HAVO WB, 2017 - I

 

Cirkel en Lijn
       

De cirkel c en de lijn l worden gegeven door c : x2 + y2 = 9 en l : y = -4/3x + 5 . Zie de figuur.

       

       
4p.

1.

Toon aan dat l raakt aan c.
     

 

Cirkel c snijdt de negatieve y-as in het punt A. Lijn l snijdt de x-as in het punt B. De lijn k is de lijn door A en B. Zie onderstaande figuur.

       

       
Lijnen k en l lijken elkaar loodrecht te snijden.
       
6p.

2.

Onderzoek of dit het geval is.
     
Experimenteren met bacteriën.
       

Wanneer men bij een experiment bepaalde bacteriën in een reageerbuis plaatst en voldoende voeding toedient, neemt het aantal bacteriën in de reageerbuis exponentieel toe.

Van zo’n experiment is in de volgende figuur log(N)
uitgezet tegen t. Hierin is N het aantal bacteriën in de reageerbuis en t de tijd in uren.

       

       

In deze figuur is af te lezen dat aan het begin van het experiment geldt dat log(N ) = 1 en dat na 8 uur geldt dat log(N ) = 7.
Uit het verband in deze figuur volgt dat het aantal bacteriën in de reageerbuis tijdens het experiment met ongeveer 3% per minuut toeneemt.

       
4p.

3.

Bereken dit percentage in één decimaal nauwkeurig.
     
3p.

4.

Bereken in hoeveel minuten het aantal bacteriën in de reageerbuis verdubbelt. Rond je eindantwoord af op hele minuten.

     

Om het aantal bacteriën in een reageerbuis te bepalen meet men het percentage doorgelaten licht. Er bestaat een verband tussen het percentage licht dat door een reageerbuis met bacteriën wordt doorgelaten en de zogeheten optische dichtheid. Dit verband wordt gegeven door de formule:

L = 100 • 10-D

Hierin is L het percentage doorgelaten licht en D de optische dichtheid.

Verder heeft men op basis van eerdere experimenten het verband tussen de optische dichtheid D en het aantal bacteriën in de reageerbuis N gevonden. Dit verband is weergegeven in de volgende figuur.

       

       

Tijdens een experiment laat een reageerbuis met bacteriën 84% van het licht door.

       
4p.

5.

Bepaal het aantal bacteriën in de reageerbuis. Geef je antwoord in miljoenen nauwkeurig en licht je antwoord toe. Maak daarbij gebruik van de figuur.

     

 

Twee functies met een wortel.
       

De functies f en g zijn gegeven door  f(x) = √x + 1/x  en  g(x) = 3√x - 3/x
Het punt S is het snijpunt van de grafieken van f en g. Zie de figuur.

       

       
De grafiek van f heeft één top. Dit blijkt punt S te zijn.
       
8p.

6.

Bewijs dat S een top is van de grafiek van f.
     

 

Speerwerpen.
       
Een bekend onderdeel van de atletiek is het speerwerpen.

De baan van een speer is een deel van een parabool. In deze opgave verwaarlozen we de luchtweerstand, de lengte van de speer en de hoogte waarop de speer wordt losgelaten.

De baan van de speer kan worden beschreven met de volgende formules:

h = 0,707 • b t - 4,91• t2     .....(1)
d = 0,707 • b t                    ......(2)

Hierbij is:
- t de tijd die de speer in de lucht is in seconden;
-
b de beginsnelheid waarmee de speer geworpen wordt in m/s;
-
h de hoogte van de speer in m op tijdstip t;
-
d de horizontaal afgelegde afstand van de speer in m op tijdstip t.

Door in formule (1) h gelijk te stellen aan 0, is uit te rekenen na hoeveel seconden de speer op de grond komt. Hiermee is vervolgens met behulp van formule (2) de totaal horizontaal afgelegde afstand van de speer uit te rekenen.

Een speerwerper gooit een speer met een beginsnelheid van 25 m/s.

       
4p.

7.

Bereken hoe ver de speer volgens de formules gegooid wordt. Geef je antwoord in hele meters nauwkeurig.

     

 

Uit formule (2) volgt:

          

       

Door formule (3) te substitueren in formule (1) kan worden aangetoond dat (bij benadering) geldt:

 

       
4p.

8.

Toon dit laatste op algebraïsche wijze aan.
     

 

Volgens de formules werd de speer bij het vestigen van het wereldrecord voor mannen in 1996 met een snelheid van 31,1 m/s geworpen.

       
4p.

9.

Bereken algebraïsch de maximale hoogte die de speer volgens de formules bereikt zou hebben tijdens dit wereldrecord. Geef je antwoord in hele meters nauwkeurig.

     

 

Een atleet gooit de speer vanaf de afwerpboog. Dit is een deel van de cirkel met het zogeheten 8m-punt als middelpunt en een straal van 8 meter. De speer moet landen in het gebied binnen twee lijnen die een hoek van 28,65° met elkaar maken. Deze twee lijnen snijden elkaar in het 8m-punt.

De gemeten afstand wordt als volgt gemeten:
- trek een rechte lijn vanaf de plek waar de speer landt tot het 8m-punt;
- de lengte van het deel van deze lijn van de plek waar de speer landt tot de afwerpboog, is de gemeten afstand.
Door deze manier van meten kan het voorkomen dat er een verschil is tussen de werkelijk geworpen afstand en de gemeten afstand. In de figuur staat hiervan een bovenaanzicht.

       

       

De winnaar van het speerwerpen bij de mannen op de Olympische Spelen van 2012 won met een gemeten afstand van 84,58 meter. Als hij zou hebben geworpen volgens de situatie in de figuur, dan zou zijn werkelijk geworpen afstand groter zijn geweest.

       
4p.

10.

Bereken in hele centimeters nauwkeurig het verschil tussen de gemeten afstand en de werkelijk geworpen afstand in deze situatie.

     

 

Gebroken functies.
       

De functie is gegeven door  f(x) = 1/(2x + 3)
De grafiek van heeft een snijpunt A met de y-as. De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van in A.
Zie de figuur.

       

       
Een vergelijking van l is  y = -2/9x + 1/3
       
4p.

11.

Toon dit op algebraïsche wijze aan.
     

 

6p.

12.

Bereken exact de afstand van l tot de oorsprong.
     

 

De functie g is gegeven door:
   

 
       
De lijn m is gegeven door y = 1/4.
Op het interval [-2π, 2π]
snijdt m de grafiek van g achtereenvolgens in de punten B, C, D en E. Zie de volgende figuur.
       

       
5p.

13.

Bereken exact de afstand tussen  B en  E.
     

 

Kookpunt van water.
       

Het kookpunt van water is de temperatuur waarbij water gaat koken.
Het kookpunt T is afhankelijk van de luchtdruk p met p in bar en T in °C.
In de figuur is het verband tussen log(p)
en T weergegeven.

       

       

Onder normale omstandigheden is de luchtdruk op zeeniveau 1,0 bar en is het kookpunt van water bij deze luchtdruk 100 °C.

Op de top van Mount Everest is de luchtdruk 0,31 bar. Hierdoor is het kookpunt van water op de top van Mount Everest een stuk lager dan op zeeniveau.

       
3p.

14.

Onderzoek met behulp van de figuur bij welke temperatuur water op de top van Mount Everest gaat koken. Geef je antwoord in hele °C nauwkeurig.

     

 

Het verband dat in de figuur is weergegeven, kan benaderd worden met de formule:

       

       

Hierin is p de luchtdruk in bar en T het kookpunt van water in °C.

Op zeeniveau, bij een luchtdruk van 1,0 bar, kookt rijst in water bij een temperatuur van 100 °C. Als de rijst in een hogedrukpan wordt bereid onder dezelfde omstandigheden, maar bij een temperatuur van 130 °C, is de rijst sneller gaar als gevolg van de hogere druk.

       
3p.

15.

Bereken de druk in bar in een hogedrukpan als de rijst aan het koken is. Geef je antwoord in bar in één decimaal nauwkeurig.

     

 

In de gegeven formule is log(p) uitgedrukt in T.
       
3p.

16.

Druk T uit in p.  
     

 

Derdemachtswortel.
       

De functie is gegeven door:

       

De grafiek van f snijdt de y-as in het punt A en de x-as in het punt B.
De lijn k gaat door A en B. Zie de figuur.

       

       
De richtingscoëfficiënt van k is 1.
       
4p.

17.

Toon dit op algebraïsche wijze aan.  
     

 

De lijnen l en m zijn de twee raaklijnen aan de grafiek van f die evenwijdig zijn aan lijn k. l raakt de grafiek van in het punt P en m raakt de grafiek van in het punt Q. Zie de onderstaande figuur.

       

       
6p.

18.

Bereken met behulp van differentiëren de x-coördinaten van P en Q. Rond je antwoorden af op twee decimalen.

     

 

 

UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. vul y = -4/3x + 5 in in de vergelijking van de cirkel:
x2 + (-4/3x + 5)2 = 9
x2 + 16/9x2  - 40/3x + 25 = 9
25/9x2 - 40/3x + 16 = 0
25x2 - 120x + 144 = 0
De discriminant van deze vergelijking is  (-120)2 - 4 • 25 • 144 = 0
Dus de cirkel en de lijn hebben maar één snijpunt.
Dat betekent dat ze elkaar raken.
   
2. -4/3x + 5 = 0  geeft  4/3x = 5  dus  x = 3,75.  Dus  B is het punt  (3.75, 0)
A is het punt  (0, -3)  (want de cirkel heeft straal 3)
De helling van AB is dan  (0 - - 3)/(3,75 - 0) = 0,8

helling AB • helling l  =  0,8 • -4/3 = -16/15
Dat is niet gelijk aan -1, dus ze snijden elkaar niet loodrecht.
   
3. log(N) = 1 betekent  N = 10  en  log(N) = 7 betekent N = 107
de groeifactor in 8 uur is gelijk aan 106
8 uur is  480 minuten, dus g480 = 106
g = (106)1/480 = 1,029200...
dat is afgerond
 2,9%  
   
4. neem g = 1,03
1,03t = 2
2 = log(2)/log(1,03) = 23,44 minuten
afgerond
23 minuten.
   
5. 84% betekent  84 = 100 • 10 -D 
10-D  = 0,84
-D = log(0,84) = -0,076
D = 0,076

aflezen zoals hiernaast geeft 
N = 1,6 • 107   bacteriën

   
6. snijpunt.
x + 1/x = 3√x - 3/x
4/x = 2√x
16/x² = 4x
4x3 = 16
x3 = 4
x = 3√4

top van f
f ' =  1/2√x - 1/x² = 0
1/2√x = 1/x²
2√x = x2
4x = x4 
x3 = 4
x = 3√4

dezelfde x dus hetzelfde punt.
   
7. b = 25 geeft  (2) met h = 0:     0 = 0,707 • 25 • t - 4,91t2
t •
(17,675 - 4,91t) = 0
t = 0  ∨  17,675 - 4,91t = 0
t
= 0   ∨  t = 3,60
t = 3,60 invullen in (2)  geeft:  d = 0,707 • 25 • 3,60 =
64 m.
   
8. (3) invullen in (1):
 

   
9. b = 31,1
(4)  wordt dan   h = d - 0,0101d2
Dat is een parabool met de top bij  -b/2a = -1/-0,0202 = 49,347
h(49,347) =
25 m.
   
10. zie de schets hiernaast.

cosinusregel:
x2 = 82 + 92,582 - 2 • 8 • 92,58 • cos(28,65)
x2 = 7335,137
x = 85,65

Het verschil is
107 cm

   
11. f =  (2x + 3)-1
f
' = -(2x + 3)-2 • 2
f '(0) = -1/3
² • 2 = -2/9  en dat is de helling  a van de raaklijn.

A = (0, 1/3)  dus  b = 1/3
   
12. Trek een lijn door O loodrecht op l
Die heeft dan helling  9/2
Dat is dus de lijn  y = 9/2x
Snijden met l:   9/2x = -2/9x + 1/3
85/18x = 1/3
x = 6/85   dus  y = 9/2 6/85 = 27/85
Snijpunt  (6/8527/85)
De afstand tot de oorsprong met  Pythagoras:  √((6/85)2 +(27/85)2) =
√(9/85)
   
13. 1/(2sinx + 3) = 1/4
2sinx + 3 = 4
2sinx = 1
sinx = 1/2
x = 1/6π + k2π  ∨  x = 5/6π + k2π
xB = 1/6π - 2π = -15/6π
xE = 5/6π
De afstand is dan  15/6π + 5/6π =
22/3π
     
14. log(0,31) = -0,51
aflezen in de figuur:

T =
70 ºC
   
   
15. T = 130  geeft  logp = 5,68 - 2120/403 = 5,68 - 5,26 = 0,42
dan is p = 100,42 =
2,6 bar
   
16. logp - 5,68 = -2120/(273 + T)
273 + T =  -2120/(logp - 5,68)
T = -2120/(logp - 5,68) - 273
   
17. A:   y = 3√(9 • 0 - 27) = -3  dus  A = (0, -3)
B:  3√(9x - 27) = 0  dus  9x - 27 = 0  dus  x = 3  dus  B = (3, 0)
De helling van AB is dan   (0 - -3)/(3 - 0) = 1
   
18. de hellingen van m en l zijn beiden ook 1.
Als l en m de grafiek van f raken, dan heeft de grafiek van f dus ook helling 1.
dus in P  en Q  moet gelden f ' = 1
f (x) = (9x - 27)1/3
f '(x) = 1/3 • (9x - 27)-2/3 • 9 = 1
3(9x - 27)-2/3 = 1
(9x - 27)-2/3 = 1/3
(9x - 27)-2 = (1/3)3 = 1/27
(9x - 27)2 = 27
9x - 27 = √27  ∨  9x - 27 = -√27
9x = √27 + 27  ∨  9x = -√27 + 27
x = 1/9√27 + 3  ∨  x = -1/9√27 + 3
x
= 3,58  ∨  x = 2,42
xP = 2,42  en  xQ = 3,58