HAVO WB, 2016 - II

 

Drie snijpunten.
       

De functie f  is gegeven door

       

De grafiek van f snijdt de x-as in drie punten. Zie de figuur.
       

     

2p.

1.

Bereken de x-coördinaten van de drie snijpunten van de grafiek van f met de x-as.
     

 

Verder is gegeven de horizontale lijn l met vergelijking y = p . De grafiek van f snijdt l in drie punten.
       

4p.

2.

Bereken voor welke waarden van p dit het geval is. Rond de getallen in je antwoord af op drie decimalen.
     

  
Zuinig verpakken.
       
Chocolademelk wordt vaak verpakt in karton. Op foto’s hiernaast  zie je twee verschillende kartonnen verpakkingen: een voordeelpak en een klein pakje.

Deze twee verpakkingen hebben de vorm van een balk. Het voordeelpak heeft een inhoud van 1,50 liter. De hoogte van dit pak is 24,5 cm. Het kleine pakje heeft een inhoud van 0,20 liter. De afmetingen van dit kleine pakje zijn 4,8 bij 3,5 bij 12,0 cm.
De dikte van het karton, de naden en ook de sluitingen van de pakken worden in deze opgave verwaarloosd.

Het voordeelpak is géén vergroting van het kleine pakje.

3p.

 3. Toon dit aan

 
       

Chocolademelk wordt ook in blikjes met een inhoud van 0,25 liter verpakt. Zo´n blikje heeft bij benadering de vorm van een cilinder. De hoogte van deze cilinder is 12,8 cm en de diameter van het grondvlak is 5,0 cm.
De dikte van het materiaal, de naden, de sluiting en de holle bodem worden hierbij verwaarloosd.

Bij het bepalen van de vorm van een verpakking wil men de hoeveelheid verpakkingsmateriaal zo klein mogelijk houden. Om te onderzoeken of men zuinig geweest is met de hoeveelheid materiaal, kan gebruik worden gemaakt van het isoperimetrisch quotiënt (IQ).

       

Hierin is V de inhoud van de verpakking in cm3 en A de oppervlakte van de verpakking in cm2.

Hoe groter het IQ, hoe efficiënter (zuiniger) de verpakking.
       

4p.

4.

Bereken welke verpakking het meest efficiënt is, het kleine pakje of het blikje.
     

 

Het IQ geldt niet alleen voor verpakkingen, maar kan voor alle lichamen berekend worden.

Een bol is een bijzonder lichaam, want een bol blijkt het hoogste IQ te hebben.
Het IQ van een lichaam hangt alleen maar af van de vorm van dat lichaam en niet van de grootte ervan. Daarom is de waarde van het IQ voor alle bollen gelijk.
       

4p.

5.

 Bereken exact het IQ van een bol.
     

 
Vierdegraadsfunctie.
       

De functie f is gegeven door   f(x) = (x2 - 7)2 - 25.  De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in de punten A, B, C en D. Zie de figuur.
       

       
Lijnstuk AD is langer dan lijnstuk BC.
       

6p.

6.

 Bereken exact hoeveel keer zo lang.
     

 

7p.

7.

 Bepaal op exacte wijze het bereik van f.
     

 
Energieverbruik.
       

Sinds het begin van de industriële revolutie is het totale jaarlijkse energieverbruik in de Verenigde Staten (VS) nagenoeg exponentieel toegenomen.
E is het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar. In de volgende figuur is voor een aantal jaren log(E) aangegeven.
       

1 exajoule is gelijk aan 1018 joule.
       

4p.

8.

Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het totale energieverbruik in de VS in het jaar 1950 in hele exajoules nauwkeurig.
Licht je antwoord toe.
     

 

De punten in de figuur liggen bij benadering op een rechte lijn. Deze lijn l is in onderstaande figuur getekend.
       

       

Een formule voor lijn l is:      log(E) = 0,0125t +15,8

Hierin is E het totale energieverbruik per jaar in de VS in joule per jaar en t het aantal jaren met t = 0 voor het jaar 1650.
       

3p.

9.

Bereken in welk jaar volgens de formule in de VS voor het eerst meer dan  3,0·1020 joule aan energie zal worden verbruikt.
     

 

Een onderzoeker voorspelt dat het wereldwijde energieverbruik na 2010 exponentieel groeit, waarbij het elke honderd jaar tien keer zo hoog wordt.

Op 1 januari 2010 was het wereldwijde energieverbruik 1,2·1013 joule per seconde. De aarde ontvangt van de zon veel meer energie, maar liefst 1,7·1017 joule per seconde. Als alle energie die de aarde van de zon ontvangt door de mens gebruikt zou kunnen worden, dan zouden we nu theoretisch gezien alleen met zonne-energie kunnen volstaan. Volgens bovengenoemde voorspelling zullen we in de toekomst op een gegeven moment toch meer energie verbruiken dan de aarde van de zon ontvangt.
       

4p.

10.

Bereken over hoeveel eeuwen dit volgens deze voorspelling het geval zal zijn.
     

 
Sinusoïden.
       

Op het domein   [0, 5/2π]  is de functie f gegeven door  f(x) = 2cos(1/2x - 1/8π)
Zie de figuur .
       

       

3p.

11.

Bereken exact de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de x-as.
     

 

De punten A en B zijn de toppen van de grafiek van f. Lijn k gaat door A en B. Zie de volgende figuur.
       

       
De coördinaten van A en B zijn  (1/4π, 2)  en  (9/4π, -2)
Een vergelijking voor k is  y = -2/π • x + 5/2
       

2p.

12.

Toon aan dat deze vergelijking voor k met behulp van de coördinaten van A en B opgesteld kan worden.
     

 

Op hetzelfde domein is de functie g gegeven door   g(x) = sin(x - 1/4π)
De toppen van de grafiek van g liggen ook op k. Zie onderstaande figuur.
       

       

5p.

13.

 Toon dit met exacte berekening aan.
     

 
Het midden en de top.
       

De functie f  is gegeven door f (x) = (x + 1)(x2 − 5x + 5).  De grafiek van f snijdt de positieve x-as in de punten A en B. Het punt M is het midden van lijnstuk AB. Zie de figuur.
       

       
de x-coördinaat van M is gelijk aan 21/2.
       

4p.

14.

 Toon dit met een exacte berekening aan.  
     

 

Het punt C is een top van de grafiek van f. De verticale lijn door M gaat niet door C. Zie onderstaande figuur.
       

       

6p.

15.

 Bereken exact het verschil tussen de x-coördinaten van M en C.
     

  
Het Gebouw.
       

In Leidsche Rijn staat Het Gebouw, een bouwwerk naar een idee van kunstenaar Stanley Brouwn. Zie de foto hiernaast.

De vorm van Het Gebouw wordt bepaald door twee op elkaar liggende balken. Elke balk heeft een lengte van 27,30 meter, een breedte van 3,90 meter en een hoogte van 3,90 meter. De onderste balk rust op de grond. De balken liggen in het midden op elkaar onder een hoek van 90º. In de figuur linksonder is een model van Het Gebouw getekend. In de figuur rechtsonder  zie je het bovenaanzicht van dit model.

       

       

Een groot deel van deze op elkaar liggende balken van Het Gebouw komt met de buitenlucht in aanraking.
       

3p.

16.

Bereken de oppervlakte van dit deel. Geef je antwoord in hele m2 nauwkeurig.
     

 

Hiernaast zie je nogmaals het bovenaanzicht van het model van Het Gebouw. Hierin is ook een horizontale kijklijn PQ aangegeven.
Deze kijklijn maakt in het bovenaanzicht een hoek van 45º met de beide balken.
Kijkend in de richting van PQ zie je Het Gebouw ongeveer als in de foto hieronder.
     

       

6p.

17.

Teken een aanzicht op schaal 1 : 390 van Het Gebouw (zonder ramen en deuren) in de richting van de kijklijn PQ. Licht je werkwijze toe.
     

 

 

Twee parabolen.
       

De functie f is gegeven door:    f (x) = x2 − 6x .
De grafiek van f snijdt de x-as in de oorsprong en in het punt A.
De grafiek van de functie g raakt de x-as in A en gaat door de top T van de grafiek van f. Zie de figuur.
       

       
g heeft een functievoorschrift van de vorm g(x) = ax2 + bx + c .
       
7p.

18.

 Bereken exact a, b en c.
     

 
UITWERKING
   
Het officiële (maar soms beknoptere) correctievoorschrift kun je HIER vinden. Vooral handig voor de onderverdeling van de punten.
   
1. f(x) = 0
3√(x3 + 3x2 + 2x) = 0
x3 + 3x2 + 2 = 0
x(x2 + 3x + 2) = 0
x(x + 2)(x + 1) = 0
x = 0  ∨ x = -2  ∨  x = -1
   
2. Zie de figuur hiernaast. De waarde van p moet tussen het maximum en het minimum van de grafiek liggen.
Dat kan met de GR m,et de optie calc - maximum/minimum of algebraïsch zó:

f '(x) = 0
1/3 • (x3 + 3x2 + 2x)-2/3 • (3x2 + 6x + 2) = 0
3x2 + 6x + 2 = 0
ABC-formule:  x = (-6 ±√12)/6
x = -0,42  ∨  x = -1,58

y =  0,727 ∨  y = -0,727 
Dus  -0,727 < p < 0,727

   
3. vergrotingsfactor voor de hoogte is k = 24,5/12,0 = 2,0417
voor de inhoud zou dan een factor k3 = 8,51 gelden.
maar de factor is  1,50/0,20 = 7,5 en dat is niet hetzelfde.
   
4. kleine pakje:
V = 0,20 liter = 0,20 dm3 = 200 cm3
oppervlakte:  2 • 4,8 • 3,5 + 2 • 12,0 • 3,5 + 2 • 4,8 • 12,0 = 232,8
IQ = (36 • π • 200²)/(232,8³) = 0,359

blikje:
V = 0,25 liter = 250 cm3
oppervlakte boven en onder:  2 • π • 2,52 = 39,27
oppervlakte zijkant:  hoogte • omtrek bovenrand = 12,8 • 2 • π • 2,5 = 201,06
samen is dat 240,33
IQ = (36 • p • 250²)/(201,06³) = 0,509

Het blikje is het meest efficiënt want heeft de grootste IQ-waarde
   
5.

   
6. (x2 - 7)2 - 25 = 0
(x2 - 7)2 = 25
x2 - 7 = 5  ∨  x2 - 7 = -5
x2 = 12  ∨  x2  = 2
x = √12   ∨  x = -√12  ∨   x = √2  ∨   x  = -√2   
AD =  2√12  en   BC = 2√2
Dus AD is  2√12/2√2 = √6 keer zo lang als BC.
   
7. Voor het bereik moet je de minima berekenen, dus  f ' = 0
f ' = 2(x2 - 7) • 2x = 0
x = 0  (is het maximum)   x2 = 7
x = √7  ∨  x = -√7
Dat geeft beiden y =  -25
Het bereik is dan   [-25, ®〉

Het kan ook zonder de afgeleide:
(x2 - 7)2 - 25 is minimaal als  (x2 - 7)2 minimaal is
(x2 - 7)2  is minimaal nul (een kwadraat is altijd ³ 0) en dat is bij x2 = 7  dus bij x =  ±√7
   
8. aflezen :  log(E)  ≈ 19,6
E = 1019,6 = 1018 • 101,6 = 39,8 • 1018
dat is dus  afgerond 40 exajoules.
   
9. log(E) = log(3,0 • 1020) ≈ 20,477
20,477 = 0,0125t + 15,8
0,0125t = 4,677
t = 374,2
dus dat is in het jaar 2025
   
10. elke honderd jaar 10 keer zo groot betekent een groeifactor 10 per honderd jaar.
1,7 • 1017 = 1,2 • 1013 • 10t
10t  = 14166,67
t = log(14166,67) = 4,15
Dat zijn honderden jaren dus  na 4,15 eeuwen. 
   
11. 2cos(1/2x - 1/8π) = 0
cos(1/2x - 1/8π) = 0
1/2x - 1/8π = 1/2π + k2π  ∨   1/2x - 1/8π = -1/2π + k2π
1/2x = 5/8π + k2π   ∨  1/2x = -3/8π + k2π
x = 5/4π + k4π  ∨   x = -3/4π + k4π
Tussen 0 en  2,5π  geeft dat de oplossing  x = 5/4π 
   
12. a = Δy/Δx = (-2 - 2)/(9/4π - 1/4π) = -4/(8/4π) = -4/(2π) = -2/π = a
A invullen:  2 = -2/π • 1/4π + b
2 = -2/4 + b
b = 2,5
   
13. y = sinx heeft de toppen  (1/2π, 1)  en  (3/2π, -1)
sin(x - 1/4π) is dezelfde grafiek maar 1/4π naar rechts geschoven
die heeft dus de toppen  (3/4π, 1) en (7/4π, -1)

liggen die op k?

x = 1/4π  geeft  y = -2/π • 1/4π + 2,5 = -6/4 + 2,5 = 1  klopt
x = 7/4π  geeft  y = -2/π • 7/4π + 2,5 = -14/4 + 2,5 = -1  klopt ook.    
   
14. f(x) = 0
(x + 1)(x2 - 5x + 5) = 0
x + 1 = 0    ∨   x2 - 5x + 5 = 0
x = -1  ∨  x =  (5 ±√(25 - 20))/2
x = -1   ∨  x = 2,5 ± √5
De laatste twee zijn  de x-coördinaten van A en B
Het gemiddelde daarvan is  ((2,5 + √5) + (2,5 - √5))/2 = 2,5
   
15. Voor de x-coördinaat van C moet je de afgeleide gelijkstellen een nul.
productregel:  f ' =  1 • (x2 - 5x + 5) +  (x + 1)(2x - 5) 
f ' = x2 - 5x + 5 + 2x2 - 5x + 2x - 5
f ' =  3x2 - 8x  = 0
x(3x - 8) = 0
x = 0  ∨  3x = 8
de x-coördinaat van C is  8/3
het verschil is  8/3 - 2,5 = 1/6  
   
16. De oppervlakte van een balk is 2 • 3,90 • 3,90 + 4 • 27,30 • 3,90 = 456,30  m2
Dus twee balken hebben samen oppervlakte  912,60

Niet aan de buitenlucht:
de onderkant van de onderste balk:  3,90 • 27,30 = 106,47 m2
van beide balken het deel waar ze op elkaar liggen:  2 • 3,90 • 3,90 = 30,42 m2

Dus wel aan de buitenlucht:  912,60 - 106,47 - 30,42  ≈ 776 m2
   
17. Zie onderstaande tekening. Het blauwe is het vooraanzicht. De stippellijnen zijn evenwijdig aan PQ.
De rode getallen geven de lengte in cm aan (bij schaal 1 : 390  wordt 27,30 meter gelijk aan 7 cm  en  3,90 meter wordt 1 cm)
Spreekt verder voor zich denk ik.
   
 

   
18. x2 - 6x = 0
x(x - 6) = 0
x = 0  x = 6   dus  A = (6, 0)

De top van f ligt dan bij x = 3  en is dus  T = (3, -9)

De top van g is punt  (6, 0) dus g ziet eruit als  y = a(x - 6)2
T moet erop liggen:   -9 = a(3 - 6)2
-9 = a • 9
a = -1
g(x) = -(x - 6)2 = -(x2 - 12x + 36) = -x2 + 12 - 36
a = -1,  b = 12,  c = -36