VWO Wiskunde I, 1977 - I

 

1. De functie f van  ℝ naar ℝ  is gegeven door:
   

       
  a. Onderzoek de functie f en teken de grafiek van f.
  b. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel in gesloten door de grafiek van f en de x-as.
  c. Bereken a, b, c, en d voor het geval dat de functie g gegeven door:
    g(x) = f(x) voor  x ≤ -3
    g(x) = ax3 + bx2 + cx + d voor  -3 < x < 0
    g(x) = f(x) voor  x ≥ 0
    een differentieerbare functie van ℝ naar ℝ  is.
       
2. Een kromme K is ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel XOY gegeven door
  x = -t et  en  y = te-t  waarbij  t
       
  a. Bereken het bereik van de functie  t → -t et 
en het bereik van de functie   t →  t e-t
  b. Bewijs dat de lijn met vergelijking y = x  symmetrie-as is van K.
  c. Stel van elke asymptoot van K een vergelijking op.
Teken K
       
3. Vijf personen A, B, C, D en E beoefenen het schijfschieten.
De trefkans per schot is achtereenvolgens  pA, pB, pC, pD en pE.
       
  a. Gegeven is dat  pA = 1/4  en pB = 1/3
A en B lossen ieder twee schoten.
De som van de aantallen treffers van A en B is een stochast X.
Stel de kansverdeling van X op.
  b. De kans dat C de schijdf mist is tweemaal zo groot als de kans dat D de schijf mist.
C lost één schot en D lost twee schoten.
De kans op tenminste één treffer bij deze drie schoten is 0,872.
Bereken pD.
  c. E beweert dat zijn trefkans 0,6 is.
De anderen beweren dat zijn trefkans kleiner is.
E zal 20 schoten lossen om zijn bewering te toetsen tegenover die van de anderen.
Bij hoeveel treffers zal met een betrouwbaarheid van 95% de bewering van E verworpen worden en die van de anderen niet?
       
4. Gegeven zijn  van  ℝ naar ℝ  de functie  f : x → ln(x - 1)  en voor elke p+ 
de functie  g :  x  
p(x - 1)
       
  a. Voor welke p geldt:  de grafieken van f en gp raken elkaar?
  b. Los op :  f o g1 (x) <  g1 o f (x)
  c. Voor welke p geldt:  de grafiek van gp snijdt de x-as in punt A en de grafiek van f  in de punten B en C  zo dat B het midden is van lijnstuk AC?

 

 

 

UITWERKING
   
1a.  
   
1b.  
   
1c.  
   
2a.  
   
2b.  
   
2c.  
   
3a.  
   
3b.  
   
3c.  
   
4a.  
   
4b. 2 < x(2e - 1)/(e - 1)
   
4c.