HAVO WB, 2018 - II

 

Piano.
       

In de volgende figuur zijn de witte en zwarte toetsen van een gewone piano getekend. In totaal heeft deze piano 88 toetsen.
       

De toetsen worden genummerd van links naar rechts. Zie onderstaande figuur, waarin de eerste vijftien toetsen met de bijbehorende volgnummers zijn getekend.
       

       

De tonen die met de toetsen van de piano voortgebracht worden, hebben verschillende frequenties. Hoe verder een toets naar rechts zit, hoe groter de frequentie van de bijbehorende toon. Bij de toets met volgnummer 1 hoort een toon met een frequentie van 27,5 Hz (hertz). Bij de toets met volgnummer 49 hoort een toon met een frequentie van 440 Hz.

Het verband tussen het volgnummer van een toets en de frequentie van de bijbehorende toon is exponentieel. Dus: wanneer je achtereenvolgens de toetsen van links naar rechts bespeelt, neemt de frequentie van de opeenvolgende tonen telkens met hetzelfde percentage toe.
       

4p.

1.

 Bereken algebraïsch dit percentage in twee decimalen nauwkeurig.
       

In de twintigste eeuw is de digitale piano ontwikkeld. Dit instrument, dat ook 88 toetsen heeft, bootst een gewone piano na. Bij digitale piano’s wordt een andere nummering voor de toetsen gebruikt: elke toets van de digitale piano heeft een zogeheten MIDI-nummer. Zie onderstaande figuur, waarin de eerste vijftien toetsen met de bijbehorende MIDI-nummers zijn getekend.
       

       

De frequentie van de toon die bij een bepaalde toets hoort, kan worden berekend met de volgende formule:
       

       
Hierin is f de frequentie van de toon in Hz en m het MIDI-nummer van de bijbehorende toets.
Algemeen wordt gesteld dat het menselijk gehoor in staat is om tonen met een frequentie tussen 20 Hz en 20000 Hz waar te nemen. Iemand wil daarom de digitale piano uitbreiden met een aantal toetsen met MIDI-nummers zodat zoveel mogelijk tonen met frequenties tussen 20 Hz en 20000 Hz voorkomen.
       

5p.

2.

Bereken met bovenstaande formule hoeveel toetsen zo’n piano dan zal hebben.
       
Twee paren punten op een cirkel.
       

De cirkel c met middelpunt M is gegeven door de vergelijking  x2 + y2 - 10x + 16y = 56
Lijn l is de lijn door het punt A(4, 4) met richtingscoëfficiënt –1. Deze lijn snijdt de cirkel behalve in het punt A ook in het punt B. Zie onderstaande figuur.
       

       

5p.

3.

 Bereken exact de coördinaten van B.
       

De cirkel heeft twee snijpunten met de x-as. Dit zijn de punten C(-4, 0) en D(14, 0) . In onderstaande figuur  zijn de stralen MC en MD getekend.

       

       

6p.

4.

Bereken ∠CMD . Geef je eindantwoord in graden en rond af op één decimaal.
       

 

Logaritme van een kwadratische functie
       

De functie f wordt gegeven door:   f(x) = 2log(x2 - 3x + 3)

In de volgende figuur is de grafiek van f weergegeven
       

       

De grafiek van f  lijkt geen verticale asymptoot te hebben. De grafiek van de standaardfunctie y = 2log(x) heeft wél een verticale asymptoot.
       

3p.

5.

 Bewijs dat de grafiek van f inderdaad geen verticale asymptoot heeft.
       

Gegeven is het punt P(4, 0) .

De grafiek van f wordt over een afstand a naar rechts verschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie g.
Er zijn twee waarden van a waarvoor de grafiek van g door P gaat. Zie onderstaande figuur.
       

       

5p.

6.

 Bereken exact deze twee waarden van a.
       

 

Trapezium.
       

Een trapezium is een vierhoek met twee evenwijdige zijden.
Gegeven is trapezium ABCD waarvan de zijden AB en CD evenwijdig zijn.
Verder geldt: AB = 6, AC = 5, AD = 3, ∠B = 55º en ∠ACB > 90º .

De afstand tussen AB en CD, de hoogte van het trapezium, is h.
Zie de figuur.
       

       
Afgerond op twee decimalen is ∠BAC gelijk aan 24,41º.
       

4p.

7.

Bereken ∠BAC algebraïsch en rond je eindantwoord af op drie decimalen.
       

De oppervlakte van het trapezium is te berekenen met de volgende formule:
 

       

5p.

8.

Bereken de oppervlakte van het trapezium met behulp van deze formule. Rond je eindantwoord af op één decimaal.

       
Productiviteit.
       
 

Werken op een hete zomerdag kost meer moeite dan op een dag met een temperatuur van een graad of twintig.
In deze opgave kijken we hoe de omgevingstemperatuur invloed heeft op de productiviteit. Met dit begrip bedoelen we: de hoeveelheid werk die een mens gemiddeld verzet.

Op de Helsinki University of Technology is hier onderzoek naar gedaan.

De resultaten van het onderzoek zijn verwerkt in de grafiek in de figuur. De productiviteit P op de verticale as geeft aan hoe hoog de productiviteit is ten opzichte van de maximale productiviteit. Zo zie je dat bij een temperatuur van 15ºC de productiviteit 90% is van wat maximaal mogelijk is.

De grafiek in de figuur kan worden benaderd met de volgende formule:

P = 0,00623T 3 - 0,58274T 2 + 16,47524T - 46,76666

Hierbij is P de productiviteit in procenten ten opzichte van de maximale productiviteit en T de temperatuur in graden Celsius (ºC). De formule geldt voor 15 ≤ T ≤ 35.

De temperatuur waarbij de productiviteit volgens de formule maximaal is, noemt men de ideale temperatuur.
Iemand vraagt zich af door welke verandering van de temperatuur de productiviteit het meest afneemt:
- twee graden daling ten opzichte van de ideale temperatuur
óf
- twee graden stijging ten opzichte van de ideale temperatuur
       

4p.

9.

Onderzoek, zonder gebruik te maken van de figuur, door welke van deze twee veranderingen de productiviteit het meest afneemt.
       

Voor temperaturen vanaf 30ºC tot en met 35ºC kan P goed benaderd worden door een formule van de volgende vorm:

Pbenaderd = a • T + b

Hierbij kunnen a en b zo gekozen worden dat Pbenaderd voor T = 30 en T = 35 dezelfde uitkomsten geeft als de formule voor P.
       

3p.

10.

Bereken deze waarden van a en b. Rond in je eindantwoord a af op drie decimalen en b op één decimaal.
       

 

Sinus.
       

Op het domein7  [-8/7, 8/7]  wordt de functie f gegeven door f (x) = 3sin(πx) .

De lijn l is de lijn met vergelijking y = 3/2 .
Lijn l snijdt de grafiek van f  in de punten P en Q. Zie de figuur.
       

       

3p.

11.

 Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.
       

De grafiek van f snijdt de positieve x-as in het punt A. De grafiek van f  heeft een top rechts van de y-as. Dit is punt T. De punten A en T zijn in onderstaande figuur aangegeven.

Er bestaat één derdegraadsfunctie g waarvoor geldt:
- het functievoorschrift is van de vorm g(x) = ax3 + bx
én
- de grafiek gaat door A en T.

De grafiek van g is groen getekend in onderstaande figuur.
       

       

Uit bovenstaande gegevens volgt: a + b = 0  en  1/8a + 1/2b = 3
       

4p.

12.

 Toon dit aan.  
       

3p.

13.

 Bereken exact de waarden van a en b.
       

 

Gebroken Functies.
       

Op het domein  〈0,→〉 zijn de functies f  en g gegeven door:

       
Op het gegeven domein hebben de grafieken van f en g één snijpunt.
       

4p.

14.

 Bereken exact de x-coördinaat van dit snijpunt.
       

De functies f en g zijn voorbeelden van functies met een functievoorschrift van de vorm
       

       
Met a > 0  en   domein  〈0,→〉
In onderstaande figuur is voor een aantal waarden van a de grafiek van h getekend.
       

       
De afgeleide van h wordt gegeven door:

       

3p.

15.

 Bewijs dit.
       

Voor elke waarde van a heeft de grafiek van h één top. In de volgende figuur is voor enkele waarden van a de top met een stip aangegeven.
       

       

De y-coördinaat van elke top in deze  figuur is gelijk aan 2.
Het is zelfs zo dat voor elke waarde van a (met a > 0 ) de y-coördinaat van de top van de grafiek van h gelijk is aan 2.
       

4p.

16.

 Bewijs dit.  
       

 

Macht en lijnen.
       
De functie f  is gegeven door:

       
De horizontale lijn met vergelijking y = 1/32  snijdt de grafiek van f  in twee punten.
       

3p.

17.

 Bereken exact de afstand tussen deze twee punten.  
       
Op de grafiek van f  ligt het punt A(1, 3/16)
De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt A. Lijn l snijdt de y-as in punt B. Zie de figuur.
       

       

5p.

18.

 Bereken exact de y-coördinaat van B.  
       

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. van 1 naar 49 is 48 stapjes, en dat geeft een totale vermenigvuldiging van 440/27,5 = 16
Dus g48 = 16
g= 161/48 = 1,05946...
Dat is een toename van 5,95%
   
2. 20 = 440 • 2(m - 698)/12 
2(m - 69)/12 = 0,04545...
(m - 69)/12 = 2log(0,04545...) = LOG(0,04545...)/LOG(2) = -4,4594...
m - 69 = -53,513...
m = 15,48

precies dezelfde berekening met 20000 ipv 20  geeft  m = 135,07
De MIDI nummers variëren van 16 tot en met 135
Dat zijn 120 toetsen.
   
3. Lijn door (4, 4) met rc = -1:   y = -x + b
4 = -4 + b  geeft b = 8 dus  y = -x + 8
Invullen in de cirkelvergelijking:   x2 + (-x + 8)2 - 10x + 16(-x + 8) = 56
x2 + x2 - 16x + 64 - 10x - 16x + 128 = 56
2x2 - 42x + 136 = 0
x2 - 21x + 68 = 0
(x - 4)(x - 17) = 0
x = 4 (wisten we al; die hoort bij A) ∨   x = 17
x = 17  geeft y = -9  dus  B = (17, -9) 
   
4. x2 + y2 - 10x + 16y = 56
x2 - 10x + 25 - 25 + y2 + 16y + 64 - 64 = 56
(x - 5)2 -25 + (y + 8)2 - 64 = 56
Het middelpunt is dus  M = (5, -8)
C = (-4, 0) dus MC heeft helling  (-8-0)/(5--4) = -8/9  En dat geeft hellingshoek  tan-1(-8/9) = -41,63...º
D = (14,0) dus MD heeft helling  (-8-0)/(5-14) = 8/9 en dat geeft hellingshoek  tan-1(8/9) = 41,63º

De hoek tussen MC en MD is dan 180 - 41,63 - 41,63 = 96,7º
   
5. 2log(x2 - 3x + 3) zou een asymptoot hebben als  x2 - 3x + 3 = 0
De discriminant van deze vergelijking is  (-3)2 - 4 • 1 • 3 = -3
Dat is negatief, dus er is geen oplossing
Dus er is geen asymptoot.
   
6. 2log(x2 - 3x + 3) = 0
x2 - 3x + 3 = 1
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 2)(x - 1) = 0
x = 1  ∨  x = 2
De grafiek van f gaat door  (1, 0) en (2, 0)
Dat moet (4, 0) worden, dus hij moet 3 of 2 naar rechts geschoven worden.
Dus  a = 2  of  a = 3
   
7. sinusregel:   5/sin55 = 6/sin∠ACB
sin∠ACB = 0,9829..
 ∠ACB = 79,41º maar dat is niet groter dan 90º dus je moet nemen ∠ACB = 180 - 79,41 = 100,585...
 ∠BAC = 180 - 55 - 100,585... = 24,415º
   
8. sin(24,415) = h/5  dus  h = 5 • sin(24,415) = 2,0667...

Noem de projectie van D op AB punt D'
Dan geldt   h2 + (AD')2 = 32   dus  AD'  = √(9 - 2,06672) = 2,174...

Noem de projectie van C op AB punt C'
Dan geldt   tan55 = h/BC'  dus  BC' = 2,0667/tan55 = 1,447...

DC = 6 - 1,447 - 2,174 = 2,3....
Oppervlakte is  2,0667. • (6 + 2,3....)/2 = 8,7   
   
9. (Dit mag allemaal met de GR maar ik doe het toch maar algebraïsch, omdat dat veel leuker is)

0,00623T 3 - 0,58274T 2 + 16,47524T - 46,76666
maximum:  dan is de afgeleide nul:   0,01869T2 - 1,16548T + 16,47524 = 0
ABC-formule:  T = (1,16548 ± 0,35588)/0,03738 = 40,7  ∨  21,65...
De laatste is de goede.

T = 21,65 + 2 = 23,65  geeft  P = 99,3...%
T = 21,65 - 2 = 19,65  geeft  P = 99,2...%

De productiviteit neemt het meest af bij een daling ten opzichte van de ideale temperatuur.
   
10. P(30) = 91,234...
P(35) = 83,121...
De lijn gaat door  (30,  91.234) en (35, 83.121)
Helling is  (83,121 - 91,234)/(35 - 30) = -1,622 = a
P = -1,622 • T + b
punt invullen:  91,234 = -1,622 • 30 + b  geeft  b = 139,9
   
11. 3sin(πx)  = 3/2
sin(πx) = 1/2
πx = 1/6π + k2π  ∨  πx = 5/6π + k2π
x = 1/6 + 2k  ∨  x = 5/6 + 2k
Dat geeft  xP = 1/6  en   xQ = 5/6
   
12. 3sin(πx)  heeft de top op 1/4 van de periode en dat is bij  x = 1/2  (de periode is 2)
T = (1/2, 3)  want de amplitude is 3.
invullen in de formule:  3 = a • (1/2)3 + b • 1/2 en dat geeft  1/8a + 1/2b = 3

A = (1, 0)
Invullen in de formule:  0 = a • 13 + b • 1  dus  a + b = 0
   
13. a + b = 0 geeft a = -b  en dat kun je invullen in de andere:
1/8 • -b + 1/2 • b = 3
3/8b = 3
b = 8
Dan is a = -b = -8
   
14. x + 1/x = x/4 + 4/x
vermenigvuldig met x:   x2 + 1 = x2 /4 + 4
vermenigvuldig met 4:   4x2 + 4 = x2 + 16
3x2 = 12
x2 = 4
x = 2  (of x = -2  maar dat zit niet in het domein)
   
15. h(x) = 1/a • x + ax -1  
 
   
16. bij het minimum geldt h ' = 0
Dan moet de teller van de breuk nul zijn, dus  x2 - a2 = 0
x2 = a2  geeft  x = a   (x = -a valt af vanwege het domein)
invullen:  h = a/a + a/a = 1 + 1 = 2
   
17.
  3 • 32 = 16x4
x4 = 6
x = 61/4  ∨  x = -61/4
de afstand daartussen is  2 • 61/4
   
18. f(x) = 3/16 • x-4
f '(x) = -4 • 3/16 • x-5
f '(1) = -4 • 3/16 • 1-5 = -3/4
(1, 3/16) invullen in  y = -3/4 • x + b  geeft  3/16 =-3/4 • 1 + b
Dan is b = 15/16 en dat is meteen de y-coördinaat van B.