HAVO WB, 2021 - II

 

Rakende grafieken.
       
De functie f is gegeven door

       
De grafiek van f snijdt de x-as in punt A en de y-as in punt B. Zie de figuur.
       

       
4p. 1. Bereken exact de afstand tussen A en B.  
     

 
De functie g is gegeven door  g(x) = -2x2 + 3x + p.  De grafieken van f en g raken elkaar in het punt C. Zie onderstaande figuur.
       
De x-coördinaat van C noemen we xC en er geldt:   xC ≈ 0,81
     

3p. 2. Bereken p. Geef je eindantwoord in één decimaal.
   

 
Dat de grafieken van f en g elkaar raken in punt C betekent dat de helling van beide grafieken in dat punt gelijk is. De x-coördinaat van C is hierboven in twee decimalen benaderd.
     
6p. 3. Bereken met behulp van differentiëren de waarde van xC nauwkeuriger. Geef je eindantwoord in drie decimalen.
     

  
Stedelijke gebieden.
       
De Amerikaan Bettencourt heeft onderzoek gedaan naar een mogelijk verband tussen het aantal inwoners N en de lengte van het wegennet W in mijlen in een stedelijk gebied. Om van een aantal stedelijke gebieden de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is van elk gebied log(W) uitgezet tegen log(N). Het resultaat is de puntenwolk in de figuur.
       

       
Bettencourt heeft een verband tussen log(W) en log(N) opgesteld. In de figuur is de lijn l getekend die dit verband weergeeft.
       
3p. 4. Bepaal met behulp van lijn l de lengte van het wegennet in een gebied met 1 miljoen inwoners. Geef je eindantwoord in honderden mijlen.
     

 
Een formule voor l is van de vorm
   

log(W) = a • log(N) + b

  
       
Uit de figuur volgt dat een gebied met 100000 inwoners een wegennet heeft van ongeveer 650 mijl en een gebied met 10000000 inwoners een wegennet heeft van ongeveer 31000 mijl.
       
4p. 5. Bereken a en b met behulp van deze gegevens. Geef de getallen in je eindantwoord in twee decimalen.
     

 
In zijn onderzoek komt Bettencourt tot de formule:

       
Voor de volgende vraag vergelijken we twee stedelijke gebieden met elkaar: gebied A en gebied B. Voor gebied B geldt dat het twee keer zoveel inwoners heeft als gebied A.
       
3p. 6. Bereken met behulp van deze laatste formule hoeveel procent de lengte van het wegennet van gebied B groter is dan de lengte van het wegennet van gebied A. Geef je eindantwoord in hele procenten.
     

 
De verhouding tussen N en W wordt verkeersdruk D genoemd.  Dus  D = N/W
Hierin is D het aantal inwoners per mijl.

In de praktijk geldt: als in een stedelijk gebied het aantal inwoners toeneemt, neemt de verkeersdruk ook toe (ondanks de toename van de lengte van het wegennet).

Voor D moet dus gelden dat de grafiek van D als functie van N stijgend is. In drie stappen kan dit worden onderzocht:
a. Druk D  uit in N.
b. Bepaal de afgeleide dD/dN van de bij stap a gevonden formule.
c. Onderzoek of deze afgeleide voor alle waarden van N groter is dan 0.
       
4p. 7. Onderzoek met dit stappenschema of de grafiek van D als functie van N inderdaad stijgend is.
     

  
       
Rechthoek om cirkels.
       
Cirkel c1 met middelpunt M1 wordt gegeven door  x2 + (y - 3)2 = 9.
Cirkel c2 met straal 2 en middelpunt M2 raakt c1 .
       
De twee cirkels worden omsloten door een rechthoek ABCD zodanig dat:
- de hoekpunten A en B op de x-as liggen;
- de lengte van zijde AD gelijk is aan de diameter van c1 ;
- c1 de zijden AB, CD en AD raakt;
- c2 de zijden BC en CD raakt.
       
Zie de figuur.
       

       
5p. 8. Bereken exact de coördinaten van M2 .
     

 
Verder is gegeven cirkel c3 met middelpunt M3 . Deze cirkel raakt c2 en de zijden AB en BC. Zie onderstaande figuur.
       

       
In deze figuur is ook de driehoek M2M3N aangegeven, waarbij punt N dezelfde x-coördinaat heeft als M3 en dezelfde y-coördinaat als M2 .
In driehoek M2M3N  is α = ∠M2M3N en is hoek N een rechte hoek.
Er geldt:

       
Hierin is r de straal van c3. Zie de figuur.
       
3p. 9. Bewijs de juistheid van deze formule.  
     

  
Exoten en rodelijstsoorten.
       
De bruine rat, de Japanse oester en de Amerikaanse vogelkers zijn voorbeelden van dier- en plantensoorten die oorspronkelijk niet in Nederland voorkwamen, maar die bewust of onbewust door de mens in Nederland zijn ingevoerd. Zulke soorten worden exoten genoemd.

In onderstaande figuur is voor de periode 1910 – 2000 eens per tien jaar, telkens op 1 januari van het aangegeven jaar, het aantal exoten in Nederland weergegeven. In deze figuur is ook een grafiek weergegeven die de ontwikkeling van deze aantallen benadert.
       

       
Uit de figuur valt af te lezen dat het aantal exoten in Nederland in de periode van 1 januari 1910 tot 1 januari 1950 van 22 tot 46 is toegenomen.

Neem aan dat het aantal exoten sinds 1 januari 1910 exponentieel is gegroeid. Dan volgt uit de gegevens voor de periode 1910 – 1950 dat dit aantal elke tien jaar met ongeveer 20% is toegenomen.

       
4p. 10. Bereken met behulp van de gegevens van 1910 en 1950 dit percentage nauwkeuriger. Geef je eindantwoord in één decimaal.
       
We gaan bij de volgende vraag uit van een toename van 20% per tien jaar.
     

 
4p. 11. Bereken na hoeveel jaar het aantal exoten volgens de bovenstaande exponentiële groei voor het eerst verdubbeld is. Geef je eindantwoord in hele jaren.
     

 
Er bestaat een zogenaamde rode lijst van diersoorten in Nederland die met uitsterven bedreigd worden. Daarom worden deze diersoorten ook wel rodelijstsoorten genoemd.

In onderstaande figuur is de ontwikkeling van de rodelijstsoorten in de periode 1997 – 2012 te zien. Hierbij zijn de aantallen aangegeven als percentage ten opzichte van het aantal in 1997.

In onderstaande figuur is ook een rechte lijn getekend die de ontwikkeling van het aantal rodelijstsoorten benadert. Volgens deze benadering neemt het aantal rodelijstsoorten vanaf 1997 lineair af.

       

       
In 2004 was het werkelijke aantal rodelijstsoorten 694.

Met behulp van de lineaire afname volgens de getekende rechte lijn werd in 2013 een voorspelling gedaan voor het aantal rodelijstsoorten in 2020. Het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020 bleek 551 te zijn. Dit aantal is duidelijk hoger dan het aantal volgens de voorspelling.

       
5p. 12. Bereken hoeveel het daadwerkelijke aantal rodelijstsoorten in 2020 verschilt met de voorspelling volgens de rechte lijn. Gebruik hiervoor de figuur.
     

  

 

Drie snijpunten.
       
Op het domein [0, 3π]  is de functie f gegeven door

f(x) = -1 + 2sin(x - 2/3π)

Op het gegeven domein is het punt P de eerste top rechts van de y-as van de grafiek van f. Zie de figuur.
       

       
4p. 13. Bereken exact de coördinaten van P.
     

 
De punten A, B en C zijn de drie snijpunten van de grafiek van f met de x-as. Lijnstuk BC is a keer zo lang als lijnstuk AB.
       
5p. 14. Bereken exact de waarde van a.
     

  

 

Functie met log.
       
De functie f is gegeven door:

       
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B. De asymptoten van de grafiek van f snijden de x-as in S en O.
Zie de figuur.
       

       
3p. 15. Bereken exact de x-coördinaat van S.
     

 
5p. 16. Bereken exact de coördinaten van A en B.  
     

 
Op het domein  〈0, →〉  is functie f ook te schrijven als:   f(x) = 1/2 - 4log(x) - 4log(2x + 3)
       
3p. 17. Toon dit aan.
     

  

 

In de schijnwerper.
       

    bron: Shutterstock - ID 88188496 - fotograaf SkillUp
   
Een lichtspot geeft een bundel licht. Zie de foto. Voor de lichtbundel van een bepaalde lichtspot geldt dat in figuur 1 een zijaanzicht de buitenste lichtstralen een hoek van 50° met elkaar maken. Zie de figuur  hiernaast.

Deze lichtspot hangt 300 cm boven een vloer. Als de lichtbundel recht naar beneden wordt gericht, ontstaat op de vloer een cirkelvormige lichtvlek. In de figuur hieronder is een zijaanzicht van deze situatie schematisch weergegeven. Hierin is S de lichtspot.

       
3p. 18. Bereken de oppervlakte van de cirkelvormige lichtvlek. Geef je eindantwoord in gehele cm2.
     

 
De lichtspot kan gedraaid worden, zodat de lichtbundel ook op andere delen van de vloer gericht kan worden. Hierbij blijft in een zijaanzicht de hoek tussen de buitenste lichtstralen 50°. Het is mogelijk om de lichtspot zo ver naar rechts te draaien dat er een 500 centimeter lange lichtvlek op de vloer ontstaat. Een zijaanzicht van deze situatie is in onderstaande figuur schematisch weergegeven.
       

       
In deze figuur is PQ de lengte van de lichtvlek. V is het punt op de vloer recht onder S
en  α = ∠VSP .
Er geldt dus: ∠PSQ = 50°.
∠SQV is uit te drukken in α . Met behulp van de sinusregel in driehoek PSQ kan SP ook uitgedrukt worden in α.
Er geldt: 
    SP ≈ 653 • sin (40°- α)         (1)  
       
3p. 19. Toon dit aan.  
     

 
In driehoek VSP geldt:

       
Met behulp van formule (1) en formule (2) is hoek α te berekenen.
       
4p. 20. Bereken hoeveel graden de lichtspot vanuit de beginsituatie, waarin hij recht naar beneden staat gericht, naar rechts gedraaid moet worden om de situatie van met PQ = 500 te krijgen. Geef je eindantwoord in gehele graden.
     

  

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. punt A:  y = 0
1/√(3x + 1) - 2 =  0
1/√(3x + 1) = 2
√(3x + 1) = 1/2
3x + 1 = 1/4
3x = -3/4
x = -1/4  dus  A = (-1/4, 0)

punt B:  x = 0 geeft  y = 1/√(3 • 0 + 1) - 2 = -1  dus  B = (0, -1)  

De afstand is dan (met Pythagoras):  √((1/4)2 + (1)2) = √(17/16) = 1/4√17 

   
2. f(0,81) =  1/√(3 • 0,81 + 1) - 2 = -1,46... Dus C = (0.81, -1.46)
Dan moet g daar ook door gaan:
-2 • (-0,81)2 + 3 • 0,81 + p = -1,46
1,1178 + p = -1,46
p = -2,57 ≈ -2,6
   
3. Als de grafieken elkaar raken moeten hun hellingen gelijk zijn, dus  f ' = g '
f(x) = 1/√(3x + 1) - 2  = (3x + 1)-0,5 - 2
f ' = -0,5 • (3x + 1)-1,5 • 3   (die 3 komt van de kettingregel)
g ' = -4x + 3
Y1 =  -0,5 • (3x + 1)-1,5 • 3
Y2 =  -4x + 3
Intersect levert  x = 0,809
   
4. log(N) = log(1000000) = 6
aflezen:  dan is log(W) = 3,6
dan is W = 103,6  = 4000 mijl
   
5.

log(650) = a • log(100000) + b
dat geeft  2,81.... = 5a + b       ....(1)

log(31000) = a • log(10000000) + b
dat geeft 4,49... = 7a + b         ....(2)

Uit de eerste volgt b = 2,81 - 5a  en dat kun je invullen in de tweede:
4,49 = 7a + 2,81 - 5a
1,678... = 2a
a = 0,839... = 0,84
Dan is b = 2,81... - 5 • 0,839... = -1,3832...= -1,38
   
6. WA = 0,043 • NA5/6
NB = 2 • NA
Dat geeft  WB = 0,043 • NB5/6 = 0,043 • (2NA)5/6 = 0,043 • 25/6 • NA5/6 = 1,78 • 0,043 • NA5/6 = 1,78WA
WB = 1,78WA dus de lengte van wegennet B is ongeveer 78% groter dan de lengte van wegennet A.
   
7. D = N/W = N/(0,043N5/6)  = 1/0,043 • N1- 5/6 = 23,2 • N1/6
D ' = 1/6 • 23,2 • N-5/6 = 3,87 • N-5/6
Voor N positief is  N-5/6 = 1/N5/6  ook positief.
Dus D' is positief
Dus de grafiek van D stijgt
   
8. De straal van c1 is 3 dus M1 = (0,3)
De straal van c1 is 3, dus de hoogte van lijn CD is  y = 6
De straal van c2 is 2 dus de hoogte van M2 is  6 - 2 = 4
M1M2 = 3 + 2 = 5
Pythagoras in driehoek M1M2Q hiernaast:
M2Q2 = 52 - 12 = 24
M2Q = √24
Dus  M2 = (√24, 4)
   
9. M2M3 = r + 2  (stralen van de cirkels)
trek M2N door naar recht tot de rechthoek en noem dat punt R
Dan is M2R = 2  (straal van c2)  en  NR = r  (straal van c3)
dus M2N = 2 - r
SOS-CAS-TOA in de driehoek geeft dan sinα = (2 - r)/(r + 2)
   
10. van 22 tot 46 toenemen betekent een factor  46/22 = 2,09...
Dat is in 4 periodes van 10 jaar dus  g4 = 2,09...
Dan is g = 2,09...1/4 = 1,2024...
Dat betekent een toename van 20,2% per 10 jaar
   
11. Bij verdubbeling geldt  gt = 2
Dus 1,20t = 2
t = 1,20log(2) = log(2)/log(1,20) = 3,80178...
Dat zijn periodes van 10 jaar, dus na 39 jaar is het voor het eerst verdubbeld.
   
12. aflezen:  2004 geeft  89%
 
 
% 100 89
echt ?? 694
  ?? = 100 • 694/89 = 780 soorten in 1997
De afname is dus 86 soorten in 7 jaar dus per jaar 12,285... soorten
in 2020 zijn er dan  780 - 23 • 12,285... = 498 soorten
Dat scheelt 551 - 498 = 53 soorten.

(opm. eigenlijk is het aantal soorten elke keer een geheel getal, dus die 12,285... moet je maar zien als een gemiddeld aantal)
   
13. Het beginpunt van deze sinusoide zit bij x = 2/3π
De periode is 2π
Het minimum zit een kwart van de periode  rechts naast het beginpunt,
dus bij  2/3π - 2/4π = 1/6π
De amplitude is 2 en de evenwichtslijn is -1 dus de hoogte van de tops is -1-2 = -3
dus P = (1/6π, -3)
   
14. -1 + 2sin(x - 2/3π) = 0
2sin(x - 2/3π) = 1
sin(x - 2/3π) = 1/2
x - 2/3π = 1/6π + k2π  ∨  x - 2/3π = 5/6π + k2π
x = 5/6π + k2π  ∨  x = 9/6π + k2π
Dat geeft de snijpunten  5/6π,  9/6π,  17/6π,  
xA = 5/6π  en  xB = 9/6π  dus  AB = 4/6π
xB = 9/6π  en  xC = 17/6π dus  BC = 8/6π
Dus BC is 2 keer zo groot als AB dus a = 2
   
15. we vinden de verticale asymptoten als er door nul wordt gedeeld, dus 2x2 + 3x = 0
x(2x + 3) = 0
x = 0  ∨  2x + 3 = 0
x = 0  ∨  x = - 3/2
De x-coördinaat van S is dus -3/2
   
16.

  2x2 + 3x - 2 = 0
x = (-3 ± √25)/4   (ABC formule)
x = -2  ∨  x = 1/2
Dus  A (-2, 0) en B = (1/2, 0) 
   
17.

  = 1/2 - (4log(x) + 4log(2x + 3))
Dat geeft de gevraagde formule.
   
18. Noem de straal van de lichtvlek r, dan geldt met SOS-CAS-TOA:
tan(25) = r/300
r = 300 • tan(25) = 139,89...
De oppervlakte is dan πr2 = π • (139,89...)2 = 61480,5123... = 62481 cm2
   
19. ∠VSQ = 50 + α
dus ∠SQV = 180 - 90 - ∠VSQ = 180 - 90 - (50 + α) = 40 - α
sinusregel in driehoek PSQ:  SP/sin(40 - α) = 500/sin(50) = 653,70...
dus SP = sin(40 - α) • 653,70...  ≈ 653 • sin(40 - α)
   
20. 653 • sin(40 - α) = 300/cos(α) 
Y1 = 653 * sin(40 - X)
Y2 = 300/cos(X)
intersect geeft  X = α = 11,9...
De spot moet dan over 11,9 + 25  ≈  37°worden gedraaid.