| 1. | Gegeven zijn de functies van ℝ naar ℝ: | ||
| f : x → ln(2x + 4) en g : x → ln | x | | |||
| a. | Bereken de
coördinaten van het snijpunt van de grafieken van f en g. Teken in één figuur de grafieken van f en g. |
||
| b. | De lijn met
vergelijking x = pi snijdt de grafiek van f in punt
A en de grafiek van g in punt B. De raaklijn in A aan de grafiek van f en de raaklijn in B aan de grafiek van g snijden elkaar loodrecht. Bereken p. |
||
| c. | De lijn met
vergelijking y = q snijdt de grafiek van f in
punt P en de grafiek van g in de punten Q en R waarbij Q
het midden is van lijnstuk PR. Bereken q. |
||
| 2. | Gegeven is de differentiaalvergelijking cosxdy = (1 - ysinx)dx | ||
| a. | Teken voor x ∈ [0, 2π] de verzameling van de niet-singuliere punten waarin het lijnelement dat aan de differentiaalvergelijking voldoet, evenwijdig aan de x-as is. | ||
| b. | Er zijn
integraalkrommen van deze differentiaalvergelijking die de lijn met
vergelijking y = 2 raken. Bereken de coördinaten van de raakpunten. |
||
| c. | Voor welke a ∈ ℝ en b ∈ ℝ is y = acosx + bsinx een oplossing van de gegeven differentiaalvergelijking ? | ||
| 3. | Voor elke p ∈ ℝ+ is de functie fp met domein ℝ gegeven door: | ||
|
|
|||
| a. | Bewijs dat fp
een stijgende functie is. Wat is het bereik van fp ? |
||
| b. | Bewijs dat de grafiek van fp het beeld is van de grafiek van f1 bij een translatie evenwijdig aan de x-as. | ||
| c. | Bereken p in het geval dat voor elke a ∈ ℝ+ geldt: | ||
|
|
|||
| 4. | Een speelautomaat
bevat vijf schijven die onafhankelijk van elkaar kunnen draaien. Op iedere schijf staan de cijfers 0 tot en met 9. Door een venster is van elke schijf precies één cijfer zichtbaar. Door een druk op een knop worden de schijven aan het draaien gebracht. Na verloop van enige tijd staat iedere schijf weer stil. Door het venster zijn dan vijf cijfers zichtbaar. De cijfers zijn zo over iedere schijf verdeeld dat elk cijfer dezelfde kans heeft zichtbaar te worden. De stochast X is het aantal cijfers 6 dat zichtbaar is. De stochast Y is het aantal cijfers 7 dat zichtbaar is. De stochast Z is gedefinieerd door Z = X + Y |
||
| a. | Stel de kansverdeling op van de stochast X. | ||
| b. | Onderzoek of de stochasten X en Y onafhankelijk zijn. | ||
| c. | Bereken P(Z = 2) | ||
| d. | A beweert dat de
automaat zuiver is. B beweert dat de cijfers 6, 7, 8 en 9 te weinig optreden. Zij besluiten tot een toets waarbij vier keer gespeeld zal worden. Als de som van de frequenties 6, 7, 8 en 9 kleiner is dan vijf, krijgt A ongelijk. Hoe groot is de kans dat A ten onrechte ongelijk krijgt? |
||
