 0  definieert een lijnelementenveld.
V is de verzameling van punten waarvan het lijnelement de richtingscoëfficiënt 2 heeft.
       
  a. Welke punten van de lijn  3x + y = 0  behoren tot V?
  b. Welke integraalkromme van de differentiaalvergelijking gaat door het punt  (0, 1)?
  c. Bereken de coördinaten van dat punt van V waarvan de x-coördinaat maximaal is.
       
4. Beschouw op het open interval  〈0, π〉  de functies:
    fp  :   x  →  sin3x + psinx   (p  ℝ)
       
  a. Voor welke p geldt:  De functie fp heeft een grafiek met één of meer buigpunten?
  b. Voor welke p geldt:   Het minimum van fp(x) = is  -1/4 ?
       
5. Bij een zeker spel wordt een vaas gebruikt die uitsluitend rode en witte knikkers bevat. Een speler mag hieruit herhaaldelijk aselect een knikker trekken en deze weer terugleggen.
Bij een rode knikker krijgt de speler 2 punten toegekend, bij een witte 1 punt.
Het spel eindigt zodra de speler 5 of meer punten heeft behaald.
Het aantalm, trekkingen is een stochast X
       
  a. Als de fractie witte knikkers in de vaas gelijk is aan 1/3 dan heeft X de volgende kansverdeling:
       
   
x 1 2 3 4 5
P(X = x) 0 0 20/27 20/81 1/81
    Bewijs dit.  
  b. De organisator van het spel keert 13 gelden uit, zodra een speler 5 of weer punten heeft behaald.
Daar staat tegenover dat de speler bij elke trekking 4 gulden moet inzetten.
Moet men winst of verlies voor de organisator verwachten als de fractie witte knikkers 1/3 is?
Verklaar het antwoord.
       
  Twee toeschouwers A en B  hebben verschil van mening over de fractie witte knikkers in de vaas. A veronderstelt dat de fractie witte knikkers 0,25 is, maar B denkt dat deze fractie 0,35 is.
Ze spreken af 50 trekkingen gade te slaan en op grond van het aantal keren dat een witte knikker getrokken wordt, één van beiden in het gelijk te stellen.
A krijgt gelijk als er minder dan een zeker aantal keren (g) een witte knikker getrokken wordt en B krijgt gelijk als dit aantal keren g of meer bedraagt  (gℕ)
       
  c. Neem g = 15.  Hoe groot is de kans dat A gelijk krijgt terwijl B gelijk heeft?
  d. Bereken de kleinste gehele waarde van g waarvoor de kans dat B gelijk krijgt, terwijl A gelijk heeft, ten hoogste 0,05 is.
       

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1.  
   
2.  
   
3.  
   
4.  
   
5.  
   
6.  
   
7.  
   
8.  
   
9.  
   
10.  
   
11.  
   
12.  
   
13.  
   
14.  
   
15.  
   
16.  
   
17.  
   
18.  
   
19.  
   
20.  
   
21.  
   
22.  
   
23.