Nieuwe pagina 1

Door punt P.

De functie f is gegeven door f(x) = Ö(3x + 6). Op de grafiek van f ligt het punt P(1, 3). Lijn k raakt de grafiek van f in punt P. Zie de figuur.



4p.	1.	Stel op exacte wijze een vergelijking op van lijn k.

De grafiek van de functie g is een parabool. De top van deze parabool valt samen met het randpunt van de grafiek van f . De grafiek van g snijdt de grafiek van f in het punt P(1, 3). Zie de figuur.



3p.	2.	Stel op exacte wijze een functievoorschrift op van g.

Twee sinusoïden.

De functie f is gegeven door f(x) = 2¹/₂sin(¹/₂x) . De grafiek van f is een sinusoïde. In onderstaande figuur is vanaf de oorsprong O anderhalve periode van deze sinusoïde getekend.



De sinusoïde snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten O, A, B en C. Deze punten liggen op de evenwichtsstand van de sinusoïde. De punten D en E met y-coördinaat 1¹/₄Ö3 liggen op de sinusoïde zoals aangegeven in de figuur. Lijnstuk OA is een aantal keer zo lang als lijnstuk DE.

5p.	3.	Bereken exact hoeveel keer zo lang.

In de figuur hieronder is opnieuw de grafiek van f tussen de punten O en C getekend. Tussen de punten O en C is de grafiek van een functie g rood weergegeven. Deze grafiek is een deel van een sinusoïde. De punten O en C zijn twee opeenvolgende punten op de evenwichtsstand van deze sinusoïde.



In O hebben de grafieken van f en g dezelfde helling. Deze helling is gelijk aan 1,25. Een functievoorschrift van g is van de vorm g(x)= v · sin(¹/₆x). De helling van de grafiek van g in O kan benaderd worden door de berekening van het differentiequotiënt ^Dy/_Dx op een klein interval.

4p.	4.	Bereken de waarde van v met behulp van het differentiequotiënt op het interval [0;0,01]. Geef je eindantwoord in één decimaal.

Raaklijn door een punt aan een cirkel.

Gegeven is het punt A(25, 0). Daarbij is de cirkel c gegeven met middellijn OA. Het middelpunt van c is M. Zie onderstaande figuur.



Een vergelijking van c is y² = 25x - x².

3p.	5.	Bewijs dat dit inderdaad een vergelijking van c is.

Verder is de cirkel d gegeven met middelpunt O. Een vergelijking van d is y² = 225 - x². De punten P en Q zijn de snijpunten van c en d. Punt P ligt boven de x-as en punt Q onder de x-as. De lijn k gaat door de punten A en Q. Zie onderstaande figuur.



6p.	6.	Bewijs dat lijn k een raaklijn aan cirkel d is.

Twee punten op een parabool.

De grafiek van f is een parabool. De punten A en B liggen op de grafiek. Zie de figuur.



Punt A heeft x-coördinaat 2 en punt B heeft x-coördinaat 6. In punt A is de helling van de raaklijn -^1/₂ . In punt B is de helling van de raaklijn 3¹/₂. Het functievoorschrift van f is van de vorm f(x) = cx² + dx Uit de bovenstaande gegevens volgt het volgende stelsel:



2p.	7.	Bewijs dat het stelsel uit de gegevens volgt.

Door het stelsel op te lossen, krijg je de waarden c en d van de functie f. De punten A en B lijken in de figuur even ver van de x-as te liggen.

4p.	8.	Onderzoek op exacte wijze of A en B inderdaad even ver van de x-as liggen.

Tekenrobot.

Een tekenrobot is een apparaat dat zelf kan tekenen. In deze opgave wordt een tekenrobot met een scharnierbare tekenarm bekeken. De tekenarm bestaat uit de beweegbare delen OB en BP. Zie de volgende figuur.



In de figuur hieronder is in een assenstelsel een bovenaanzicht weergegeven van de scharnierbare tekenarm. De lengte van OB is 10 cm en de lengte van BP is 5 cm. De oorsprong is een vast punt. De tekenarm draait om dit punt. In punt B scharniert de tekenarm, waardoor BP om punt B kan draaien. De delen OB en BP maken een hoek β met elkaar.



De tekenrobot tekent met punt P. Om een deel van een cirkel met middelpunt O te tekenen, moet hoek β op een vaste waarde worden ingesteld. Door de tekenarm vervolgens rond de oorsprong te draaien, tekent punt P de cirkelboog. De straal OP van de getekende cirkelboog hangt af van hoek β. Er moet een cirkelboog met middelpunt O en straal 14 cm worden getekend.

3p.	9.	Bereken op hoeveel graden hoek β moet worden ingesteld. Geef je eindantwoord in gehelen.

Bij een andere tekenrobot hebben de twee beweegbare delen van de tekenarm allebei lengte 10 cm, dus OB = BP = 10.
Een punt R wordt in het assenstelsel geplaatst zodat lijnstuk OR een hoek van 50 graden maakt ten opzichte van de positieve x-as. Zie de figuur hiernaast. De afstand van punt R tot de oorsprong is 20 cm. De tekenrobot moet lijnstuk OR gaan tekenen. Hij beweegt daarom punt P in een rechte lijn van O naar R.
In onderstaande figuur is voor verschillende momenten (a, b, c, d en e) het bovenaanzicht van de tekenarm weergegeven tijdens het tekenen. In de beginstand liggen beide delen van de tekenarm op elkaar en staan ze loodrecht op lijnstuk OR. Punt P bevindt zich in de oorsprong.



De hoek die lijnstuk OB maakt met de positieve x-as, is aangegeven met α. In eerste instantie is hoek α groter dan 90 graden. Tijdens het tekenen van de lijn wordt hoek α steeds kleiner tot uiteindelijk 50 graden. In de situatie van figuur c geldt dat a = 90°

4p.	10.	Bereken de lengte van lijnstuk OP in figuur c. Geef je eindantwoord in cm in één decimaal.

Om de positie van een willekeurig punt R vast te leggen moeten de helling en lengte van lijnstuk OR in de tekenrobot worden ingevoerd. Lijnstuk OR wordt ingevoerd met lengte 20 cm en richtingscoëfficiënt 2. In de onderstaande figuur is de eindpositie van de tekenarm van de tekenrobot getekend.



4p.	11	Bereken in deze situatie algebraïsch de coördinaten van punt R. Geef je eindantwoord in cm in één decimaal.

Exponentiële functies.

De functie f wordt gegeven door


De grafiek van f wordt eerst 2 naar rechts verschoven en daarna vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as met ⁸/₃ Zo ontstaat de grafiek van de functie g. Deze functie kan worden geschreven als g(x) = ¹/₆ · 4^x

4p.	12.	Bewijs dit.

Op de grafiek van g ligt een punt S met y-coördinaat 5. Op de grafiek van g ligt ook een punt P zó, dat de afstand van P tot de y-as de helft is van de afstand van S tot de y-as. Zie de figuur.



De y-coördinaat van P is te schrijven als ¹/₆Ö30

5p.	13.	Bewijs dit.

Product van functies.

De functie f is gegeven door f(x) = x³ - 6x² + 9x Deze functie heeft één maximum en één minimum.

4p.	14.	Bereken exact het minimum van de grafiek.

De grafiek van f heeft twee gemeenschappelijke punten met de x-as, bij x = 0 en x = 3 . Verder is gegeven de functie h(x) = x² - 2x - 1. De functie f wordt vermenigvuldigd met de functie h. Zo ontstaat de functie v(x) = (x³ - 6x² + 9x) · (x² - 2x - 1). Zie de volgende figuur.



De grafiek van v heeft vier punten gemeenschappelijk met de x-as.

4p.	15.	Bereken exact de x-coördinaten van deze vier punten.

De grafiek van v heeft vier toppen. De horizontale lijn met vergelijking y = p heeft 1, 2, 3, 4 of 5 punten gemeenschappelijk met de grafiek van v. Het aantal gemeenschappelijke punten hangt af van de waarde van p. In de figuur linksonder zie je een voorbeeld waarin de vergelijking y = p vier punten gemeenschappelijk heeft met de grafiek van v. In de figuur rechtsonder zijn voor twee verschillende waarden van p voorbeelden gegeven waarin de lijn y = p drie punten gemeenschappelijk heeft met de grafiek van v.



3p.	16.	Bereken voor welke waarden van p de lijn y = p vijf punten gemeenschappelijk heeft met de grafiek van v. Geef je eindantwoord zo nodig in één decimaal.

Auto's in Nederland.

Niet op elk moment in het jaar worden er evenveel nieuwe auto’s verkocht. Meestal worden de meeste nieuwe auto’s in januari verkocht. In een toenamediagram kan de toename of afname van het verkochte aantal nieuwe auto’s per maand ten opzichte van de maand ervoor worden getoond. In de figuur is het toenamediagram gegeven van de aantallen verkochte nieuwe auto’s in de eerste drie maanden van het jaar 2015. De aantallen auto’s zijn afgerond op duizendtallen.



Verder is bekend dat er in de maand februari 31,25% minder nieuwe auto’s zijn verkocht dan in januari.

4p.	17.	Bereken het totaal aantal nieuwe auto’s dat in de eerste drie maanden van 2015 is verkocht.

Tussen 1990 en 2016 is het totale aantal auto’s in Nederland bij benadering lineair gegroeid:
-	Op 1 januari 1990 waren er in totaal 5,2 miljoen auto’s.
-	Op 1 januari 2016 was dit totale aantal 8,1 miljoen.

Bij deze auto’s zijn ook elektrische auto’s. Het aantal elektrische auto’s is tussen 2010 en 2016 bij benadering exponentieel gegroeid:
-	Op 1 januari 2010 waren er 40 duizend elektrische auto’s.
-	Op 1 januari 2016 was dit aantal 211 duizend.

Iemand doet in 2016 de volgende uitspraak: “Als het totale aantal auto’s lineair blijft toenemen en het aantal elektrische auto’s exponentieel blijft toenemen, dan is op 1 januari 2027 bijna de helft van de auto’s in Nederland elektrisch.”

6p.	18.	Toon aan dat de uitspraak klopt door het verwachte percentage elektrische auto’s op 1 januari 2027 te berekenen. Geef je eindantwoord in gehele procenten.

UITWERKING

Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.

1.	f(x) = Ö(3x + 6) = (3x + 6)^0,5 f '(x) = 0,5 · (3x + 6)^-0,5 · 3 (3 van de kettingregel) f '(1) = 0,5 dus de raaklijn is y = 0,5x + b Punt (1,3) invullen geeft 3 = 0,5 · 1 + b dus b = 2,5 De raaklijn is y = 0,5x + 2,5

2.	Het randpunt zit bij Ö0, dus als 3x + 6 = 0 Dat geeft x = -2 en randpunt (-2, 0) Dat is de top van de parabool. Een formule is dan y = a(x + 2)² + 0 Punt (1, 3) invullen: 3 = a · 3² + 0 geeft a = ¹/₃ De parabool is g(x) = ¹/₃(x + 2)²

3.	O en A: 2¹/₂sin(¹/₂x) = 0 sin(¹/₂x) = 0 ¹/₂x = 0 + k2p Ú ¹/₂x = p + k2p x = 0 + k4p Ú x = 2p + k4p O = (0,0) en A = (2p, 0) dus OA = 2p D en E: 2¹/₂sin(¹/₂x) = 1¹/₄Ö3 sin(¹/₂x) = ¹/₂Ö3 ¹/₂x = ¹/₃p + k2p Ú ¹/₂x = ²/₃p + k2p x = ²/₃p + k4p Ú x = ⁴/₃p + k4p D = (²/₃p , 1¹/₄Ö3) en E = ( ⁴/₃p , 1¹/₄Ö3) dus D = ²/₃p Dan is OA: ²/_2/3 = 3 keer zo lang als DE

4.	De helling is ^{(g(0,01) - g(0))}/_0,01 g(0,01) = v · sin(¹/₆₀₀) g(0) = v · sin(0) = 0 Dus de helling is v · sin(¹/₆₀₀) / 0,01 = 100v · sin(¹/₆₀₀) 100v · sin(¹/₆₀₀) = 1,25 0,166...v = 1,25 v = 7,5

5.	Het middelpunt is (12.5, 0) en de straal is 12,5 Dan is de vergelijking: (x - 12.5)² + y² = 12,5² x² - 25x + 156,25 + y² = 156,25 x² - 25x + y² = 0 y² = 25x - x² q.e.d.

6.	y² = 225 - x² en die heeft straal 15 y² = 25x - x² Snijpunten: 225 - x² = 25x - x² 25x = 225 x = 9 y = 12 Ú y = -12 dus Q = (9, -12) OQ² = 9² + (-12)² = 225 dus OQ = 15 en dat is inderdaad de straal van de cirkel. A = (25,0) dus k heeft helling ^{(-12 - 0)}/_{(9 - 25)} = ³/₄ OQ heeft helling ^-12/₉ = ^-4/₃ Dat staat inderdaad loodrecht op elkaar want met elkaar vermenigvuldigd geeft het -1.

7.	f(x) = cx² + dx f '(x) = 2cx + d dus f '(2) = 4c + d en dat moet -¹/₂ zijn. dus f '(6) = 12x + d en dat moet 3¹/₂ zijn.

8.	4c + d = -¹/₂ geeft d = -¹/₂ - 4c 12c + d= 3¹/₂ geeft dan 12c - ¹/₂ - 4c = 3¹/₂ 8c = 4 c = ¹/₂ d = -¹/₂ - 4 · ¹/₂ = -2¹/₂ y_A = f(2) = ¹/₂ · 2² - 2¹/₂ · 2 = -3 y_B = f(6) = ¹/₂ · 6² - 2¹/₂ · 6 = 3 Dat ligt inderdaad even ver van de x-as af.

9.	OP = 14 gebruikt de cosinusregel in driehoek OPB: 14² = 5² + 10² - 2 · 5 · 10 · cos(b) 196 = 25 + 100 - 100· cos(b) 71 = -100 · cos(b) -0,71 = cos(b) b = 135°

10.	Als a = 90 dan is hoek BOP = 90° - 50° = 40° Dan is hoek BPO ook 40 want de driehoek is gelijkbenig. Dan is hoek PBO gelijk aan 180° - 2 · 40° = 100° Sinusregel in driehoek OBP: ^OP/_sin100 = ¹⁰/_sin40 Dat geeft OP = 15,3

11.	Voor punt R geldt: x² + y² = 20² Maar omdat y = 2x geeft dat x² + (2x)² = 400 5x² = 400 x² = 80 x = Ö80 en dan is y = 2Ö80 R = (8.9, 17.9)

12.	f(x) = 2 · 0,5¹^-^2x 2 naar rechts: h(x) = 2 · 0,5¹ ^-^2(x^-²⁾ = 2 · 0,5⁵^-^2x afstand x-as keer ⁸/₃: g(x) = ⁸/₃ · 2 · 0,5⁵^-^2x g(x) = ¹⁶/₃ · 0,5⁵ ^- ^2x = ¹⁶/₃ · 0,5⁵ ·0,5^{- 2x} = ¹⁶/₃ · ¹/₃₂ · (0,5^-2)^x = ¹_/6 · 4^x

13.	g(x) = ¹/₆ · 4^x 5 = ¹/₆ · 4^x 30 = 4^x x = ⁴log(30) de helft nemen geeft x = 0,5⁴log(30) = ⁴log(30^0,5) y = ¹/₆ · 4^x = ¹/₆ · 30^0,5 = ¹/₆Ö30

14.	f(x) = x³ - 6x² + 9x f ' = 0 3x² - 12x + 9 = 0 x² --4x + 3 = 0 (x - 3)(x - 1) = 0 x = 3 Ú x = 1 punten (3,0) en (1, 4) het minimum is 0 (bij x = 3)

15.	v(x) = (x³ - 6x² + 9x) · (x² - 2x - 1) x³ - 6x² + 9x = 0 Ú x² - 2x - 1 = 0 x(x² - 6x + 9) = 0 Ú x² - 2x - 1 = 0 x = 0 Ú x² - 6x + 9 Ú x² - 2x - 1 = 0 x = 0 Ú (x - 3)² = 0 Ú x = ^(2 ±^{Ö(4 + 4))}/₂ x = 0 Ú x = 3 Ú x = 1 + ¹/₂Ö8 Ú x = 1 - ¹/₂Ö8

16.	Er zijn 5 snijpunten als p tussen de y van de derde top en de y van de vierde top ligt. GR: calc - maximum en calc - minimum y derde top = 0,23 y vierde top = 0 Dus 5 snijpunten als 0 < p < 0,2

17.	15000 auto's is 31,25% van januari Dan is 100% in januari ¹⁵⁰⁰⁰/_31,25 · 100 = 48000 auto's in januari Dan zijn er in februari 48000 - 15000 = 33000 auto's verkocht Dan zijn er in maart 33000 - 4000 = 29000 auto's verkocht. Het totaal is dan 48000 + 33000 + 29000 = 110000

18.	Het totaal neemt lineair toe. De toename is 8,1 - 5,2 = 2,9 in 26 jaar Dat is per jaar ^2,9/₂₆ = 0,111.... miljoen In 2027 zijn er dan 5,2 + 0,11 · 37 = 9,32 milhjoen De elektrische auto's nemen exponentieel toe. Het aantal neemt oin 6 jaar met een factor ²¹¹/₄₀ = 5,275 toe Dat is per jaar een factor 5,275^1/6 = 1,3193.... in 2027 zal het aantal dan 40 · 1,3193...¹⁷ = 4449,....duizend zijn (4,44.... miljoen) het percentage is ^4,44/_9,32 · 100% = 48% dus de uitspraak klopt.

HAVO WB, 2026 - II